2015高考题

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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5

页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

（1）设复数z满足

1+z

1z

=i，则|z|=

（A）1（B）2（C）

3

（D）2

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）

3

2

（B）

3

2

（C）

1

2

（D）

1

2

（3）设命题P：n



N，2n>2n，则P为

（A）n



N,2n>2n（B）n



N,2n≤2n

（C）n



N,2n≤2n（D）n



N,2n=2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为

0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

（5）已知

00

(,)Mxy是双曲线

2

2:1

2

x

Cy上的一点，

12

,FF是C上的两个焦点，若

12

0MFMF，则

0

y的取值范围是

（A）（-

3

3

，

3

3

）（B）（-

3

6

，

3

6

）

（C）（

22

3

，

22

3

）（D）（

23

3

，

23

3

）

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，

下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一

个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各

为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

（7）设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则

（A）

14

33

ADABAC(B)

14

33

ADABAC

（C）

41

33

ADABAC(D)

41

33

ADABAC

（8）函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为

(A)

13

(,),

44

kkkZ(B)

13

(2,2),

44

kkkZ

(C)

13

(,),

44

kkkZ(D)

13

(2,2),

44

kkkZ

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5（B）6（C）7（D）8

（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为

（A）10（B）20（C）30（D）60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为

r

)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视

图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20



，则

r

=

（A）1（B）2（C）4（D）8

12.设函数()(21)xfxexaxa,其中1a，若存在唯一的整数

0

x，使得

0

()0fx，则

a

的

取值范围是（）

A.

3

[,1)

2e

B.

33

[,)

24e

C.

33

[,)

24e

D.

3

[,1)

2e

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数2()ln()fxxxax为偶函数，则

a

（14）一个圆经过椭圆

22

1

164

xy

的三个顶点，且圆心在

x

轴上，则该圆的标准方程为。

（15）若,xy满足约束条件

10,

0,

40,

x

xy

xy

















则

y

x

的最大值为.

（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

n

S为数列{}

n

a的前

n

项和.已知20,243

nnnn

aaaS，

（Ⅰ）求{}

n

a的通项公式：

（Ⅱ）设

1

1

n

nn

b

aa



,求数列{}

n

b的前

n

项和。

（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，

DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售

量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费

i

x和年销售量

(1,2,...,8)

i

yi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x

y

w8

2

1

()

i

i

xx



8

2

1

()

i

i

ww



8

1

()()

ii

i

xxyy



8

1

()()

ii

i

wwyy





46.65636.8289.81.61469108.8

表中

ii

wx，

8

1

i

i

ww





（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与

ycdx

哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x

的

回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2zyx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据

1122

(,),(,),...,(,)

nn

uvuvuv,其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘

估计分别为：

^^^

1

2

1

()()

,

()

n

ii

i

n

i

i

uuvv

vu

uu















（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，曲线

2

:

4

x

Cy与直线:(0)lykxaa交与,MN两点，

（Ⅰ）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知函数3

1

(),()ln

4

fxxaxgxx

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；

（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨

论h（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做

答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E

（I）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（II）若

3OACE

，求∠ACB的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中。直线

1

C:2x，圆

2

C：22121xy,以坐标原点为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I）求

1

C，

2

C的极坐标方程；

（II）若直线

3

C的极坐标方程为

4

R



，设

2

C与

3

C的交点为M,N,求

2

CMN的

面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数()|1|2||,0fxxxaa.

（Ⅰ）当1a时，求不等式()1fx的解集；

（Ⅱ）若()fx的图像与

x

轴围成的三角形面积大于6，求

a

的取值范围

参考答案

一．选择题

（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B

（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D

二．填空题

（13）1（14）22

325

()

24

xy（15）3（16）(62,62)

三．解答题

（17）解：

（Ⅰ）由2243

nnn

aaS，可知2

111

243

nnn

aaS





可得22

111

2()4

nnnnn

aaaaa



，即

22

1111

2()()()

nnnnnnnn

aaaaaaaa





由于0

n

a，可得

1

2

nn

aa





又2

111

243aaa，解得

1

1a（舍去），

1

3a

所以

{}

n

a是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21

n

an…………………6分

（Ⅱ）由

21

n

an可知

1

11111

()

(21)(23)22123n

nn

b

aannnn







设数列

{}

n

b的前

n

项和为

n

T，则

12

...

nn

Tbbb

1111111

[()()...()]

235572123nn





3(23)

n

n





…………………………………………………………………………12分

（18）解：

（Ⅰ）连结BD，设BDACG，连结,,EGFGEF

在菱形ABCD中，不妨设1GB，由120ABC，可得

3AGGC

由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC，又AEEC，所以

3EG

，且

EGAC

在RtEBG中，可得2BE，故

2

2

DF

在RtFDG中，可得

6

2

FG，

在直角梯形BDFE中，由

2

2,2,

2

BDBEDF，可得

32

2

EF

从而222EGFGEF，所以EGFG

又ACFGG，可得EG平面AFC

因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC…………………………6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以

,GBGC

的方

向为

x

轴，y轴正方向，

||GB

为单位长，建

立空间直角坐标系Gxyz，由（Ⅰ）可得

(0,3,0)A，(1,0,2)E，

2

(1,0,)

2

F，

(0,3,0)C，

所以

2

(1,3,2),(1,3,)

2

AECF…………………………………10分

故

3

cos,

3

||||

AECF

AECF

AECF



所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为

3

3

…………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）由散点图可以判断，

ycdx

适宜作为年销售量y关于年宣传费

x

的回归方程类

型………………2分

（Ⅱ）令

wx

，先建立y关于

w

的线性回归方程，由于

8

^

1

8

2

1

()()

108.8

68

1.6

()

ii

i

i

i

wwyy

d

ww















^^

563686.8100.6cydw

所以y关于

w

的线性回归方程为

^

100.668yw，因此y关于

x

的线性回归方程

^

100.668yx…………………………………………6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x时，年销售量y的预报值

^

100.66849576.6y

年利润z的预报值

^

576.60.24966.32z…………………………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

^

0.2(100.668)13.620.12zxxxx

所以，当

13.6

6.8

2

x，即46.24x时，

^

z取得最大值，

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设可得

(2,),(2,)MaaNaa

，或

(2,),(2,)MaaNaa

又

2

x

y



，故

2

4

x

y在

2xa

处的导数值为

a

，C在点(2,)aa处的切线

方程为

(2)yaaxa

，即

0axya

2

4

x

y在

2xa

处的导数值为

a

，C在点(2,)aa处的切线方程为

(2)yaaxa，即0axya

故所求切线方程为

0axya

和

0axya

…………………5分

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设(0,)Pb为符合题意的点，

1122

(,),(,)MxyNxy，直线,PMPN的斜率分别为

12

,kk

将ykxa代入C的方程得2440xkxa

故

1212

4,4xxkxxa

从而12

12

12

ybyb

kk

xx





1212

12

2()()kxxabxx

xx





()kab

a





当ba时，有

12

0kk，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故

OPMOPN，所以点(0,)Pa符合题意…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）设曲线()yfx与

x

轴相切于点

0

(,0)x，则

00

()0,()0fxfx



，即

3

00

2

0

1

0,

4

30.

xax

xa















解得

0

13

,

24

xa

因此，当

3

4

a时，

x

轴为曲线()yfx的切线…………………………5分

（Ⅱ）当(1,)x时，()ln0gxx，从而()min{(),()}()0hxfxgxgx，

故()hx在(1,)无零点

当1x时，若

5

4

a，则

5

(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)0

4

fahfgg，故1x

是()hx的零点；若

5

4

a，则(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)0fhfgf，故

1x不是()hx的零点。

当(0,1)x时，()ln0gxx。所以只需考虑()fx在(0,1)的零点个数。

（ⅰ）若3a或0a，则2()3fxxa



在（0，1）无零点，故()fx在（0，1）

单调，而

15

(0),(1)

44

ffa，所以，当3a时，()fx在（0，1）有一个

零点；当0a时，()fx在（0，1）没有零点。

（ⅱ）若30a，则()fx在

(0,)

3

a



单调递减，在

(,1)

3

a



单调递增，故在（0，

1）中，当

3

a

x

时，()fx取得最小值，最小值为

21

()

3334

aaa

f

。

①

()0

3

a

f

，即

3

0

4

a，()fx在（0，1）无零点；

②

()0

3

a

f

，即

3

4

a，则()fx在（0，1）有唯一零点；

③

()0

3

a

f

，即

3

3

4

a，由于

15

(0),(1)

44

ffa，所以当

53

44

a时，()fx在（0，1）有两个零点；当

5

3

4

a时，()fx

在（0，1）有一个零点………………………………………………10分

综上，当

3

4

a或

5

4

a时，()hx有一个零点；当

3

4

a或

5

4

a时，()hx

有两个零点；当

53

44

a时，()hx有三个零点……………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）连结AE，由已知得，,AEBCACAB

在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE

连结OE，则OBEOEB

又90ACBABC，所以90DECOEB，故90OED，DE

是O的切线……………………………………5分

（Ⅱ）设1,CEAEx，由已知得223,12ABBEx

由射影定理可得，2AECEBE，所以2212xx，即42120xx

可得

3x

，所以60ACB……………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）因为cos,sinxy，所以

1

C的极坐标方程为cos2，

2

C的极坐标方

程为22cos4sin40……………………………5分

（Ⅱ）将

4



代入22cos4sin40，得23240，解得

12

22,2，故

12

2，即||2MN

由于

2

C的半径为1，所以

2

CMN的面积为

1

2

………………………10分

（24）解：

（Ⅰ）当1a时，()1fx化为|1|2|1|10xx

当1x时，不等式化为40x，无解；

当11x时，不等式化为320x，解得

2

1

3

x；

当1x时，不等式化为20x，解得12x

所以()1fx的解集为

2

{|2}

3

xx…………………5分

（Ⅱ）由题设可得，

12,1,

()312,1,

12,.

xax

fxxaxa

xaxa

















所以函数()fx的图像与

x

轴围成的三角形的三个顶点分别为

21

(,0)

3

a

A



，

(21,0)Ba，(,1)Caa，ABC的面积为2

2

(1)

3

a

由题设得2

2

(1)6

3

a，故2a

所以

a

的取值范围为(2,)………………………………10分