平方根定义

平方根知识点总结

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方

根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数

x

的平方等于

a

，即2xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定

0的算术平方根还是0）；

a

的算术平方根记作

a

，读作“

a

的算术平方根”，

a

叫做被

开方数.

要点诠释：当式子

a

有意义时，

a

一定表示一个非负数，即

a

≥0，

a

≥0.

2.平方根的定义

如果2xa，那么

x

叫做

a

的平方根.求一个数

a

的平方根的运算，叫做开平方.平方与

开平方互为逆运算.

a

(

a

≥0)的平方根的符号表达为

(0)aa

，其中

a

是

a

的算术平

方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：

a

和

a

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方

根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

2

(0)

||0(0)

(0)

aa

aaa

aa

















2

0aaa

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动1位.例如：

62500250

，

62525

，

6.252.5

，

0.06250.25

.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、若2

m

－4与3

m

－1是同一个正数的两个平方根，求

m

的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2

m

－4＝－（3

m

－

1），解方程即可求解．

【答案与解析】

解：依题意得2

m

－4＝－（3

m

－1），

解得

m

＝1；

∴

m

的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

举一反三：

【变式】已知2

a

－1与－

a

＋2是

m

的平方根，求

m

的值.

【答案】2

a

－1与－

a

＋2是

m

的平方根，所以2

a

－1与－

a

＋2相等或互为相反数.

解：①当2

a

－1＝－

a

＋2时，

a

＝1，所以

m

＝22212111a

②当2

a

－1＋（－

a

＋2）＝0时，

a

＝－1，

所以

m

＝22

221[2(1)1]39a

2、

x

为何值时，下列各式有意义？

(1)2x；(2)4x；(3)11xx；(4)

1

3

x

x





．

【答案与解析】

解：(1)因为20x，所以当

x

取任何值时，2x都有意义．

(2)由题意可知：40x，所以4x时，

4x

有意义．

(3)由题意可知：

10

10

x

x











解得：11x．所以11x时

11xx

有意

义．

(4)由题意可知：

10

30

x

x











，解得1x且3x．

所以当1x且3x时，

1

3

x

x





有意义．

【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当

被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式

子才有意义．

举一反三：

【变式】已知

4322232baa

，求

11

ab

的算术平方根．

【答案】

解：根据题意，得

320,

230.

a

a











则

2

3

a，所以b＝2，∴

1131

2

22ab

，

∴

11

ab

的算术平方根为

11

2

ab



．

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)2222252434；(2)

111

200.36900

435



．

【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：(1)222225243449257535；

(2)

1118111

200.369000.630

435435



9

0.261.7

2

．

【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先

后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根

据2(0)aaa来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的

x

.

（1）23610;x（2）21289x；

（3）2932640x

【答案与解析】

解：（1）∵23610x

∴2361x

∴

36119x

（2）∵21289x

∴

1289x

∴

x

＋1＝±17

x

＝16或

x

＝－18.

（3）∵2932640x

∴264

32

9

x

∴

8

32

3

x

∴

214

99

xx或

【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）

（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】求下列等式中的

x

：

（1）若21.21x，则

x

＝______；（2）2169x，则

x

＝______；

（3）若2

9

,

4

x则

x

＝______；（4）若2

22x，则

x

＝______．

【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）

3

2

；（4）±2.

类型四、平方根的综合应用

5、已知

a

、b是实数，且

26|2|0ab

，解关于

x

的方程2(2)1axba．

【答案与解析】

解：∵

a

、b是实数，

26|2|0ab

，

260a

，

|2|0b

，

∴260a，20b．

∴

a

－3，2b．

把

a

－3，2b代入2(2)1axba，得－

x

＋2＝－4，∴

x

＝6．

【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出

a

、b的值，再

解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分

别等于零即可．

举一反三：

【变式】若2110xy，求20112012xy的值．

【答案】

解：由2110xy，得210x，10y，即1x，1y．

①当

x

＝1，y＝－1时，20121(1)2xy．

②当

x

＝－1，y＝－1时，2012(1)(1)0xy．

6、小丽想用一块面积为4002cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm

的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求

的长方形纸片.

【答案与解析】

解：设长方形纸片的长为3

x

(

x

＞0)

cm

，则宽为2

xcm

，依题意得

32300xx.

26300x.

250x.

∵

x

＞0，

∴

50x

.

∴长方形纸片的长为

350cm

.

∵50＞49,

∴

507

.

∴

35021

,即长方形纸片的长大于20

cm

.

由正方形纸片的面积为4002cm,可知其边长为20

cm

,

∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用

边长为20

cm

的正方形纸片裁出长方形纸片.

七年级英语期末考试质量分析

一、试卷分析：

本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。该份试卷紧扣教材，突出重点，注重对基础知

识和基本技能的考查。

二、题型分析：

1．单项选择

单项选择题共15道小题，知识覆盖面较广，重点、难点和疑点比较突出，注重能力考查。

考查以动词为主，兼顾其它词类，并考查句法和语言点。考查的方式突出了语境。

2．完形填空

文章对学生的语言理解能力和综合运用能力提出了较高的要求，重点突出了对单复数和语言

点的考查。

3．阅读理解

本大题包括五篇文章，安排较合理，难度适中，既有日常生活的题材，又有表格图片解说，

符合新课程的要求，体现新课程的理念。根据《新课程标准》五级有关读的目标描述，问题

符合“能找出文章中的主题，理解故事的情节…”等目标描述。阅读体现新课标所倡导的任

务型教学的理念。通过阅读短文，主要考查学生根据所获取的信息解决实际问题的能力。阅

读的难度不很大，完成任务的环节也比较简洁。

4．书面表达

书面表达中仿写与课本内容有着极大的相似之处，是对教材的深加工，做到了学以致用。创

新写作紧扣《课程标准》要求，结合《课程标准》有关写的目标描述，考查了学生综合应用

语言的能力。

三、典型错误分析

第一大题单项填空中，错误率较高。主要问题是对单词没理解透，平时讲过的语法没记住，

不能灵活应用。交际运用失分较多，主要是课文掌握不到位。

书面表达中考生的主要错误有：

1）在完成句子时不尊重原句的中文意思，改变了句意；

2）不会用英语思考，用英语表达的能力较差；

3）思路不清晰。

4）语言的基本功不扎实，病句较多；

（5）书写习惯不好，卷面不整洁。

书面表达部分中常见错误形式：

1．时态错误。a.时态混淆b.时态前后不一致c.主谓不一致

2.句子结构错误。

3．单词错误如：make写成mate等。

四、问题及对策

（一）主要问题

1、学校两极分化明显。因此如何有效地抑制两极分化，对学有困难的学生的转化提高，大

面积提高英语教学质量，对大多数学校来说，任务依然艰巨。

2、基础知识和基本技能不扎实，学生对一些基本词汇、语法、句型的掌握不够熟练，也就

谈不上运用了。因此，课堂教学中如何注重基础知识和基本技能的合理、有效地训练，应引

起教师的高度重视。

3、学生综合运用语言的能力不强，试卷中有许多试题要求学生在一定的语境中灵活运用知

识独立解决。但考查的结果却暴露教学中的一个薄弱环节。因此，在平时教学中如何培养学

生综合运用语言的能力应引起教师的高度重视，而不是单纯地教师讲语法，学生背语法。

4、学生的书面表达中中国式的英语较多，拼写错误也较多，在日常教学中如何对学生进行

有效的写的训练仍是教师需要考虑的问题。

（二）对策及建议

英语老师要更好地把握《英语课程标准》对日常教学的指导。英语测试强化“突出语篇，强

调应用，注重交际”这一原则，基础知识的考查从注重语言形式转变为注重语言意义，并要

求在特定的语境中理解其特定的含义，在情景设计上更加灵活和实用。因此教师要提高教学

质量，必须要在注重语法知识教学的同时，更应该注重增加综合性与语境化的因素。这就要

求在平时的教学中，注重语言的应用价值。

1、抓好听力训练关。

注重培养学生良好的听、说、读、写的习惯，把习惯变成能力。按《课程标准》所规定的有

关五级听的要求，加大听力训练量。在教学中不仅要培养学生的听力技能技巧,还要扩大听

力资源，使学生能尽可能多的获取语言输入量，使其听力水平逐步提高。

2、要求教师在平时教学中积极创设情景，促进口语交流。学习语言的目的在于正确使用语

言。因此，在教学中要结合学生的实际，编写有助于开展口语交流活动的材料，要设法创设

交流活动情景，以激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与语言实践活动，培养学生自主学

习的能力。

3、强化阅读，正确引导，开阔视野。随着《课程标准》的实行，对学生在阅读方面的要求

越来越高。而中考对考生阅读理解能力的考查，已由过去五个W的浅层考题过渡到找出短

文主旨、推断深层涵义、文中细节和猜词解义，特别要注重语篇和应用。为此，在初中阶段

必须适应这一要求，加大阅读量，提高阅读速度，提高考生的阅读理解水平，而且要帮助考

生掌握阅读技巧。

4、循序渐进，加强训练，提高写作技巧。在课堂教学中，教师按“句---段---篇”的训练程

序，由易到难，循序渐进。在平时的训练时，要分阶段进行，有内容，有侧重。要学生学会

谋篇布局的能力，找准切入点。要学会互评作文。同时教师应加强辅导，帮助学生掌握一些

写作技巧，注意书写习惯，增强写作信心，从而提高学生的写作能力。

考试已经过去了，但它给我带来的思考却时刻伴随我，由于这学期在班级管理和教学上力不

从心，出现了一些问题，教学效果很不理想，不能这样下去，我要克服困难，努力提高学生

的能力。。