数学题

数学试题答案及解析

1.下列运算正确的是【】

A．|﹣3|=3

B．

C．（a2）3=a5D．2a•3a=6a

【答案】A。

【解析】根据绝对值,相反数,幂的乘方,单项式乘单项式的知识逐一判断：

A、根据绝对值的性质可知负数的绝对值是它的相反数，知|﹣3|=3，故本选项正确；

B、根据相反数的定义可知负数的相反数是正数，所以，故本选项错误；

C、根据幂的乘方法则计算，得（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；

D、根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同

他的指数不变，作为积的因式，计算得2a•3a=6a2，故本选项错误。

故选A。

2.已知实数在数轴上的位置如图所示，则以下三个命题：

（1），（2），（3），

其中真命题的序号为．

【答案】（1）（3）（只填一个不给分）

【解析】由数轴可知，，，

，由于则，故真命题的序号为（1）（3）

3.若（x

1

，y

1

）•（x

2

，y

2

）=x

1

x

2

+y

1

y

2

，则（4，5）•（6，8）=．

【答案】64。

【解析】将（4，5）•（6，8）中的数字分别替换（x

1

，y

1

）•（x

2

，y

2

）即可解答：

∵（x

1

，y

1

）•（x

2

，y

2

）=x

1

x

2

+y

1

y

2

，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64。

4.将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有个

五角星.

【答案】120。

【解析】寻找规律：不难发现，第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小

五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n个图形有（n＋1）2－1个小五角星。

∴第10个图形有112－1=120个小五角星。

5.在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“+”如下：

当a≥b时，a+b＝b2；当a＜b时，a+b＝a。

则当x＝2时，（1+x）·x－（3+x）的值为

（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）。

【答案】-2

【解析】找出规律，可以先分别求得（1⊕2）和（3⊕2），再求（1⊕x）•x-（3⊕x）的值．

按照运算法则可得（1⊕2）=1，（3⊕2）=4，

所以（1⊕x）•x-（3⊕x）=1×2-4=-2．

6.某市水资源十分丰富，水力资源的理论发电量约为775000千瓦，这个数据用科学记数法表示

为千瓦．

【答案】7.75×105。

【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0

的个数（含小数点前的1个0）。775000一共6位，从而775000=7.75×105。

7.（﹣2）0的相反数等于（）

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

【答案】B

【解析】先根据0指数幂的运算法则求出（﹣2）0的值，再由相反数的定义进行解答即可．

解：∵（﹣2）0=1，1的相反数是﹣1，

∴（﹣2）0的相反数是﹣1．

故选B．

【考点】零指数幂；相反数．

点评：本题考查的是0指数幂及相反数的定义，解答此题的关键熟知任何非0数的0次幂等于1．

8.把2﹣333、3﹣222、5﹣111这三个数按从大到小的顺序排列，正确的是（）

A．2﹣333＞3﹣222＞5﹣111B．5﹣111＞3﹣222＞2﹣333

C．3﹣222＞2﹣333＞5﹣111D．5﹣111＞2﹣333＞3﹣222

【答案】D

【解析】先根据幂的乘方化成指数都是111的幂，再根据底数的大小判断即可．

解：∵2﹣333=（2﹣3）111=（）111，3﹣222=（3﹣2）111=（）111，5﹣111=（5﹣1）111=（）111，

又∵＞＞，

∴5﹣111＞2﹣333＞3﹣222．

故选D．

【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．

点评：本题考查了负整数指数幂，幂的乘方等知识点，注意：amn=（an）m，当p≠0时，p﹣n=．

9.人们以分贝为单位来表示声音的强弱．通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是105；

摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是1011．摩托车的声音强度是说话声音强度

的倍．

【答案】106

【解析】用摩托车的声音强度除以说话声音强度，再利用同底数幂相除，底数不变指数相减计算．

解：1011÷105=1011﹣5=106．

答：摩托车的声音强度是说话声音强度的106倍．

【考点】同底数幂的除法．

点评：本题主要考查同底数幂的除法的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

10..有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的

规律写出第10个多项式为.

【答案】a10－b20。

【解析】∵第1个多项式为：a1＋b2×1，第2个多项式为：a2－b2×2，第3个多项式为：a3＋b2×3，

第4个多项式为：a4－b2×4，…

∴第n个多项式为：an＋（－1）n+1b2n。

∴第10个多项式为：a10－b20。

11.下列算式，计算正确的有

①10﹣3=0.0001；②（0.0001）0=1；③3a﹣2=；④（﹣x）3÷（﹣x）5=﹣x﹣2．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】本题根据零指数幂、负整数指数幂、同底数指数幂的除法等知识点进行判断．

解：10﹣3=0.001，故①错误；

任何不等于0的0次幂等于1，所以②（0.0001）0=1，正确；

3a﹣2=3×，所以③错误；

（﹣x）3÷（﹣x）5=x﹣2，④错误．

故选A．

【考点】负整数指数幂；同底数幂的除法；零指数幂．

点评：熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的计算以及同底数指数幂的除法法则．

12.若x+x﹣1=3，则x2+x﹣2的值是．

【答案】7

【解析】此题可对x+x﹣1=3两边同时平方求得x2+x﹣2的值．

解：由于x+x﹣1=3，则（x+x﹣1）2=32，

x2+x﹣2+2=9，即x2+x﹣2=7．

故答案为7．

【考点】负整数指数幂．

点评：本题主要考查整体法求值，涉及到负整数指数幂的知识点．

13.有一道计算题：（﹣a4）2，李老师发现全班有以下四种解法，

①（﹣a4）2=（﹣a4）（﹣a4）=a4•a4=a8；

②（﹣a4）2=﹣a4×2=﹣a8；

③（﹣a4）2=（﹣a）4×2=（﹣a）8=a8；

④（﹣a4）2=（﹣1×a4）2=（﹣1）2•（a4）2=a8；

你认为其中完全正确的是（填序号）．

【答案】①④

【解析】根据乘方的意义和幂的乘方的性质，利用排除法求解．

解：①、乘方意义（﹣a4）2=（﹣a4）（﹣a4）=a4•a4=a8，正确；

②、幂的乘方（﹣a4）2=a4×2=a8，错误；

③、（﹣a4）2=（﹣a）4×2=（﹣a）8=a8，计算过程中（﹣a4）2应该等于a4×2，这里的负号不是底

数a的，所以本答案错误．

④、积的乘方（﹣a4）2=（﹣1×a4）2=（﹣1）2•（a4）2=a8，正确．

故应填①④．

【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

点评：本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握各运算性质是解题的关键．

14.计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）

【解析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．

解：原式=an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），

=a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），

=a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，

=0．

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题

的关键．

15.如果1﹣+=0，那么等于（）

A．﹣2B．﹣1C．1D．2

【答案】C

【解析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，形如a2±2ab+b2的式子要符合完全平方公式的形

式a2±2ab+b2=（a±b）2才成立．

解：∵1﹣+=（1﹣）2，

∴（1﹣）2=0，

∴1﹣=0，

解得=1．

故选C．

【考点】完全平方公式

点评：本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式结构是解题的关键．

16.下列计算：（1）an•an=2an；（2）a6+a6=a12；（3）c•c5=c5；（4）3b3•4b4=12b12；（5）

（3xy3）2=6x2y6中正确的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【解析】利用同底数幂的乘法、合并同类项的法则、单项式的乘法法则、积的乘方的性质对各选

项计算后再作出判断．

解：（1）an•an=a2n，故不对；

（2）a6+a6=2a6，故不对；

（3）c•c5=c6，故不对；

（4）3b3•4b4=12b7，故不对；

（5）（3xy3）2=9x2y6．

正确的个数为0．

故选A．

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式．

点评：本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法、单项式的乘法、

积的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．

17.分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（）

A．（x﹣y）（x﹣y+1）B．（x﹣y）（x﹣y﹣1）

C．（x+y）（x﹣y+1）D．（x+y）（x﹣y﹣1）

【答案】A

【解析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2﹣2xy+y2正

好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x﹣y为一组．

解：x2﹣2xy+y2+x﹣y，

=（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y），

=（x﹣y）2+（x﹣y），

=（x﹣y）（x﹣y+1）．

故选A．

【考点】因式分解-分组分解法．

点评：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用什么方法分组，本题中本题中x2﹣

2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组．x﹣y为一项．需要同学们熟知完全平

方式公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2．

18.（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）（x8+y8）=_________．

【答案】x16﹣y16

【解析】根据平方差公式，依次计算即可求得答案．

解：（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）（x8+y8），

=（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）（x8+y8），

=（x4﹣y4）（x4+y4）（x8+y8），

=（x8﹣y8）（x8+y8），

=x16﹣y16．

故答案为：x16﹣y16．

【考点】平方差公式

点评：此题考查了平方差公式的应用．注意平方差公式为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

19.观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，

（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1，

（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=_________（其中n为

正整数）．

（2）根据（1）求1+2+22+23+…+262+263的值，并求出它的个位数字．

【答案】（1）xn+1﹣1（2）5

【解析】（1）根据各式的规律即可用n表示出结果；

（2）将所求式子乘以1，即2﹣1，利用上述规律即可得到结果；再由21=2，22=4，23=8，

24=16，25=32，…，个位数字分别为2，4，8，6循环，且64÷4=16，即可得出结果的个位数字．

解：（1）根据各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=xn+1﹣1；

（2）根据各式的规律得：1+2+22+23+…+262+263=（2﹣1）（263+262+…+23+22+2+1）=264﹣1，

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，且64÷4=16，

∴264个位上数字为6，

则1+2+22+23+…+262+263的个位数字为5．

故答案为：（1）xn+1﹣1．（2）5

【考点】平方差公式

点评：此题考查了平方差公式的应用，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．

20.已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定a、b、c的值．

【答案】a=4，b=4，c=1

【解析】根据多项式乘以多项式的法则把式子展开，将展开所得的式子与6x2﹣7xy﹣

3y2+14x+y+a作比较，即可得出关于a、b、c的三个式子，联立求解即可得出a、b、c的值．

解：∵（2x﹣3y+b）（3x+y+c）=6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc

∴6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc=6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a

∴2c+3b=14，b﹣3c=1，a=bc

联立以上三式可得：a=4，b=4，c=1

故a=4，b=4，c=1．

【考点】多项式乘多项式．

点评：本题考查了多项式乘多项式的性质以及类比法在解题中的运用．

21.已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，试判断该三角形是什

么三角形，并加以证明．

【答案】等边三角形

【解析】先将原式变形为：a2+b2+c2+b2﹣2ab﹣2bc=0得出（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，可以得出

a=b=c，从而得出结论判断出△ABC的形状．

解：△ABC是等边三角形．

理由：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，

∴a2+b2+c2+b2﹣2ab﹣2bc=0，

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，

∴a﹣b=0，b﹣c=0，

∴a=b=c，

∴△ABC是等边三角形．

【考点】因式分解的应用．

点评：本题考查了因式分解的运用，等边三角形的判定及性质的运用，非负数和为0的定理的运

用．

22.某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b

元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（）

A．分钟

B．分钟

C．分钟D．分钟

【答案】C

【解析】由题意可知收费为=a+（打长途电话的时间﹣1）b．

解：设此人打长途电话的时间是x分钟，则有a+b（x﹣1）=8，解得：x=．故选C．

【考点】列代数式（分式）．

点评：注意此题的分类收费方式．找到相应的量的等量关系是解决问题的关键．

23.已知3x=4y=5z，x≠0，则的值为．

【答案】

【解析】因为x≠0，故y≠0，z≠0，设3x=4y=5z=k，则x=，y=，z=，将其代入原式即可．

解：∵x≠0，故y≠0，z≠0，设3x=4y=5z=k，则x=，y=，z=．原式=

==．故答案为．

【考点】分式的基本性质．

点评：本题主要考查分式的基本性质，比较简单．

24.先化简，再求值：,其中

【答案】

【解析】解：原式=。

当时，原式=。

先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。然后代x的值，进行二次根式化简。

25.五一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈

妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．

【答案】九

【解析】设用贵宾卡又享受了x折优惠，

依题意得：10000-10000×80%x=2800

解之得：x=0.9

即用贵宾卡又享受了9折优惠．

26.已知：x

1

，x

2

是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x

1

+x

2

=3，x

1

x

2

=1，则a、b的值分别

是【】

A．a=﹣3，b=1B．a=3，b=1

C．，b=﹣1D．，b=1

【答案】D。

【解析】∵x

1

，x

2

是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，∴x

1

+x

2

=﹣2a，x

1

x

2

=b，

∵x

1

+x

2

=3，x

1

x

2

=1，∴﹣2a=3，b=1，解得，b=1。故选D。

27.若方程的两实根为、，求的值．

【答案】-1

【解析】解：∵方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b，∴a+b=1，ab=﹣1，

∴。

由方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b，根据一元二次方程根与系数的关系即可得a+b和ab的值，

又由，即可求得答案。

28.若关于x的分式方程有增根，则=．

【答案】1

【解析】方程两边同乘以x（x-1）得，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得，(-a-2)x+3=0，

∵关于x的分式方程存在增根，

∴x（x-1）=0，

∴x=0或x=1，

把x=0代入(-a-2)x+3=0得，a无解；

把x=1代入(-a-2)x+3=0,解得a=1；

∴a的值为1．

29.暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险.半小时后，第二队前去

支援，平均速度是第一队的1.5倍，结果两队同时到达．已知抢险队的出发地与灾区的距离为90

千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？

【答案】第一队的平均速度是60千米/时，第二队的平均速度是90千米/时

【解析】解：设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．

根据题意，得：，解这个方程，得x=60。

经检验，x=60是所列方程的根。

1.5x=1.5×60=90。

答：第一队的平均速度是60千米/时，第二队的平均速度是90千米/时。

设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．根据半小时后，第二队

前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是小时，即可列方程求解。

30.A、B两个港口相距300公里．若甲船顺水自A驶向B，乙船同时自B逆水驶向A，两船在C

处相遇．若乙船顺水自A驶向B，甲船同时自B逆水驶向A，则两船于D处相遇，C、D相距30

公里．已知甲船速度为27公里/小时，则乙船速度是公里/小时．

【答案】33或22

【解析】两次相遇所用的时间相等．

若C在D的上游，则根据乙比甲多走30公里列出方程解答即可；

若C在D的下游，则根据甲比乙多走30公里列出方程解答即可．

解：已知A、B两港相距300公里，甲船速为27公里/小时．设乙船速为v公里/小时，水流速为

x公里/小时，则甲船顺水速为（27+x）公里/小时，逆水速为（27﹣x）公里/小时．乙船顺水速为

（v+x）公里/小时，逆水速为（v﹣x）公里/小时．

甲船自A顺水，乙船自B逆水同时相向而行，相遇在C处时间为：

同理，乙船自A顺水，甲船自B逆水同时相向而行，相遇在D处所需时间为：

可见，两个时间相等．由图易见，小时中，乙船比甲船多走30公里，即：

，

，

，

v=33．

如果C在D的右边，由图易见，小时中，甲船比乙船多走30公里，即：

，v=22．

答：若C在D的左边，乙船速度是33公里/小时；若C在D的右边，乙船速度是22公里/小时．

故答案为33或22．

【考点】分式方程的应用．

点评：考查分式方程的应用；根据在相同时间内两船所走路程相差30公里得到等量关系是解决

本题的关键．

31.先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：

的解为；

的解为；

的解为；…

（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是；

（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是；

（3）把关于x的方程变形为方程的形式是，方程的解是．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）观察所给材料的规律方程解有两个，一般是一个整数，另一个是它的倒数，所以

此方程的解就可以确定．

（2）根据（1）的结论容易确定方程一个是x=c，另一个是它的倒数；

（3）首先把方程变形为，此时（x﹣1）相当于原来方程中

的x，根据（1）就可以确定方程的解．

解：（1）；

（2）；

（3）∵方程变形为：﹣1=a﹣1+

再变形为：，

∴，

∴x﹣1=a﹣1，x﹣1=，

∴．

【考点】解分式方程．

点评：此题一个阅读题目，首先通过阅读题目，找出题目中的隐规律，然后利用规律解决后面的

问题，尤其是第三小题还要将方程变形，才能利用前面的规律解题，对于学生的要求比较高．

32.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，

如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【】

A．40%B．33.4%C．33.3%D．30%

【答案】B。

【解析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，

则售价为（1+x）b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下

（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b元，根据公式：利润率=

（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式：

÷ab·100%≥20%，解得x≥。

∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%。

故选B。

33.若不等式组有解，则a的取值范围是（）

A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≤1D．a＜1

【答案】A

【解析】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．

解：由（1）得x≥﹣a，

由（2）得x＜1，

∴其解集为﹣a≤x＜1，

∴﹣a＜1，即a＞﹣1，

∴a的取值范围是a＞﹣1，

故选A．

【考点】解一元一次不等式组．

点评：求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大

大小小解不了．

本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处

理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．

34.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）

A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a＜﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣＜a＜﹣

【答案】B

【解析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．

解：由（1）得x＞8；

由（2）得x＜2﹣4a；

其解集为8＜x＜2﹣4a，

因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则，

解得﹣≤a＜﹣．

故选B．

【考点】一元一次不等式组的整数解．

点评：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，

同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

35.已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是（）

A．a（c2+1）＜b

（c2+1）

B．a﹣4＜b﹣4C．a﹣b＜0

D．＜1

【答案】D

【解析】a＜b，不等式两边同除以b，而b未确定正数，负数，0，因此不一定能得出＜1．

解：∵a＜b，

∴根据不等式的基本性质可得：

四个不等式中不正确的是：＜1；

故本题选D．

【考点】不等式的性质．

点评：解决本题的关键是认识到b未确定正数，负数，0，无法判断的大小．

36.5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均

身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）

A．B．C．

D．以上都不对

【答案】B

【解析】根据已知得出3a+2b=2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即

可得出答案．

解：∵3a+2b=2c+3d，

∵a＞d，

∴2a+2b＜2c+2d，

∴a+b＜c+d，

∴＜，

即＞，

故选B．

【考点】不等式的性质．

点评：本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．

37.满足不等式的x的取值范围是（）

A．x＞3

B．x＜C．x＞3或x＜

D．无法确定

【答案】C

【解析】根据绝对值的性质，要注意区分当x≥0且x≠3时或当x＜0时求x的范围．

解：①当x≥0且x≠3时，，∴

若x＞3，则（1）式成立；

若0≤x＜3，则5＜3﹣x，解得x＜﹣2与0≤x＜3矛盾．

故x＞3；

②当x＜0时，，解得x＜（2）；

由以上知x的取值范围是x＞3或x＜．

故选C．

【考点】解一元一次不等式．

点评：本题考查了解不等式的能力，涉及到绝对值、分式的性质等知识点．解答这类题学生往往

在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质来求解．

38.不等式﹣（4﹣3x）≥（7x﹣6）的非正整数解．

【答案】无解

【解析】先解出不等式的解集，再求其非正整数解．

解：去分母得6（3x+2）﹣15（4﹣3x）≥5（7x﹣6）

去括号得18x+12﹣60+45x≥35x﹣30

移项合并同类项得x≥≈0.64

所以不等式没有非正整数解．

【考点】一元一次不等式的整数解．

点评：本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的

两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一

个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

39.一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外

语，还剩不足6名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有人．

【答案】28

【解析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列

出不等关系式即可求解．

解：设这个班的学生最多共有x人，依题意得：

x﹣x﹣x﹣x＜6

解之得：x＜56

又∵x为2、4、7的公倍数，

∴这个班的学生最多共有28人．

【考点】一元一次不等式的应用．

点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

40.如果关于x的不等式（a﹣1）x＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为．

（1）一变：如果的解集是x＜2，则a的取值范围是；

（2）二变：如果的解集是1≤x＜2，则a的取值范围是．

【答案】71≤a≤71＜a≤7

【解析】（1）解出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．

（2）解出不等式组的解集，与已知解集1≤x＜2比较，可以求出a的取值范围．

解：2x＜4的解集为x＜2，

当a＞1时，（a﹣1）x＜a+5变形为x＜，

由不等式的解集相同，故=2，

解得a=7；

（1）在（a﹣1）x＜a+5中，

若a＜1，则解得x＞，

不等式的解集就为2＞x＞了，与原题矛盾，所以a＞1．

∴（a﹣1）x＜a+5的解集为x＜．

根据“同小取小”的原则可得≥2，

解得：a≤7．

当a=1时，x＜2符合题意，

∴a的取值范围是1≤a≤7；

（2）由2x＜4得：x＜2，

又∵该不等式的解集为1≤x＜2．

根据“同小取小”的原则可得≥2．

解得a≤7，

∴a的取值范围是1＜a≤7．

【考点】解一元一次不等式组．

点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已

知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．

41.某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如下图：

一般货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水

深度为2.5m（吃水深度即船底离开水面的距离）．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与

港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港．

根据题目中所给的条件，回答下列问题：

（1）要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于m，卸货最多只能用

小时；

（2）已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交

由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少

应工作几小时，才能交给乙队接着卸？

【答案】（1）68

甲队至少应工作4小时，才能交给乙队接着卸．

【解析】（1）因为吃水深度为2.5m，即船底离开水面的距离2.5m，该港口规定：为保证航行安

全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，这样出港时水深就不能少于2.5+3.5=6m．

（2）设甲队应工作x小时，才能交给乙队接着卸，依题意列出不等式，解不等式，取最小值即

可．

解：（1）要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于6m，卸货最多只能用8

小时；

（2）设甲队应工作x小时，才能交给乙队接着卸，依题意得：

180x+120（8﹣x）≥1200

解之得：x≥4

答：甲队至少应工作4小时，才能交给乙队接着卸．

【考点】一元一次不等式的应用．

点评：（1）的关键是理解吃水深度的概念；（2）的不等关系是：甲卸载的吨数+乙卸载的吨数

≥1200．

42.方程（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解有（）

A．3对B．4对C．5对D．6对

【答案】D

【解析】要求方程（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解，知其两个因式分别等于1，7或7，1即可．

解：∵要求（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解，

∵7=1×7，

∴有两种情况：①|x|+1=1，|y|﹣3=7，

解得x=0，y=±10，

②|x|+1=7，|y|﹣3=1

解得，x=±6，y=±4，

∴方程（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解有6对．

故选D．

【考点】解二元一次方程．

点评：此题考查二元一次方程的解及其取整问题和绝对值的性质，是一道比较有难度的题．

43.“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x，乙数为y，则列出方程

组：

（1）（2）（3）（4）中，其中正确的有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

【答案】D

【解析】如果若设甲数为x，乙数为y，那么根据“甲、乙两数之和为16”，可得出方程为x+y=16；

根据“甲数的3倍等于乙数的5倍”可得出方程为3x=5y，故（1）正确；再观察给出的其余三个方

程组，分别是（1）方程组里两个方程的不同变形，都正确，所以正确的有4组．

解：设甲数为x，乙数为y．

则列出方程组正确的有：（1）；（2）；（3）；（4）．

故选D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

点评：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，

列出方程组．

44.已知二元一次方程3x+y=0的一个解是，其中a≠0，那么9a+3b﹣2的值为．

【答案】-2

【解析】将a、b的值代入二元一次方程3x+y=0得3a+b=0，再整体代入所求的代数式中进行解

答．

解：将x=a，y=b代入方程3x+y=0，得3a+b=0，

故9a+3b﹣2=3（3a+b）﹣2=﹣2．

【考点】二元一次方程的解．

点评：此题考查的是二元一次方程的解的定义，同时还要注意整体代入思想在代数求值中的应用．

45.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的

信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm．

【答案】106

【解析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起

比单独的一个纸杯增高的高度=9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增

高的高度=14．根据这两个等量关系可列出方程组．

解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，

则，

解得，

则99x+y=99×1+7=106．

答：把100个纸杯整齐地叠放在一起时的高度约是106cm．

【考点】二元一次方程组的应用．

点评：本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比

较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把9cm当作3个纸杯

的高度，把14cm当作8个纸杯的高度．

46.如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n

＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s，按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为

s=．

【答案】3n﹣3

【解析】由图可知：

第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2﹣3；

第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3﹣3；

第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4﹣3；

…

由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s=3n﹣3．

解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．

所以s=3n﹣3．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．

点评：本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．

47.团体购买公园门票票价如下：

购票人数1～5051～100100人以上

每人门票（元）13元11元9元

今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团

共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．

（1）请你判断乙团的人数是否也少于50人；

（2）求甲、乙两旅行团各有多少人？

【答案】（1）乙团的人数不少于50人，不超过100人（2）甲、乙两旅行团分别有36人、84

人．

【解析】根据题意可知：

（1）甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人，100×13=1300＜1392，所以乙团的人数不

少于50人，不超过100人．

利用本题中（2）的相等关系是“两团共计应付门票费1392元”和“总计应付门票费1080元”，列方

程组求解即可．

解：（1）假设乙团的人数少于50，则甲、乙两旅行团人数少于100．

∵1392÷13=107，1080÷11=98，

即1392不是13的倍数，1080不是11的倍数，

∴乙团的人数不少于50人，不超过100人；（4分）

（2）设甲、乙两旅行团分别有x人、y人．（1分）

则．（5分）

解得：．（7分）

答：甲、乙两旅行团分别有36人、84人．（8分）

【考点】二元一次方程组的应用．

点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程

组．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关

系并用方程组表示出来是解题的关键．本题还需注意是“团共计应付门票费1392元”和“总计应付

门票费1080元”．

48.下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【】

①y=x②y=－2x＋1③④

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B。

【解析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断：

①∵y=x的k＞0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；

②∵y=－2x＋1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；

③∵的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；

④∵的a＞0，对称轴为x=0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小。

∴正确的有2个。故选B。

49.一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程S

（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是【】

A．甲、乙两地的路程是400千米

B．慢车行驶速度为60千米/小时

C．相遇时快车行驶了150千米

D．快车出发后4小时到达乙地

【答案】C

【解析】根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案．

解：观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确；

慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确；

相遇时快车行驶了400-150=250千米，故C选项错误；

快车的速度为250÷2.5=100千米/小时，用时400÷100=4小时，故D选项正确．

故选C．

50.在平面直角坐标系xOy中，点A

1

，A

2

，A

3

，···和B

1

，B

2

，B

3

，···分别在直线和x轴

上．△OA

1

B

1

，△B

1

A

2

B

2

，△B

2

A

3

B

3

，…都是等腰直角三角形，如果A

1

（1，1），A

2

，那

么点的纵坐标是．

【答案】。

【解析】利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点

坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后

根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三

角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律：

∵A

1

（1，1），A

2

在直线y=kx+b上，

∴，解得。

∴直线解析式为。

如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为A、D。

当x=0时，y=，当y=0时，，解得x=－4。

∴点A、D的坐标分别为A（－4，0），D（0，）。∴。

作A

1

C

1

⊥x轴与点C

1

，A

2

C

2

⊥x轴与点C

2

，A

3

C

3

⊥x轴与点C

3

，

∵A

1

（1，1），A

2

，

∴OB

2

=OB

1

+B

1

B

2

=2×1+2×=2+3=5，。

∵△B

2

A

3

B

3

是等腰直角三角形，∴A

3

C

3

=B

2

C

3

。∴。

同理可求，第四个等腰直角三角形。

依次类推，点An的纵坐标是。

51.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐

标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐

标．

【答案】（1）（2）该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）（3）当

h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大，M（2，﹣3）

【解析】解：（1）∵B（4，0）在抛物线的图象上

∴，即：。

∴抛物线的解析式为：。

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。

∴OA=1，OC=2，OB=4。∴。

又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。

∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）。

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2。

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方

程：x+b=，即：x2﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。

∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。

∵，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大。

∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：。∴M（2，﹣3）。

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。

（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB

和圆心的位置，由此确定圆心坐标。

（3）△MBC的面积可由表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M

到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点

时，该交点就是点M。

52.如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两

点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，

MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，

﹣2）或（4，4）

【解析】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，

∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。

将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；

将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。

∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2。

（2）如图1，

设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。

∵，

∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t。

又∵N点在抛物线上，且x

N

=t，∴y

N

=﹣t2+t+2。

∴。

∴当t=2时，MN有最大值4。

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

如图2，

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），

由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a

1

=6，a

2

=﹣2，

从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。

（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D

1

N与D

2

M的交点，

由D

1

（0，6），N（2，5）易得D

1

N的方程为y=x+6；

由D

2

（0，﹣2），M（2，1）D

2

M的方程为y=x﹣2。

由两方程联立解得D为（4，4）。

综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。

（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。

（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN

的最大值。

（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D

1

、D

2

在y轴上，利用线

段数量关系容易求得坐标；D

3

点在第一象限，是直线D

1

N和D

2

M的交点，利用直线解析式求得

交点坐标。

53.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为（0，2），点E为

线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点

F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）求证：∠BEF=∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x

轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的

（）倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

【答案】（1）y=－x2－x+2（2）证明见解析（3）E坐标为E(－1，1)或E(－，2

－)（4）P(0，2)或P（－1，2）

【解析】解：（1）∵A（－2，0），B（0，2），∴OA="OB=2"。

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。

∵OC=AB，∴OC=2，即C（0，2）。

∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得

，解得：。

∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。

（2）证明：∵OA=OB，∠AOB="90°"，∴∠BAO=∠ABO=45°。

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，

∴∠BEF=∠AOE。

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论

①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°，

在△EOF中，∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。

又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立。

②如图①，

当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。

∴∠BEF=∠BAO="45°"。

又∵由(2)可知，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。

∴BF=EF。∴EF=BF=OF=OB=×2＝1。∴E(－1，1)。

③如图②，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H，

在△AOE和△BEF中，

∵∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF，

∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。

∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。

∴EH∥AO。∴∠BEH=∠BAO=45°。

在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO="45°"，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。

∴OH=OB－BH=2－2。∴E(－，2－)。

综上所述，当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1，1)或E(－，2－)。

（4）P(0，2)或P（－1，2）。

（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数

法求出抛物线的函数表达式。

（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。

（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。

（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－，2－)。

如图③所示，过点E作EH⊥y轴于点H，

则OH=FH=2－。

由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。

过点F作FN∥x轴，交PG于点N。

易证△EDG≌△EFN，因此S

△EFN

=S

△EDG

。

依题意，可得S

△EPF

=（）S

△EDG

=（）S

△EFN

，

∴PE：NE=。

过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。

∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。

∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。

∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。

∴2=－x2－x+2，解得x

1

=0，x

2

=－1。

∴P点坐标为(0，2)或（－1，2）。

综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）

倍，点P的坐标为(0，2)或（－1，2）。

54.如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y

1

＞y

2

的

x的取值范围是【】

A．0＜x＜2B．x＞2C．x＞2或-2＜x＜0

D．x＜－2或0＜x＜

2

【答案】D。

【解析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论：

∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称。

∵A（2，1），∴B（－2，－1）。

∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜－2时函数y

1

的图象在y

2

的上方，

∴使y

1

＞y

2

的x的取值范围是x＜－2或0＜x＜2。故选D。

55.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x

轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为【】

A．3B．－6C．2D．6

【答案】B。

【解析】如图，连接OA、OB．

∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点

M，

∴S

△

AOM

=，S

△

BOM

=。∴S

△

AOM

：S

△

BOM

=：=3：|k|。

∵S

△

AOM

：S

△

BOM

=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2。∴|k|=6。

∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0。∴k=－6。故选B。

56.如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的

任意一点，则△ABC的面积为（）

A．3B．C．D．不能确定

【答案】C

【解析】先分别求出B、C两点的坐标，得到BC的长度，再根据三角形的面积公式即可得出

△ABC的面积．

解：把x=t分别代入，得y=，y=﹣，

所以B（t，）、C（t，﹣），

所以BC=﹣（﹣）=．

∵A为y轴上的任意一点，

∴点A到直线BC的距离为t，

∴△ABC的面积=××t=．

故选C．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出BC的长度是解答本题

的关键，难度一般．

57.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．

解：A、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S

阴影

=2；

B、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S

阴影

=2；

C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，则S

阴影

=S

△OAM

+S

阴影梯形ABNM

﹣S

△OBN

=×2+

（2+1）×1﹣×2=；

D、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴×1×4=2．

∵＜2，

∴C中阴影部分的面积最小．

故选C．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴

作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．

58.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V

（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安

全起见，气球的体积应（）

A．不小于m3B．小于m3C．不小于m3D．小于m3

【答案】C

【解析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例

函数，且过点（1.6，60）故P•V=96；故当P≤120，可判断V≥．

解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=，

∵图象过点（1.6，60）

∴k=96

即P=在第一象限内，P随V的增大而减小，

∴当P≤120时，V=≥．

故选C．

【考点】反比例函数的应用．

点评：根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．

59.如图，在平面直角坐标系中，过A（0，2）作x轴的平行线，交函数（x＜0）的图象于

B，交函数（x＞0）的图象于C，则线段AB与线段AC的长度之比为

_________．

【答案】1：3

【解析】把y=2代入两函数解析式求出x的值，求出两线段AB、AC的长度，便不难求出比值．

解：根据题意，点B、C的纵坐标为2，

∴﹣=2，

解得x=﹣1，

∴AB=|﹣1|=1，

=2，

解得x=3，

∴AC=3，

故线段AB与线段AC的长度之比为1：3．

故答案为：1：3．

【考点】反比例函数的性质．

点评：本题主要考查了反比例函数的性质，找出点B、C的纵坐标是解本题的关键．

60.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数

（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作

FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S

1

，

△OEF的面积为S

2

，则=．（用含m的代数式表示）

【答案】

【解析】根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而得出△CEF的面积

S

1

以及△OEF的面积S

2

，进而比较即可得出答案．

解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，

∵，

∴=，

∵ME•EW=FN•DF，

∴=，

∴=，

设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），

∴△CEF的面积为：S

1

=（mx﹣x）（my﹣y）=（m﹣1）2xy，

∵△OEF的面积为：S

2

=S

矩形CNOM

﹣S

1

﹣S

△

MEO

﹣S

△

FON

，

=MC•CN﹣（m﹣1）2xy﹣ME•MO﹣FN•NO，

=mx•my﹣（m﹣1）2xy﹣x•my﹣y•mx，

=m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy，

=（m2﹣1）xy，

=（m+1）（m﹣1）xy，

∴==．

故答案为：．

【考点】反比例函数综合题.

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E，F的点

坐标是解题关键．

61.如图，已知点P（a，b）、Q（b，c）是反比例函数y=在第一象限内的点，求

的值．

【答案】4

【解析】根据点P（a，b）、Q（b，c）在反比例函数y=的图象上，可知ab=5，bc=5，再将

（﹣b）•（﹣c）+转化为含ab、bc的式子，整体代入ab=5，bc=5即可．

解：∵点P（a，b）、点Q（b，c）在反比例函数y=的图象上，

∴ab=5，bc=5，

∴（﹣b）•（﹣c）+

=•+

=•

=+

=+

=4．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积

应等于比例系数．

62.把函数图象先往左侧平移2个单位，再往上平移1各单位，则不同类型函数解析式的变化可

举例如下：

y=3x2→y=3（x+2）2+1；y=3x3→y=3（x+2）3+1；y=3→y=3+1；y=3→y=3+1；

y=→y=+1；…

（1）若把函数y=+1图象再往_________平移_______个单位，所得函数图象的解

析式为y=+1；

（2）分析下列关于函数y=+1图象性质的描述：

①图象关于（1，1）点中心对称；②图象必不经过第二象限；③图象与坐标轴共有2个交点；④

当x＞0时，y随着x取值的变大而减小．其中正确的是：___．（填序号）

【答案】（1）右3（2）①

【解析】（1）根据题目中的介绍，可得平移的变化规律，观察解析式，可得答案；

（2）根据（1）中的规律，分析可得其图象可以由y=向右平移一个单位，向上平移1个单位得

到；分析y=的图象、性质易得答案．

解：（1）根据题目的说明，观察两个函数的解析式，

可得把函数y=+1图象再往右平移3个单位，所得函数图象的解析式为y=+1；

（2）由题意可得：y=+1的图象可以由y=向右平移一个单位，向上平移1个单位得到；

①y=的对称中心为（0，0），平移后，对称中心为（1，1），故正确；

②y=的图象过一三象限，向上平移，必过第二象限，故错误；

③对于函数y=+1图象，分析可得，当x＞1时，y随着x取值的变大而减小；故错误．

故正确的只有①．

【考点】反比例函数的图象

点评：本题结合规律性的题目，考查图象的平移，注意数形结合的运用．

63.如图一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两

点．

（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围；

（3）根据图象写出使反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围；

（4）求△AOB的面积．

【答案】（1）n=﹣2y=x﹣1（2）x＞2和﹣1＜x＜0（3）0＜x＜2和x＜﹣1（4）

【解析】（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将

点B坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式；

（2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范

围；

（3）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范

围；

（4）求出直线和x轴的交点D的坐标，将△AOB的面积化为△AOD和△BOD的面积之和解答．

解：（1）把A（2，1）代入解析式y=得，=1，

解得，m=2．

故反比例函数解析式为y=，

将B（﹣1，n）代入y=得，

n==﹣2．

则B点坐标为（﹣1，﹣2）．

设一次函数解析式为y=kx+b，

将A（2，1），B（﹣1，﹣2）代入解析式得，

，

解得．

一次函数解析式为y=x﹣1．

（2）因为A点坐标为（2，1），B点坐标为（﹣1，﹣2），

由图可知，x＞2和﹣1＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

（3）因为A点坐标为（2，1），B点坐标为（﹣1，﹣2），

由图可知，0＜x＜2和x＜﹣1时，反比例函数值大于一次函数值．

（4）如图，令x﹣1=0，x=1，故D点坐标为（1，0），

S

△

AOB

=×1×1+×2×1=+1=．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

点评：此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象求出交点坐标是解题的关键．解

题过程体现了数形结合在解题中的应用．

64.假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局

按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统

计图回答下列问题：

（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图．

（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相

同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？

（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中

甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所

示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则

票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．

【答案】（1）30。补全统计图见解析（2）（3）公平

【解析】解：（1）30。补全统计图如下：

（2）余老师抽到去B地的概率是。

（3）根据题意列表如下：

∵两个数字之和是偶数时的概率是。

∴票给李老师的概率是。

∴这个规定对双方公平。

（1）根据去A．B．D的车票总数除以所占的百分比求出总数：（20+40+10）÷（1﹣30%）

=100，再减去去A、B、D的车票总数即得去C地的车票数量：100﹣70=30。从而补全统计图。

根据题意得：

（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可。

（3）根据题意用列表法或树状图法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可

求出这个规定对双方是否公平。

65.702班某兴趣小组有7名成员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，12，13，

15，则他们年龄的众数和中位数分别为【】

A．13，14B．14，13C．13，13.5D．13，13

【答案】D。

【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是13，故这

组数据的众数为13。

中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均

数）。由此将这组数据重新排序为12，12，13，13，13，14，15，∴中位数是按从小到大排列

后第4个数为：13。

故选D。

66.下列调查中，适合用普查（全面调查）方式的是【】

A．了解一批袋装食品是否含有防腐剂B．了解某班学生“50米跑”的成绩

C．了解江苏卫视“非诚勿扰”节目的收视率D．了解一批灯泡的使用寿命

【答案】B。

【解析】全面调查就是对需要调查的对象进行逐个调查。这种方法所得资料较为全面可靠，但调

查花费的人力、物力、财力较多，且调查时间较长。

抽样调查是从需要调查对象的总体中，抽取若干个个体即样本进行调查，并根据调查的情况推断

总体的特征的一种调查方法。抽样调查可以把调查对象集中在少数样本上，并获得与全面调查相

近的结果。这是一种较经济的调查方法，因而被广泛采用。

根据全面调查和抽样调查的特点，适宜采用全面调查(普查)方式的是“了解某班学生‘50米跑’的成

绩”的调查。故选B。

67.某班派7名同学参加数学竞赛，他们的成绩分别为：50，60，70，72，65，60，57．则这

组数据的众数的中位数分别是，．

【答案】60，60。

【解析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是60，故这

组数据的众数为60。

中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均

数）。由此将这组数据重新排序为50，57，60，60，65，70，72，∴中位数是按从小到大排列

后第4个数为：60。

68.市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛．在选拔赛中，每人

射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表．请你根据表中数据选一人参加比

赛，最合适的人选是．

甲乙丙丁

平均数

8.28.08.08.2

方差

2.11.81.61.4

【答案】丁。

【解析】∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的

方差最小，说明丁的成绩最稳定，

∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定。∴丁是最佳人选。

69.某校为了丰富学生的课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一部分学生进行了一

次题为“你喜欢的体育活动”的问卷调查（每人限选一项）根据收集到的数据，绘制成如图的统计

图（不完整）：

根据图中提供的信息得出“跳绳”部分学生共有人．

【答案】50。

【解析】先求得总人数，然后用总人数减去其他各个小组的频数即可：

∵从条形统计图知喜欢球类的有80人，占40%，

∴总人数为80÷40%=200（人）。

∴喜欢跳绳的有200﹣80﹣30﹣40=50（人）。

70.有A、B、C

1

、C

2

四张同样规格的硬纸片,它们的背面完全一样，正面如图1所示．将它们背

面朝上洗匀后，随机抽出两张(不放回)可拼成如图2的四种图案之一．请你用画树状图或列表的

方法，分析拼成哪种图案的概率最大?

【答案】拼成电灯或房子的概率最大

【解析】解：画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，拼成卡通人，电灯、房子、小山的分别有2，4，4，2种情况，

∴P（卡通人）=，P（电灯）=，P（房子）=，P（小山）=。

∴拼成电灯或房子的概率最大。

首先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格求得所有等可能的结果与拼成各种

图案的情况，再利用概率公式即可求得答案。

71.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉

字“美”相对的面上的汉字是【】

A．我B．爱C．枣D．庄

【答案】C。

【解析】根据正方体及其表面展开图的特点，让“美”字面不动，分别把各个面围绕该面折成正方

体，其中面“美”与面“枣”相对，面“爱”与面“丽”相对，面“我”与面“庄”相对。故选C。

72.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（）

A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不对

【答案】D

【解析】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．

解：设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，

（1）两个角相等，则x=4x﹣30°，

解得x=10°，

4x﹣30°=4×10°﹣30°=10°；

（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）=180°，

解得x=42°，

4x﹣30°=4×42°﹣30°=138°．

所以这两个角是42°、138°或10°、10°．

以上答案都不对．

故选D．

【考点】平行线的性质．

点评：本题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生容易忽视互补的情况而导致出错．

73.某城市有四条直线型主干道分别为l

1

，l

2

，l

3

，l

4

，l

3

和l

4

相交，l

1

和l

2

相互平行且与l

3

、l

4

相交

成如图所示的图形，则共可得同旁内角（）对．

A．4B．8C．12D．16

【答案】D

【解析】观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l

1

、l

2

被l

3

所截，l

1

、l

2

被l

4

所截，l

1

、l

3

被l

4

所

截，l

2

、l

3

被l

4

所截，l

3

、l

4

被l

1

所截，l

3

、l

4

被l

2

所截l

1

、l

4

被l

3

所截、l

2

、l

4

被l

3

所截来讨论．

解：l

1

、l

2

被l

3

所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8=16对．

故选D．

【考点】同位角、内错角、同旁内角．

点评：在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．

74.给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心

（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心

（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点

（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点

那么以上判断中正确的有（）

A．一个B．两个C．三个D．四个

【答案】D

【解析】重心指几何体的几何中心．

解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；

（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；

（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；

（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正

确；

故选D．

【考点】三角形的重心．

点评：主要考查了常见图形的重心．

75.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需

（）个五边形．

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【解析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长

五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求

出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．

解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，

所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，

如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，

360°÷36°=10，

∵已经有3个五边形，

∴10﹣3=7，

即完成这一圆环还需7个五边形．

故选B．

【考点】多边形内角与外角．

点评：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数

是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．

76.小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取

值范围是．

【答案】2≤x≤4

【解析】小明、小亮家的地理位置有两种情况：

（1）小明、小亮家都在学校同侧；

（2）小明、小亮家在学校两侧．

联立上述两种情况进行求解．

解：（1）小明、小亮家都在学校同侧时，x≥2；

（2）小明、小亮家在学校两侧时，x≤4．

因此x的取值为2≤x≤4．

【考点】三角形三边关系．

点评：本题注意考虑两种不同的情况，能够分析出每一种情况的范围，再进一步综合两种情况的

结论．

77.图中正方形GFCD和正方形AEHG的边长都是整数，它们的面积之和是117，P是AE上一

点，Q是CD上一点．则三角形BCH的面积是；四边形PHQG的面积

是．

【答案】22.545

【解析】先设正方形GFCD的边长为x，正方形AEHG的边长为y（且x＜y，x、y都是正整

数），再根据两个正方形的面积和求出两个正方形的边长，再由正方形及三角形的面积公式即可

求解．

解：设正方形GFCD的边长为x，正方形AEHG的边长为y（且x＜y，x、y都是正整数），

则有x2+y2=117，解得x=6，y=9．

所以三角形BCH的面积s

1

=（x+y）（y﹣x）=（6+9）×（9﹣6）=×15×3=22.5．

四边形PHQG的面积S

2

=x2+xy=×62+×6×9=18+27=45．

故答案为：22.5，45．

【考点】一元二次方程的整数根与有理根；三角形的面积．

点评：本题考查的是方程的整数根及三角形的面积公式，根据题意列出方程，求出两正方形的边

长是解答此题的关键．

78.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交

于H，则∠CHD=．

【答案】45°

【解析】在三角形中，三内角之和等于180°，锐角三角形三个高交于一点．

解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，

∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，

∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°

在△CDH中，三内角之和为180°，

∴∠CHD=45°，

故答案为∠CHD=45°．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

点评：考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．

79.已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值．

【答案】x=85°

【解析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值．

解：∵AB∥CD，∠C=60°，

∴∠B=180°﹣60°=120°，

∴（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，

∴x=85°．

【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．

点评：本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，属于基础题．

80.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需

要添加一个条件是（）

A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF

【答案】B

【解析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，

已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B、∵在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；

C、∵BC∥EF，

∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选B．

【考点】全等三角形的判定．

点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两

边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

81.如图，已知∠ABC=∠DCB，现要说明△ABC≌△DCB，则还要补加一个条件

是或或．

【答案】∠A=∠DAB=CD∠ACB=∠DBC

【解析】要证明△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，且有一个公共边BC=BC，则可以添加

一组角从而利用AAS、ASA判定其全等；添加边从而利用SAS判定其全等．

解：补充∠A=∠D．

∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，∠A=∠D

∴△ABC≌△DCB（AAS）

补充∠ACB=∠DBC．

∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，∠ACB=∠DBC

∴△ABC≌△DCB（ASA）

补充AB=CD．

∵∠ABC=∠DCB，AB=CD，BC=BC

∴△ABC≌△DCB（SAS）．

∴故填∠A=∠D或AB=CD或∠ACB=∠DBC．

【考点】全等三角形的判定．

点评：题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、

AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及

判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

82.如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．

你所添加的条件为：；得到的一对全等三角形是△≌△．

【答案】PA=PBPADPBC

【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、

SAS、SSS，并且一定有一组对应边相等．

解：所添加条件为PA=PB，

得到的一对全等三角形是△PAD≌△PBC；

证明：∵PA=PB，

∴∠A=∠B，

又∵AD=BC，

∴△PAD≌△PBC．

故分别填PA=PB，△PAD，△PBC．

【考点】全等三角形的判定．

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全

等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条

件，再去证什么条件．

83.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【】

A．4个B．6个C．8个D．10个

【答案】C。

【解析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。

∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、

△BDA八个。故选C。

84.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，

且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为．

【答案】13。

【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D。

∵E是CD的中点，∴DE=CE。

在△ADE和△FCE中，∵∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）。

∴CF=AD，EF=AE=6。∴AF=AE+EF=12。

∵AB⊥AE，∴∠BAF=90°。

∵AB=5，∴。

85.如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形

BEDF的面积为_cm2.

【答案】。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，

特殊角的三角函数值。

【解析】如图，连接BD，

根据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，

∴△ABD和△BCD是等边三角形。

由DE⊥AB，DF⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，

得AE=BE=BF=CF。

∴△ADE、△BDE、△BDF和△CDF全等。∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积。

由∠A=60°，菱形ABCD的边长为8cm，得DE=4cm。

∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积=（cm2）。

86.如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时

出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按

顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是【】

A．（2，0）B．（－1，1）C．（－2，1）D．（－1，－1）

【答案】D。

【解析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，

求得每

一次相遇的地点，找出规律作答：

∵矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，

∴物体甲与物体乙的路程比为1：2。由题意知：

①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程

为12×=8，在BC边相遇；

②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的

路程为12×2×=16，在DE边相遇；

③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的

路程为12×3×=24，在A点相遇；

…

此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，

∵2012÷3=670…2，

故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×

=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇。

此时相遇点的坐标为：（－1，－1）。故选D。

87.在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长

度，得到点P

1

，则点P

1

的坐标为．

【答案】（1，1）。

【解析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变

点的纵坐标，下减上加。因此，

∵点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，∴﹣1+2=1，4﹣3=1。

∴点P

1

的坐标为（1，1）。

88.下列图形即使轴对称图形又是中心对称图形的有：【】

①平行四边形；②正方形；③等腰梯形；④菱形；⑤正六边形

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C。

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中

心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，符合条件的是②正方形、④菱形

和⑤正六边形三个。故选C。

89.如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至

三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角

板平移的距离为【】

A．6㎝B．4㎝

C．（6－）㎝D．（）㎝

【答案】C。

【解析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，

∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，

∴BC=AB=6，AC=AB•sin30°=。

由旋转的性质可知B′C=BC=6，

∴AB′=AC－B′C=。

在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′•tan30°=（cm）。故选C。

90.如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6

次后，正方形的中心O经过的路线长是cm．（结果保留π）

【答案】3π。

【解析】根据题意，画出正方形ABCD“滚动”时中心O所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式

求得中心O所经过的路程：

∵正方形ABCD的边长为cm，∴正方形的对角线长是2cm。

∵每翻动一次中心经过的路线是以正方形对角线的一半为半径，圆心角为900的弧。

∴中心经过的路线长是：（cm）。

91.如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移

动格．

【答案】9

【解析】要使平移的个数最少，可将它们朝同一方向共同移动，此时需要平移的格数最少．

解：如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，

根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先

向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为：3+2+2+2=9，

其它平移方法都超过9格，

∴至少需要移动9格．

【考点】平移的性质．

点评：本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平

移前后物体的位置．

92.如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其

它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？

【答案】1421m2

【解析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，

种植花草的面积=总面积﹣小路的面积+小路交叉处的面积，计算即可．

解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，

种植花草的面积=（50﹣1）（30﹣1）=1421m2．

故答案为：1421m2．

【考点】平移的性质．

点评：本题考查了图形的平移的性质，把小路进行平移，求出相当面积的小路的面积是解题的关

键，要注意小路的交叉处算了两次，这是容易出错的地方．

93.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB＝

6，AD＝4，设OM＝x，ON＝y，则y与x的函数关系式为．

【答案】y=x。

【解析】如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，

∵ABCD为矩形，∴∠C=90°。

∵OF⊥BC，OE⊥CD，∴∠EOF=90°。∴∠EON+∠FON=90°。

∵ON⊥OM，∴∠EON=∠FOM。∴△OEN∽△OFM。

∴。

∵O为矩形ABCD的中心，∴。∴，即y=x。

94.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，

AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）

A．7B．7.5C．8D．8.5

【答案】B

【解析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC=4，CE=6，

BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．

解：∵a∥b∥c，

∴，

∵AC=4，CE=6，BD=3，

∴，

解得：DF=，

∴BF=BD+DF=3+=7.5．

故选B．

【考点】平行线分线段成比例．

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的

应用．

95.若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）

A．△ABC∽△A′B′C′

B．△ABC与△A′B′C′的相似比为

C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等

D．△ABC与△A′B′C′的相似比为

【答案】B

【解析】根据相似三角形的性质逐个进行判断可知A、C、D正确，B错误．

解：A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确；

B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为，错误；

C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确；

D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为，正确．

故选B．

【考点】相似图形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相似三

角形的对应角相等，对应边的比相等．

96.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC∽△PQR，则

点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】C

【解析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应

边成比例即可找到点R对应的位置．

解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，

要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．

【考点】相似三角形的判定．

点评：考查相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似．

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

（3）三边对应成比例的两个三角形相似．

97.将一副三角板按如图叠放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一个角为30°的直角三角

形，则△AOB与△DCO的面积之比等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设BC=a，则AB=BC=a，CD=a

∴AB：CD=1：

∵AB∥CD

∴△AOB∽△COD

∴AB：CD=1：

∴△AOB与△DCO的面积之比为1：3

故选C．

【考点】相似三角形的判定与性质．

点评：通过两个直角三角形的公共边找到两个三角形之间的联系是解决本题的关键．

98.已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点

①AP2=AB•PB；②AP=AB；③PB=AB；④；⑤．其中正确的是

（填“序号”）

【答案】①②③

【解析】根据黄金分割点的定义列出算式，然后求解得到AP与AB关系，再根据AB、AP、BP

三者之间的关系对各小题整理即可判断正误．

解：∵P为AB的黄金分割点，

∴=，

∴AP2=AB•PB，故①小题正确；

AP2=AB•（AB﹣AP），

AP2+AB•AP﹣AB2=0，

解得AP=AB，故②小题正确；

（AB﹣PB）=AB，

整理得，PB=AB，故③小题正确；

∵AP=AB，

∴PB=AB﹣AP=AB，

∴==，故④小题错误；

=，故⑤小题错误．

综上所述，①②③正确．

故答案为：①②③．

【考点】黄金分割．

点评：本题考查了黄金分割，明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键．

99.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的

速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、

B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

【答案】经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似

【解析】设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，

则AP=2xcm，BQ=4xcm，

∵AB=8cm，BC=16cm，

∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，

∵∠B是公共角，

∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，

解得：x=2；

②当，即时，△QBP∽△ABC，

解得：x=0.8，

∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．

【考点】相似三角形的性质．

点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、

分类讨论思想与方程思想的应用．

100.如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，

连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．

【答案】2：3

【解析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出=，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，

根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可．

解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，

∴=，

∵AF：BF=1：2，

∴=，

∴=，

即FE=BC，

∵BC：CD=2：1，

∴CD=BC，

∵FE∥BD，

∴===．

即FN：ND=2：3．

证法二、连接CF、AD，

∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，

∴==，

∵∠B=∠B，

∴△BCF∽△BDA，

∴==，∠BCF=∠BDA，

∴FC∥AD，

∴△CNF∽△AND，

∴==．

【考点】平行线分线段成比例．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具

有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．