四次方公式

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两数N次方差的一般计算公式

在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过

面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不

相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计

算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。

推导过程：

一、由二次方看

首先，我们知道两个数的二次方的计算方法

已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。

解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中

的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：

5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9

几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加

4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7

几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加

所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：

(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)

对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到

(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)*(A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2

=[(A+1)^(2-1)*(A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2

几何上理解为：

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长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块

面积的和。

同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：

P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)

二、再看三次方的情况

我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：

已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。

设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如

右图：

(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)

A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)

几何上的理解是：

长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度

为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。

对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一

般公式为：

P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q)

三、推广到四次方

同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：

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(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+

1)^(4-4)*A^(4-1)

不相邻两数的四次方之差的一般公式：

P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]*

(P-Q)

四、结论：两个数的n次方之差计算方法，

综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出

相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P^n-Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+P^(n-3)*Q^2+P^(n-4)*Q^3+……+P^(n-

n)*Q^(n-1)

不相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P^n-Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+P^(n-3)*Q^2+P^(n-4)*Q^3+……+P^(n-n)*

Q^(n-1)]*(P-Q)

五、验证：

⑴相邻两数的N次方的差的计算验证

3^4-2^4=81-16=65

3^4-2^4=3^3*2^0+3^2*2^1+3^1*2^2+3^0*2^3=65

6^6-5^6=46656-15625=31031

6^6-5^6=6^5*5^0+6^4*5^1+6^3*5^2+6^2*5^3+6^1*5^4+6^0*5^5=31031

⑵不相邻两数的N次方的计算验证

10^5-5^5=10000-3125=96875

10^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5

=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=96875

11^6-9^6=1771561-531441=1240120

11^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)

=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2

=620060*2=1240120

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方差公式的应用

刘君王永会

方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。然而由于统计初步列入中学数学时间

不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差

公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的

步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：

若

x

为一组数据xxxx

n123

，，的平均数，S2为这组数据的方差，则有

S

n

xxxxxx

n

xxxnx

nn

2

1

2

2

22

1

2

2

22

2

11

[()()()][)]

由方差定义公式，显然有S20，当且仅当xxx

n12

时S20

1.求值

例1.已知实数x、y、z满足

xy

xyxyz











361

322022

试求xyz2的值。

解：<1>－<2>得：xyz233

12得：xyxy2233664()

将<3>代入<4>得：xyz2223186()，把x，3y视为一组数据，由方差公式，得

Sxy

xy

zz2222222

1

2

32

3

2

1

2

186

1

2

63



[()()]()

因为S20，所以302z

所以z＝0，所以S20

所以xy3代入<1>得xy31，

所以xyz2239

2.解方程

例2.解方程4129()xyzxyz

解：设xaybzc，，12，则

xaybzc22212，，

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原方程可化为

412222()abcabc

所以abcabc222412()

由方差公式，得a、b、c的方差为：

Sabcabc22222

1

3

1

3

[()()]



1

3

412

1

3

2[()()]abcabc



1

9

62()abc

因为S20

所以()abc602

所以abc6

所以S20，从而abc2

故xyz456，，，经检验xyz456，，是原方程的解。

3.解方程组

例3.解关于实数x、y、z的方程组

23131

492153822222

xyz

xyzxyz











解：由<1>得23316xyz()

<1>＋<2>，得()()2334104222xyzz

由方差公式，得233xy，的方差为：

Sxyxy2222

1

2

233

1

2

233[()()()]





1

2

4104

1

2

16

3

4

4

22

2

[()()]

()

zzz

z

因为S20，所以

3

4

402()z

所以

()z402

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所以

z4

，所以S20

所以233xy

把zxy4233，代入<1>得y＝1，从而x＝3，所以xyz314，，

4.证明不等式

例4.已知xyza，求证：xyza2222

1

3



证明：设xyzw222，由方差公式，得x、y、z的方差为

Sxyzxyzwa222222

1

3

1

3

1

3

1

3

[()()]()

因为S20，所以

1

3

1

3

02()wa

所以wa

1

3

2，即xyza2222

1

3



5.证明等式

例5.已知实数a、b、c满足ab6，cab29，求证：a＝b

证明：由已知得ab6

ababcc22223623629182()

由方差公式，得实数a、b的方差为

Sababcc2222222

1

2

1

2

1

2

182

1

2

6[()()][()]

因为S20，所以c20

所以c＝0，所以S20，则a＝b

6.求字母的取值范围

例6.设实数a、b、c满足

abca

bcbca

2

22

8701

6602















则a的取值范围是_________。

解：<1>＋<2>得

bcaa2221413

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<2>－<1>得()()bca221

由方差公式得b、c的方差为

Sbcbc2222

1

2

1

2

[()()]





1

2

1413

1

2

1

3

4

109

22

2

[()()]

()

aaa

aa

因为S20

所以

3

4

10902()aa

所以aa21090

解得

19a

7.求最值

例7.实数x、y满足

454522xxyy，设Sxy22，则

1

S

max

_______。

解：设xyt22，由方差公式得x、y的方程

Sxy

xy

2222

1

2

2

2





[()()]









1

2

2

2

2

4

22

22

22

[()]

()

xy

xxyy

xyxy



txy2

4

①

因为

454522xxyy

所以

54522xyxy()

所以xyxyt





4

5

1

5

122()，代入①，得

S

tt

t

2

8

5

2

4

310

20

0









所以3100t

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所以t

10

3

，即S

max



10

3

所以

13

10S

max



8.判断三角形形状

例8.设ABC的三边a、b、c满足：bc8，bcaa21252，试问ABC是

什么三角形（按边分类）？并证明你的结论。

解：ABC为等腰三角形，证明如下：

由已知得bcbcaa22264222440

由方差公式得b、c的方差为

Sbcbc2222

1

2

1

2

[()()]





1

2

22440

1

2

8

60

22

2

[()]

()

aa

a

因为S20，所以()a602，所以a6，所以S20

所以bc4

故ABC是以a为底，以b、c为腰的等腰三角形。

练习：

1.已知ABC的三边a、b、c满足（1）abc；（2）2bac；（3）b是正整数；

（4）abc22284，求b的值。

2.已知xyz1，求证：xyz222

1

3



3.实数a、b、c、d满足abcd10，abcd222228，求a值范围。

4.解方程组

xyz

xyz

xyz

















3

3

3

222

555

5.设xxxx

12319

，，都是正整数，且满足xxx

1219

95，则

xxx

1

2

2

2

19

2

的最大值为___________

6.设m、n、p为正实数，且

mnp222，求

p

mn

的最小值。

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7.求yxx11sinsin的最大值。

8.已知a、b、c为ABC的三边，若abc

32

2

，abc222

3

2

，试判断此

三角形的形状。

参考答案：

1.b5

2.略

3.

14a

4.

x

y

z

















1

1

1

5.5947

6.

2

2

7.2

8.ABC为等边三角形

.