上下四分位数计算公式

统计学中四分位数的计算

分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后,处于各等分

位置的变量值。如果将全部数据分成相等的两部分,它就是中位

数;如果分成四等分,就是四分位数;八等分就是八分位数等。四

分位数也称为四分位点,它是将全部数据分成相等的四部分,其

中每部分包括25%的数据,处在各分位点的数值就是四分位数。

四分位数有三个,第一个四分位数就是通常所说的四分位数,称

为下四分位数,第二个四分位数就是中位数,第三个四分位数称

为上四分位数,分别用Q1、Q2、Q3表示。四分位数作为分位数的

一种形式,在统计中有着十分重要的作用和意义,现就四分位数

的计算做一详细阐述。

一、资料未分组四分位数计算

第一步:确定四分位数的位置。Qi所在的位置=i(n+1)/4,

其中i=1,2,3。n表示资料项数。

第二步:根据第一步四分位数的位置,计算相应四分位数。

例1:某数学补习小组11人年龄(岁)为:17,19,22,24,25,

28,34,35,36,37,38。则三个四分位数的位置分别为:

Q1所在的位置=(11+1)/4=3,Q2所在的位置

=2(11+1)/4=6,Q3所在的位置=3(11+1)/4=9。

变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分位

数、中位数和上四分位数,即:

Q1=22(岁)、Q2=28(岁)、Q3=36(岁)

我们不难发现,在上例中(n+1)恰好是4的整数倍,但在很多

实际工作中不一定都是整数倍。这样四分位数的位置就带有小数,

需要进一步研究。带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关

系:四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均

数,权数的大小取决于两个整数位置的远近,距离越近,权数越大,

距离越远,权数越小,权数之和应等于1。

例2:设有一组经过排序的数据为12,15,17,19,20,23,25,

28,30,33,34,35,36,37,则三个四分位数的位置分别为:

Q1所在的位置=(14+1)/4=3.75,Q2所在的位置

=2(14+1)/4=7.5,Q3所在的位置=3(14+1)/4=11.25。

变量中的第3.75项、第7.5项和第11.25项分别为下四分

位数、中位数和上四分位数,即:

Q1=0.25×第三项+0.75×第四项

=0.25×17+0.75×19=18.5;

Q2=0.5×第七项+0.5×第八项=0.5×25+0.5×28=26.5;

Q3=0.75×第十一项+0.25×第十二项

=0.75×34+0.25×35=34.25。

二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算

第一步:向上或向下累计次数(因篇幅限制,以下均采取向上

累计次数方式计算);

第二步:根据累计次数确定四分位数的位置:

Q1的位置=(∑f+1)/4,Q2的位置=2(∑f+1)/4,Q3的位

置=3(∑f+1)/4

式中:∑f表示资料的总次数;

第三步:根据四分位数的位置计算各四分位数(向上累计次

数,按照下限公式计算四分位数):

Qi=Li+×di

式中:Li――Qi所在组的下限,fi――Qi所在组的次

数,di――Qi所在组的组距;Qi-1――Qi所在组以前一组的累积

次数,∑f――总次数。

例3:某企业工人日产量的分组资料如下:

根据上述资料确定四分位数步骤如下:

(1)向上累计方式获得四分位数位置:

Q1的位置=(∑f+1)/4=(164+1)/4=41.25

Q2的位置=2(∑f+1)/4=2(164+1)/4=82.5

Q3的位置=3(∑f+1)/4=3(164+1)/4=123.75

(2)可知Q1,Q2,Q3分别位于向上累计工人数的第三组、第四

组和第五组,日产量四分位数具体为:

Q1=L1+×d1=70+×10=72.49(千克)

Q2=L2+×d2=80+×10=80.83(千克)

Q3=L3+×d3=90+×10=90.96(千克)