向量的模怎么算

向量运算

第1节：零向量

1.零向量的概念

对于任意向量x，都有x+y=x，则x被称为零向量。例如，3D零向量为[000]。零向量⾮常特殊，因为它是唯⼀⼤⼩为零的向量，并且

唯⼀⼀个没有⽅向的向量。

第2节：负向量

1.负向量的概念

对于向量x，如果x+(-x)=0，则-x就是负向量。

2.负向量的运算法则

将此法则应⽤到2D，3D，4D中，则

-[xy]=[-x-y]

-[xyz]=[-x-y-z]

-[wxyz]=[-w-x-y-z]

3.负向量的⼏何解释

向量为负表⽰将得到⼀个和原向量⼤⼩相等，⽅向相反的向量。

第3节：向量的模

1.向量的模的概念

所谓的向量的模就是指向量的⼤⼩或者说长度。

2.向量的模的运算法则

在线性代数中，向量的模通常⽤在向量两边各加两条竖线的⽅式表⽰，如||v||，表⽰向量v的模。向量的模的计算公式如下：

对于2D，3D向量的如下

第4节：标量与向量的运算

1.运算法则

虽然标量与向量不能相加减，但是可以相乘，⾄于标量与向量的除法可以看做乘以倒数。

对于2D，3D向量的如下

2.⼏何解释

向量乘以标量或者除以标量，相当于以因⼦k来缩放向量的长度。

第5节：标准化向量

1.标准化向量的概念

所谓的标准化向量就是单位向量，就是向量的长度为1的向量。有时候也称作为法线。

2.运算法则

对于任意⾮零向量v，都能计算出⼀个和v⽅向相同的单位向量n，这个过程被称作为向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它

的⼤⼩（模）即可。

第6节：向量的加法和减法

1.向量的加法和减法的前提

如果两个向量的维数相同，那么他们能够相加减，运算结果的向量的维数和原向量相同。

2.运算法则

向量的加法等于两个向量的分量相加，向量的减法相当于加上⼀个负向量。

3.⼏何解释

向量的加法和减法引导出了三⾓形法则，即将向量的⾸尾相连就会得到加法的结果，如下

第7节：距离公式

1.距离公式的推导

通过上⾯的三⾓形原则，我们可以发现，通过两个向量的加减可以得到第三个向量，我们将这个过程逆置，如果知道了两点的距离，如

何求出其距离，我们可以利⽤向量的减法实现。

2.运算公式

在3D中，已知两点a，b，求两点之间的距离d？我们可以将a，b两点看做向量，然后b-a就是向量d，然后我们再计算向量d的模就是两

点间的距离

求出向量d后，再求d的模就是两点的距离

第8节：向量的点乘

1.基本概念

标量可以和向量相乘，向量也可以和向量向量相乘，这就叫点乘，也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点，向量与向量相乘必须要写

点，向量的点乘优先级⾼于向量的加减法。注意：向量点乘后的结果是标量

2.运算法则

注意：向量点乘后的结果是标量，不再是向量。

应⽤到2D，3D中为

a·b=axbx+ayby

a·b=axbx+ayby+azbz

3.⼏何解释

向量的点乘描述的是两个向量的相似程度，即两个向量之间的夹⾓的⼤⼩

向量的点乘的集合运算法如下，向量的点乘结果与cos函数有关，当两个向量垂直时，向量的点乘结果为0

第9节：向量的投影

1.基本概念

给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量，⼀个是垂直于向量n，⼀个平⾏于向量n，平⾏于向量n的向量我们称为在向量n上的投影。

2.投影的求解

因为向量n平⾏于投影向量，所以可以求出向量n的单位向量再乘以投影的模，就可以得到投影向量，如下

我们接下来求投影的模即可，我们可以根据三⾓函数的余弦公式来求出投影的模

代⼊投影的模就可以求出投影向量

3.垂直向量的求解

根据三⾓形法则，可以轻易求出垂直的向量

第10节：向量的叉乘

1.基本概念

两个向量的叉乘得到是向量，且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运⽤在3D向量中。

2.数学运算公式

3.⼏何运算公式

向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹⾓有关，且成正弦函数关系，如果向量a和b是平⾏关系，则叉乘的结果为0，因为sin0为0

4.向量叉乘⽅向的判断

向量的叉乘是通过右⼿定则来判断结果向量的⽅向的。伸出右⼿，四指弯曲符合向量叉乘的顺序，那么⼤拇指就是叉乘后结果向量的⽅

向。如下图axb，右⼿四指弯曲⽅向从a到b，⼤拇指⽅向向上就是叉乘结果向量的⽅向。