正比例和反比例

正比例的性质和反比例的性质

正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近

似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。

正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对

应的两个数值的比。

例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所

行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。

如下表：

从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2∶4=0.5；路程上2小时所行的千米数与4小

时所行的千米数的比120∶240=0.5。这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。

具备了正比例的性质。

反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应

的两个数值比的反比。

例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每

天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。

如下表：

从逆向看：台数上400台与200台的比为400∶200=2；其对应天数比的反比为6∶3=2。两个

比的比值相等，具备了反比例的性质。

在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。

不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算

上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。因此，从

防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。

“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的畴。在两个比中，如

果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为

反比。

例如：3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4。

“反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。两种相关

联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数

的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，据此写出的比例式称为反比例。

例如：有一堆煤，每天烧煤2吨，可烧12天，如果每天烧煤4吨，可以烧

6天，每天烧6吨，可以烧4天。从条件中的规律可见，煤的总重量一定，每

天烧煤量与烧得天数成反比例。

“反比例关系”是成反比例的两种量之间的数量关系。如果用字母x、y表

示两种相关联的量，用k表示积（一定），其关系式为：x×y=k（一定），在

这个式子中，x与y的关系，就是反比例关系。

在八年级数学中，学生第一次遇到了函数――正、反比例函数图像和性质，

在这个知识点的学习中，学生碰到了与以前截然不同的困难。如：函数图像和性

质不能很好匹配，即学生对于函数解析式和图像性质不能熟练转化；不知何时要

分类讨论，导致漏解；不会用反比例函数的“面积不变性”；不能完全解读题目

中蕴含的信息，找不到或不理解图像语言；对于综合题不知如何入手解题。解决

这些困难，教师就要在教学中充分运用数形结合，使学生能够逐一突破函数学习

中的难关。

一、引导学生熟练掌握正、反比例函数图像和性质，突破“数形结合”认

识关。传统的教学过画一画特殊的正比例函数图像，如

2yx

，得到一般情况

下正比例函数图像，这里的画一画是特殊情况，是必要的，但是由于学生动手

能力不同，往往整节课的重点偏移到画图的操作细节上。如：如何找点，如何

用平滑曲线连线等，而忽略了解析式与图像性质对应关系的探知。如何来解决

呢？教学中①首先可以通过“猜一猜”，看正比例函数解析式

ykx

(k≠0）能

不能用图像表示，它的图像是怎样的，从而引导学生发现函数中每一对

x

、

y

的值与坐标系中的点坐标的联系。②然后通过“想一想”，思考

2yx

当

x

的

值大于、等于或小于0时

y

值的情况，引导学生认识解析式对图像分布与增减

性的影响。③再通过“画一画”，利用画图验证猜想，从图像上形象地认识性

质。通过这三步的探究，得出一般情况下正比例函数图像是过点（0，0）和

（1，k）的一条直线。然后进一步引导学生从函数图像的形态发现图像的性

质，进而归纳函数的性质，建立起数学符号与图像性质之间的联系。同样地反

比例函数图像也可以通过“猜一猜”，得出一般情况下的图像。再通过“想一

想”和“画一画”，逐步认识函数图像和性质。以此类推，在后面的函数学习

中，都可以用这样的方法和步骤来进行函数图像和性质的教学。

在教学中，得到函数性质后，要把函数解析式、图像和性质用各种不同的

方法加以对比、联系，如可以列出下面的表格，让学生来填写容。当学生充分

熟悉和掌握了以后，他们就能意识到研究函数可以从解析式、图像和性质入

手，而性质通常是研究系数的符号、函数的增减性等等。这样学生可以掌握一

点研究函数的一般方法。

函数解析式

（数）

图像（形）性质

k＞0k＜0

ykx

(k≠

0）

过（0，0）和（1，

k）的一条直线

过一、三象限，y随x增

大而增大。

过二、四象限，y随x

增大而减小。

k

y

x



(k≠

0）

（

xyk

）

双曲线

图像的两支都无限

接近于x轴和y轴，但

不会与x轴和y轴相

交

过一、三象限，在每个

象限，y随x增大而减小。

过二、四象限，在每个

象限，y随x增大而增

大。

上述表格应让学生熟练掌握，这是学生进行综合运用的基础。在此基础上，

用数形结合的思想方法，看到图像过什么象限，马上想到k的符号，强化从图象

性质到解析式的逆向思维，使解析式（数学符号语言）和图象性质（图像语言）

能熟练地互相转化。

2、要使学生熟知已知哪些条件可以求解析式

解析式往往是函数类题目的“入口”或“出口”，所以要熟练掌握解析式的

求法。在正、反比例函数中，由于只有一个待定系数，所以一对

x

、

y

的值或

图像上一个点的坐标，就可以完全确定正比例函数或反比例函数，反之亦然。

解题中看到图像过某点，则常常要把这点的坐标代入函数解析式。

二、引导学生解读题目中蕴含的信息，熟练掌握数学符号语言和图像的互

化，根据题目中的信息画出图像——突破“形数”画图关。

1、函数题中往往伴有图像，题中若没有图像，则先要从已知条件出发，根据

函数性质画出图像或草图，再求出系数k。通常当学生面对K确定的函数题时，

图像基本都会画，但当面对K不确定的函数题时，往往会漏画、少画，从而造成

漏解。这时教师可设计合理问题，用课堂提问的方法引导学生正确画出图形。若

题目中k的符号不能确定，或已知条件给出的长度、距离、面积等是非负的，转

化为点坐标却可正、可负，所以要考虑进行分类讨论，这时题目往往可能有多解，

而画出的满足条件的图像也应该有多个。

例1：正比例函数

ykx

中，图像上一点A（

a

,3）与y轴的距离为2，求此函数的

解析式。

分析提问：点A可以在直角坐标系中的什么位置？学生回答出来后再问：与Y

轴距离为2的点A有几个？k符号不能确定，由已知“图像上一点A（

a

,3）与

y轴的距离为2”，得到点A可以在第一象限和第二象限，因此函数的大致图像

有两个，如图1。

x

O

x

y

O

解：过点A作AB⊥

x

轴，AC⊥y轴

因为图像上一点A（

a

,3）与y轴的距离

为2

所以AC＝2,（把已知条件转化为数学符

号语言）

所以BO=AC=2（隐含条件BO=AC）

所以

a

=-2或

a

=2。（线段长转化为点的

坐标，这里学生常常会漏解）

得A（－2，3）或（2，3）。解得k=

3

2



,或k=

3

2

此函数解析式有两个：

3

2

yx

或

3

2

yx

。

2、反比例函数具有“面积的不变性”。从已知条件出发，先根据反比例函

数画出图像，再根据矩形面积公式求出系数k。经过计算可知，反比例函数

k

y

x



上任意一点P（

a

,b），都有kab。从图像上来看，反比例函数上任意

一点对x轴、y轴做垂线所构成的矩形，其面积都与k的绝对值相等，即

kS

矩形

根据这一性质解题往往可以简洁。

三、引导学生把问题转换化归――突破“数形”综合运用关

正反比例函数综合运用对于学生来说比较困难，可以按以下方法解决。若题

目本身有图像的。1、先通过观察函数图像，留心图形的特点，同时在图形中标

注已知条件。再仔细读题，从图形和题目两方面找出蕴含的信息，发掘图形和题

目中的隐含条件。2、根据已知条件及隐含条件，得出函数性质。3、一般已知正

反比例函数解析式，可以先求出交点。4、要熟练地把点的坐标和线段长度、面

积互相转化。5、将题中用到的直线或双曲线用正比例函数或反比例函数表达出

来。6、根据图形找出已知条件和所求目标之间的联系，常常要用到几何方法和

一些公式，从而列出方程。若题目本身没有图像的，则首先根据条件画出图像，

再按照上述步骤来做。总之，要使学生善于选择信息，善于运用直觉思维，善于

把问题转换化归。

例2、如图2，P是反比例函数

k

y

x



图像上一点，矩形APBO

的面积是8，PB=2PA.

(1)求反比例函数的解析式。

(2）若正比例函数图像经过P点，求正比例函数解析

式。

例题设计的目的是要使学生明确掌握反比例函数的面积

不变性，掌握由已知条件转化为线段长再转化为点坐标

再用待定系数法求解的一般步骤。

分析：（1）先观察函数图像在二、四象限，

则k<0（直接由函数图像得出函数性质）

因为矩形APBO的面积是8，

所以得k＝－8，（运用反比例函数面积不变性）

所以反比例函数的解析式为

8

y

x



。

（2）设正比例函数解析式为

ymx

因为矩形APBO的面积是8，

所以PA×PB＝8，由条件PB=2PA，得PA=2，PB=4（运用矩形面积公式求得

线段长）

根据图像，点P在第二象限，

则P的坐标为（－2，4）（线段的长度转化为点的坐标）

把x＝－2，y＝4代入

ymx

，

得m＝－2。（一个点的坐标，就可以确定正比例函数解析式）

所以正比例函数解析式为

2yx

例3、如图，正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，

点E在AP上，点P、F在函数

x

k

y

的图像上，已知正方形

OAPB的面积为9．

(1)求k的值和直线OP的解析式；（2）求正方形ADFE的边

长．

例题的设计目的在于如何在复杂背景条件下，从已知条件适

当地设点坐标，进而列出方程得解。

分析：（1）因为正方形OAPB的面积为9，

点P在函数

x

k

y

的图像上且根据图形点P在第一象限，

所以k=9。（反比例函数面积不变性）

因为OAPB是正方形，所以OA=PA，得到P（3，3），代入

ykx

，可得k=1

所以直线OP的解析式为

yx

.

（其实根据图形不求点P坐标，也可直接得出直线OP函数解析式）

(2)因为点F在函数

9

y

x



的图像上，可设F(

x

,

9

x

)，（利用点F特征设元）

所以OD＝

x

，FD＝

9

x

（点的坐标转化为线段长）

因为正方形OAPB的面积为9，所以OA＝3，所以EF=33xx

因为ADFE是正方形，所以EF=FD。所以

9

3x

x



，（利用正方形边长相等列

出方程）

解得

12

335335

,(

22

xx



不合题意，舍去）

F

O

A

D

P

E

B

所以EF＝

353

3

2

x



，即正方形ADFE的边长为

353

2



。

通过上述教师循序渐进的教学方法，设计合理坡度，学生进一步掌握了正反

比例函数的基本概念和基本性质，对于正反比例函数综合运用题，学生基本上知

道如何入手解题，敢于去解一下以前望而生畏的“难题”。教师在教学中要渗透

数形结合的数学思想,即要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”

的严密联系到“形”的直观，教给学生学会借助直观的图形来认识正、反比例函

数，并按照适当的解题步骤解决一些综合题目。帮助学生更好地掌握函数知识，

为将来一次函数的学习奠定基础。