2015年四川高考

1

2015年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的。

1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=

（）

A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

考点：并集及其运算．

专题：函数的性质及应用．

分析：求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，

根据集合的并集可求解答案．

解答：解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，

∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，

∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，

故选：A

点评：本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．

2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i

3

﹣=（）

A．﹣iB．﹣3iC．

i

D．

3i

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：计算题．

分析：

通分得出，利用i的性质运算即可．

解答：

解：∵i是虚数单位，则复数i

3

﹣，

∴===i，

故选；C

点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．

3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）

2

A．

﹣

B．C．

﹣

D．

考点：程序框图．

专题：图表型；算法和程序框图．

分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计

算并输出S的值为．

解答：解：模拟执行程序框图，可得

k=1

k=2

不满足条件k＞4，k=3

不满足条件k＞4，k=4

不满足条件k＞4，k=5

满足条件k＞4，S=sin=，

输出S的值为．

故选：D．

点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．

4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）

A．

y=cos（2x+）

B．

y=sin（2x+）

C．

y=sin2x+cos2x

D．

y=sinx+cosx

考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．

3

解答：解：

y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确

y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；

y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；

y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；

故选：A．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能

力．

5．（5分）（2015•四川）过双曲线x

2

﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的

两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）

A．B．

2

C．

6

D．

4

考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．

解答：

解：双曲线x

2

﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，

过双曲线x

2

﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，

可得y

A

=2，y

B

=﹣2，

∴|AB|=4．

故选：D．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．

6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000

大的偶数共有（）

A．144个B．120个C．96个D．72个

考点：排列、组合及简单计数问题．

专题：应用题；排列组合．

分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4

中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，

每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可

得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．

4

解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、

4中其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3

个位置上，有A

4

3

=24种情况，此时有3×24=72个，

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3

个位置上，有A

4

3

=24种情况，此时有2×24=48个，

共有72+48=120个．

故选：B

点评：本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位

数字的特征，进而可得其可选的情况．

7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足

，，则=（）

A．

20

B．

15

C．

9

D．

6

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：

根据图形得出=+=，

==，=•（）=

2

﹣，

结合向量结合向量的数量积求解即可．

解答：

解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，

∴根据图形可得：=+=，

==，

∴=，

∵=•（）=

2

﹣，

2

=

22

，

=

22

，

||=6，||=4，

∴=

22

=12﹣3=9

故选；C

5

点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的

分解，表示．

8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3

a

＞3

b

＞3”是“log

a

3＜log

b

3”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：简易逻辑．

分析：

求解3

a

＞3

b

＞3，得出a＞b＞1，

log

a

3＜log

b

3，或根据对数函数的性质求解即可，

再利用充分必要条件的定义判断即可．

解答：解：a、b都是不等于1的正数，

∵3

a

＞3

b

＞3，

∴a＞b＞1，

∵log

a

3＜log

b

3，

∴，

即＜0，

或

求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1

根据充分必要条件定义得出：“3

a

＞3

b

＞3”是“log

a

3＜log

b

3”的充分条不必要件，

故选：B．

点评：本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关

键是分类讨论．

9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x

2

+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间

[]上单调递减，那么mn的最大值为（）

A．

16

B．

18

C．

25

D．

考点：基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．

6

专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．

分析：

函数f（x）=（m﹣2）x

2

+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则

f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函

数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即

可．结合基本不等式求出mn的最大值．

解答：

解：∵函数f（x）=（m﹣2）x

2

+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递

减，

∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函

数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即

可．即

由（2）得m≤（12﹣n），

∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检

验m=3，n=6满足（1）和（2）．

故选：B．

解法二：

∵函数f（x）=（m﹣2）x

2

+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，

∴①m=2，n＜8

对称轴x=﹣，

②即

③即

设或或

7

设y=，y′=，

当切点为（x

0

，y

0

），k取最大值．

①﹣=﹣2．k=2x，

∴y

0

=﹣2x

0

+12，y

0

==2x

0

，可得x

0

=3，y

0

=6，

∵x=3＞2

∴k的最大值为3×6=18

②﹣=﹣．，k=，

y

0

==，

2y

0

+x

0

﹣18=0，

解得：x

0

=9，y

0

=

∵x

0

＜2

∴不符合题意．

8

③m=2，n=8，k=mn=16

综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，

故选；B

点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判

断，难度较大，属于难题．

10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y

2

=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）

2

+y

2

=r

2

（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围

是（）

A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）

考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．

专题：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）

的距离为4，即可得出结论．

解答：

解：设A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

），M（x

0

，y

0

），则

斜率存在时，设斜率为k，则y

1

2

=4x

1

，y

2

2

=4x

2

，利用点差法可得ky

0

=2，

因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x

0

=3，

即M的轨迹是直线x=3，

代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，

所以2＜r＜4时，直线l有2条；

斜率不存在时，直线l有2条；

所以直线l恰有4条，2＜r＜4，

故选：D．

点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，

属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）

5

的展开式中，含x

2

的项的系数是﹣40（用数字

填写答案）．

考点：二项式定理的应用．

专题：二项式定理．

分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令

x的指数为2求得r，再代入系数求出结果．

解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，

T

r+1

=；

要求x

2

的项的系数，

∴5﹣r=2，

∴r=3，

∴x

2

的项的系数是2

2

（﹣1）

3

C

5

3

=﹣40．

9

故答案为：﹣40．

点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种

题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．

12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．

考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．

专题：三角函数的求值．

分析：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．

解答：

解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．

故答案为：．

点评：本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．

13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满

足函数关系y=e

kx+b

（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时

间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．

考点：函数与方程的综合运用．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：

由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e

kx+b

，解方程，可得k，

b，再由x=33，代入即可得到结论．

解答：解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．

代入函数y=e

kx+b

，

可得e

b

=192，e

22k+b

=48，

即有e

11k

=，e

b

=192，

则当x=33时，y=e

33k+b

=×192=24．

故答案为：24．

点评：本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．

14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相

垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的

角为θ，则cosθ的最大值为．

10

考点：异面直线及其所成的角．

专题：空间角；空间向量及应用．

分析：首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长

为2，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=

得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数

为减函数，从而求出cosθ的最大值．

解答：解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，

建立如图所示空间直接坐标系，设AB=2，则：

A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；

M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；

∴；

∴cosθ==；

设f（y）=，；

函数g（y）=﹣2y

2

+y﹣12是二次函数，对称轴为x=﹣3，且g（0）=﹣12＜0；

∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；

∴f（y）在[0，2]上单调递减；

∴y=0时，f（y）取到最大值．

故答案为：．

11

点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成

角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数

导数符号和函数单调性的关系．

15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2

x

，g（x）=x

2

+ax（其中a∈R）．对于不相等的

实数x

1

、x

2

，设m=，n=．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x

1

、x

2

，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x

1

、x

2

，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x

1

、x

2

，使得m=n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x

1

、x

2

，使得m=﹣n．

其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．

考点：命题的真假判断与应用．

专题：创新题型；开放型；函数的性质及应用．

分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；

通过函数h（x）=x

2

+ax﹣2

x

，求出导数判断单调性，即可判断③；

通过函数h（x）=x

2

+ax+2

x

，求出导数判断单调性，即可判断④．

解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，

则①正确；

对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，

则n＞0不恒成立，

则②错误；

对于③，由m=n，可得f（x

1

）﹣f（x

2

）=g（x

1

）﹣g（x

2

），考查函数h（x）=x

2

+ax

﹣2

x

，

h′（x）=2x+a﹣2

x

ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；

对于④，由m=﹣n，可得f（x

1

）﹣f（x

2

）=﹣[g（x

1

）﹣g（x

2

）]，考查函数h（x）

=x

2

+ax+2

x

，

h′（x）=2x+a+2

x

ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．

故答案为：①④．

点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判

断单调性是解题的关键．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）（2015•四川）设数列{a

n

}（n=1，2，3，…）的前n项和S

n

满足S

n

=2a

n

﹣a

1

，

且a

1

，a

2

+1，a

3

成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a

n

}的通项公式；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T

n

，求使得|T

n

﹣1|成立的n的最小值．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

12

分析：

（Ⅰ）由已知数列递推式得到a

n

=2a

n﹣1

（n≥2），再由已知a

1

，a

2

+1，a

3

成等差数列求

出数列首项，可得数列{a

n

}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T

n

，结合

求解指数不等式得n的最小值．

解答：

解：（Ⅰ）由已知S

n

=2a

n

﹣a

1

，有

a

n

=S

n

﹣S

n﹣1

=2a

n

﹣2a

n﹣1

（n≥2），

即a

n

=2a

n﹣1

（n≥2），

从而a

2

=2a

1

，a

3

=2a

2

=4a

1

，

又∵a

1

，a

2

+1，a

3

成等差数列，

∴a

1

+4a

1

=2（2a

1

+1），解得：a

1

=2．

∴数列{a

n

}是首项为2，公比为2的等比数列．故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

∴．

由，得，即2

n

＞1000．

∵2

9

=512＜1000＜1024=2

10

，

∴n≥10．

于是，使|T

n

﹣1|成立的n的最小值为10．

点评：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题．

17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名

男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由

于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表

队．

（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，

求X的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

专题：概率与统计．

分析：（Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；

（Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解

数学期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生个有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于

13

A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选

代表队的概率为：1﹣=；

（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人

数，

则X的可能取值为：1，2，3，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==．

X的分布列：

X123

P

和数学期望EX=1×=2．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分

析问题解决问题的能力．

18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所

示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．

（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；

（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

专题：空间位置关系与距离；空间角．

分析：（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；

（Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH；

（Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．

14

法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）F、G、H的位置如图；

证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点，

∵BC的中点为M、GH的中点为N，

∴OM∥CD，OM=CD，

HN∥CD，HN=CD，

∴OM∥HN，OM=HN，

即四边形MNHO是平行四边形，

∴MN∥OH，

∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，

∴直线MN∥平面BDH；

（Ⅲ）方法一：

连接AC，过M作MH⊥AC于P，

则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG，

∴MP⊥EG，

过P作PK⊥EG于K，连接KM，

∴EG⊥平面PKM

则KM⊥EG，

则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角，

设AD=2，则CM=1，PK=2，

在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=，

在Rt△PKM中，KM==，

∴cos∠PKM=，

即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．

方法二：以D为坐标原点，

分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：

设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），

则=（2，﹣2，0），，

15

设平面EGM的法向量为=（x，y，z），

则，即，令x=2，得=（2，2，1），

在正方体中，DO⊥平面AEGC，

则==（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，

则cos＜＞====．

二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．

点评：本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的

计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力．

19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．

（Ⅰ）证明：tan；

（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

考

点：

三角函数恒等式的证明．

专

题：

三角函数的图像与性质；解三角形．

分

析：

（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．

（Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简

tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，

连结AC，求出sinB，然后求解即可．

16

解

答：

证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．

（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：

tan+tan+tan+tan=

=，

连结BD，在△ABD中，有BD

2

=AB

2

+AD

2

﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，

在△BCD中，有BD

2

=BC

2

+CD

2

﹣2BC•CDcosC，

所以AB

2

+AD

2

﹣2AB•ADcosA=BC

2

+CD

2

﹣2BC•CDcosC，

则：cosA===．

于是sinA==，

连结AC，同理可得：cosB===，

于是sinB==．

所以tan+tan+tan+tan===．

点

评：

本题看二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思

想，转化与化归思想的应用．

20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P

（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截

得的线段长为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

17

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即

得结论；

（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，

则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达

定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．

解答：

解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，

∴点（，1）在椭圆E上，

又∵离心率是，

∴，解得a=2，b=，

∴椭圆E的方程为：+=1；

（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．

理由如下：

当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，

如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．

∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y

0

）．

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，

则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），

又∵=，∴=，解得y

0

=1或y

0

=2．

∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．

下面证明：对任意直线l，均有．

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．

18

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，

A、B的坐标分别为A（x

1

，y

1

）、B（x

2

，y

2

），

联立，消去y并整理得：（1+2k

2

）x

2

+4kx﹣2=0，

∵△=（4k）

2

+8（1+2k

2

）＞0，

∴x

1

+x

2

=﹣，x

1

x

2

=﹣，

∴+==2k，

已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x

2

，y

2

），

又k

AQ

===k﹣，k

QB′

===﹣k+=k﹣，

∴k

AQ

=k

QB′

，即Q、A、B′三点共线，

∴===．

故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，

考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类

与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．

21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x

2

﹣2ax﹣2a

2

+a，其中a＞0．

（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；

19

（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区

间（1，+∞）内有唯一解．

考

点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专

题：

创新题型；导数的综合应用．

分

析：

（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到

其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；

（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）

=x

2

，由函数零点存在定理得到x

0

∈（1，e），使得φ

（x

0

）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a

0

∈（0，

1），然后进一步利用导数说明当a=a

0

时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在

a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）

内有唯一解．

解

答：

解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

g（x）=，

∴．

当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，

在区间上单调递减；

当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）由=0，解得，

令φ（x）

=x

2

，

20

则φ（1）=1＞0，φ（e）=．

故存在x

0

∈（1，e），使得φ（x

0

）=0．

令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），

由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴．

即a

0

∈（0，1），

当a=a

0

时，有f′（x

0

）=0，f（x

0

）=φ（x

0

）=0．

由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，

故当x∈（1，x

0

）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x

0

）=0；

当x∈（x

0

，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x

0

）=0．

∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．

综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0

在区间（1，+∞）内有唯一解．

点

评：

本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理

论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化

归与转化等数学思想方法，是压轴题．