两向量共线

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高中数学

两个向量共线的充要条件例说

向量共线也称向量平行，但它与直线的平行是有区别的．直线平行是指两条直线在同一

平面内没有交点(即不包括两条直线重合)；而向量平行既包含没有交点的情况又包含两个向

量在同一条直线上(即两直线重合)的情形．因此平行向量也叫共线向量，这是由向量平移定

位的．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的，它是平面向量基本定理的一种特殊

情况，但要注意



b=



a中



a≠



0，要判定



b与非零向量



a是否共线，只要找一个实数，

使



b=



a即可，用它可以证明平面几何中的三点共线和两直线平行等问题．

一、证明直线平行

例1求证三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半．

已知：△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，如图，求证：

DE

//

2

1

BC．

证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴



AD=

2

1

AB，



AE=

2

1

AC，

所以有



DE=



AE－



AD=

2

1

AC－

2

1

AB=

2

1

(



AC－



AB)

=

2

1

BC，

∵D、B不重合，∴DE

//

2

1

BC．

二、证明三点共线

例2在平行四边形ABCD中，点N在BD上，BN=

3

1

BD，求证：M、N、C三点共

线．

证明：如图，设



AB=



a，



AD=



b，

则



MC=



MB＋



BC=

2

1

AB＋



BC=

2

1

a＋



b，

A

B

C

D

E

A

M

B

N

C

D

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高中数学



BD=



AD－



AB=



b－



a．

∵BN=

3

1

BD，∴



BN=



BD

3

1

=



b

3

1

－



a

3

1

，

∴



MN=



MB＋



BN=

2

1

AB＋



BD

3

1

=

2

1

a＋



b

3

1

－



a

3

1

=

6

1

a＋



b

3

1

=

3

1

(

2

1

a＋



b)

=

3

1

MC，

∴



MN与



MC共线切均过M点，

故M、N、C三点共线．

三、讨论共线中的参数问题

例3设



a，



b是不共线的两个非零向量，已知



AB=2



a＋k



b，



BC=



a＋



b，



CD=



a

－2



b，若A、B、D三点共线，求k的值．

解：由已知，必存在实数，使得



AB=



BD，

而



BD=



BC＋



CD=(



a＋



b)＋(



a－2



b)=2



a－



b，

∴2



a＋k



b=(2



a－



b)=



a2－



b，

于是











.

,22





k













.1

,1

k



∴k=－1．

例4设



a，



b是不共线的两个非零向量，若



OM=



am，



ON=



bn，



OP=



a＋



b，

其中m、n、



、均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，求证：

m



＋

n



=1．

证明：∵M、P、N三点共线，

∴存在实数，使得



MP=



PN，

∵



MP=



OP－



OM=(－m)



a＋



b，



PN=



ON－



OP=－



a＋(n－)



b，

∴



MP=



PN=－



a＋(n－)



b，

∵



a，



b是不共线，

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高中数学

∴











.)(

,





n

m

























.

1

,

1











n

m

，

∴

m



＋

n



=

1

1

＋





1

=1．