牛吃草问题

牛吃草问题经典例题(总6页)

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牛吃草问题经典例题

一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如

果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘

完。求17人几小时可以淘完

解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了

人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计

算：

（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量

10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30

（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时

减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）

答：17人2小时可以淘完水。

1、在一片牧场里，放养4头牛，吃6亩草，18天可以吃完：放养6头牛，吃

10亩草，30天可以吃完，请问放入多少头牛，吃8亩草，24天可以吃完

（假定这片牧场每亩中的原草量相同，且每天草的生长两相等）

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2、有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车

人。这三辆车分別用6小时、10小时、12小时追上骑车人。現在知道快车每小

时走24千米，中速車每小时走20千米，那么，慢速車每小時走多少千米

提示：找到题中的“牛”与“草”，你就成功了一半。

3、某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相

同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口20分钟后就

没有人排队，现在开放8个入口处，没分钟关闭一个门，那么开门后几分钟就

没人排队了

提示：解答出“原来一共的人”和“每分钟来的人”后，要结合我们很擅

长的等差数列问题来解决。

序章：问题提出

我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛

吃几天

例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草

地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天

分析与解：例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别）

第一章：核心思路

[普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思]

现在来说我的核心思路：

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几

天

将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有X头是“剪草工”

，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来

的草量，而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是

关键）

例1：

解:设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）

可供27头牛吃6天，列式:（27－X）·6注：（27－X）头牛6天把草场吃完

可供23头牛吃9天，列式:（23－X）·9注：（23－X）头牛9天把草场吃完

可供21头牛吃几天列式：（21－X）·Y注：（21－X）头牛Y天把草场吃完

因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3

（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y

（27－X）·6＝（23－X）·9【1】

（23－X）·9＝（21－X）·Y【2】

解这个方程组，得X＝15（头）Y＝12（天）

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例2：有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供

11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天

解析：现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来．（这

是面积不同时得解题关键）

求【5，6，8】得最小公倍数为120

1、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11*24＝264(头)牛吃10

天．

2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12*20＝240(头)牛吃14

天．

3、120÷8＝15，问题变为：120公顷草地可供19*15＝285(头)牛吃几天

这样一来，例2就转化为例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y

（264－X）·10＝（240－X）·14【1】

（240－X）·14＝（285－X）·Y【2】

解方程组：X=180（头）Y=8（天）

典型例题“牛吃草”已介绍完毕。

第二章：“牛吃草”变型

以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细了，所以下

面的例题不再给出详解，略作说明即可。请大家自行验证。

例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可

供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天

解析：本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设X、Y一样来理想化，解出的X为负数（无所谓，

因为X是我们理想化的产物，没有实际意义），解出Y为我们所求。

例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级梯

级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共

有多少级

解析：总楼梯数即总草量，设略

列式（20－X）·5＝（15-X）·6

X=－10（级）（例3已说过，X是理想化的产物，没有实际意义）

将X=－10代入（20－X）·5得150级楼梯

例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍

消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多

少分钟

解析：原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新长出得草量，其它不用我多说了吧。

例6现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水

机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水

解析：原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。。。。。。

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例7一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8

小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水

解析：（10-X）*3=(5-x)*8=(n-x)*2。

例8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12

天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天

解析：思路，把羊转化为牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”

现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草”

[16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y

x=10y=8

例9.某牧场上长满牧草,,每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群牛吃了6

天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头

解：设原有Y头，x还是“剪草的”

[17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2

注意：剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算

（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了

x=9y=40

例10.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市

人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约

用水量的比例是多少()

A.2/5B.2/7C.1/3D.1/4

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30

x=3y=9

15-9=6

即多出6万人，这6万人要用15万人的6/15=2/5

例11.有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水机24小时可将水抽完，用9台抽水机12小时可将水

抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？

解析：

（3-X）*24=（9-X）*12得X=-3(不要理会负数，按正3理解好了)

带入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48

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1、一片牧草，每天生长的速度相同。想在这片牧草可供20头牛吃12天，或可

供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量。那么12头牛与

88只羊一起吃可以吃多少天

2、一个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用10台水泵需2小

时，用5台同样的水泵需7小时，先要在半小时内把满池水抽干，至少要这样

的水泵多少台

3、有一片草，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假设草的每天生长

速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草

吃完，问有羊多少只

4、12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草，假设每公

顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛8周吃完16公顷的牧草

5、甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动

员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去。已知甲车

每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度。

1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可

供15头牛吃10天。可供25头牛吃多少天

2、牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。如果牧

草每周匀速生长，可供21头牛吃几周

3、牧场上长满牧草，每天牧草匀速生长。可供4只羊吃吃15天，或者可供8

只羊吃7天；若想这片草地吃5天，可放养多少只羊

4、有一片牧场上的草都匀速生长。可供24只羊吃6天，或者21只羊吃8天。

放养16只羊，则可以吃多少天

5、24头牛6天可将一片牧草吃完；21头牛8天也可将牧草吃完。如果每天草

匀速生长，要使这片牧草永远吃不完，最多可放养多少头牛

6、有一条船因触礁船体破了个洞，海水均匀地进入船内，发现漏船时，船已进

了些水。如果12人掏水3小时掏完，如果5个人掏水则10小时可以掏完。

如果在5小时内掏完，需要安排几人

7、某水库原有一定存水，河水均匀入库，5台抽水机连续20天可将水库的水

抽干；6台同样的抽水机连续15天可将水抽干。若要6天抽干水库的水，

需要多少台抽水机

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8、一条船漏了，从破洞中每小时涌进船内的水量相等。发现船漏时已涌进了一

些水。如果3个人排水小时可以把水排完；如果5个人排水则2小时将水排

完，现在要小时将水排完，则需要多少人

9、某游乐场在开门前已经有100人排队等待，开门后每分钟来的游人是相同

的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处，20分钟

就没有人排队。现在开放4个入口处，那么开门后多少分钟就没有人排队了

10、有一池水，池底有泉水不断涌出。10台抽水机需要8小时，8台抽水机需

要12小时。如果用6台抽水机，需要多少小时

11、因天气变冷，牧场上的草匀速减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，

或可供24头牛吃6天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天

12、有一水池，池底有个打开的出水口。如果用5台抽水机20小时可将水抽

完，如果用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口，把水漏完需

要几小时

13、由于天气逐渐变冷，牧场上的草匀速减少。经计算，牧场上的草可供20头

牛吃5天，或可供16头牛吃6天。则11头牛可吃多少天

14、有一片牧草每天匀速生长，可供16头大牛吃20天，或者可供80头小牛

吃12天。如果1头大牛的草量相当于4头小牛的草量。那么10头大牛与

60头小牛一起吃，可以吃几天

15、甲从A地出发行了一段时间后，乙丙丁三人同时从A地出发，沿同一路线

追甲。乙丙丁分别用3小时、5小时、6小时追上甲。已知乙每小时行18

千米，丙每小时行16千米，那么丁每小时行多少千米

16、甲乙丙三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个行人，

这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上这个行人。已知甲车每小时

行24千米，乙车每小时行20千米，则丙车每小时行多少千米

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17、有一片牧草匀速生长。它可供17只羊吃30天；或者19只羊吃24天。现

有若干只羊，6天后卖了4只，余下的羊2天将草吃完，则原来有羊多少

只