高中数学公式总结

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

U

xAxCA,

U

xCAxA.

2.德摩根公式

();()

UUUUUU

CABCACBCABCACB.

3.包含关系

ABAABB

UU

ABCBCA

U

ACB

U

CABR

4.容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB

()()()()cardABcardBCcardCAcardABC.

5．集合

12

{,,,}

n

aaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–

1个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)fxaxbxca;

(2)顶点式2()()(0)fxaxhka;

(3)零点式

12

()()()(0)fxaxxxxa.

7.解连不等式()NfxM常有以下转化形式

()NfxM[()][()]0fxMfxN

|()|

22

MNMN

fx





()

0

()

fxN

Mfx









11

()fxNMN





.

8.方程0)(xf在),(

21

kk上有且只有一个实根,与0)()(

21

kfkf不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程

)0(02acbxax有且只有一个实根在

),(

21

kk内,等价于0)()(

21

kfkf,或0)(

1

kf且

22

21

1

kk

a

b

k



,或0)(

2

kf且

2

21

22

k

a

b

kk





.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数

)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在

a

b

x

2

处及区

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若qp

a

b

x,

2

，则

minmaxmax

()(),()(),()

2

b

fxffxfpfq

a

；

qp

a

b

x,

2

，

maxmax

()(),()fxfpfq，

minmin

()(),()fxfpfq.

(2)当a<0时，若qp

a

b

x,

2

，则

min

()min(),()fxfpfq，若

qp

a

b

x,

2

，则

max

()max(),()fxfpfq，

min

()min(),()fxfpfq.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0fmfn，则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根.

设qpxxxf

2

)(，则

（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或

240

2

pq

p

m















；

（2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或2

()0

()0

40

2

fm

fn

pq

p

mn



























或

()0

()0

fm

afn











或

()0

()0

fn

afm











；

（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或

240

2

pq

p

m















.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数

的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是

min

(,)0()fxtxL.

(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立

的充要条件是

(,)0()

man

fxtxL.

(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是

0

0

0

a

b

c

















或

2

0

40

a

bac











.

12.真值表

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有

n

个

至多有（1n）个

小于不小于至多有

n

个

至少有（1n）个

对所有

x

，

成立

存在某

x

，

不成立p或qp且q

对任何

x

，存在某

x

，

不成立成立p且qp或q

14.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ

互互

互为为互

否否

逆逆

否否

否命题逆否命题

若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设

2121

,,xxbaxx那么



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在





上是增函数；



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在





上是减函数.

(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(



xf，则)(xf为增函数；如果

0)(



xf，则)(xf为减函数.

17.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减

函数;如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

)]([xgfy是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函

数是偶函数．

19.若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函

数，则)()(axfaxf.

20.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是

函数

2

ba

x



;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线

2

ba

x



对称.

21.若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,

2

(

a

对称;若

)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.

22．多项式函数1

10

()nn

nn

Pxaxaxa





的奇偶性

多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数()yfx的图象的对称性

(1)函数()yfx的图象关于直线

xa

对称()()faxfax

(2)()faxfx.

(2)函数()yfx的图象关于直线

2

ab

x



对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.

(2)函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线

2

ab

x

m



对称.

(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数)(xfy的图象右移

a

、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图

象；若将曲线0),(yxf的图象右移

a

、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图

象.

26．互为反函数的两个函数的关系

abfbaf)()(1.

27.若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为])([

1

1bxf

k

y,并不是

)([1bkxfy,而函数)([1bkxfy是])([

1

bxf

k

y的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.

(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.

(3)对数函数()log

a

fxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.

(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.

(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，

0

()

(0)1,lim1

x

gx

f

x

.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

（2）0)()(axfxf，

或)0)((

)(

1

)(xf

xf

axf，

或

1

()

()

fxa

fx



(()0)fx,

或2

1

()()(),(()0,1)

2

fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a；

(3))0)((

)(

1

1)(



xf

axf

xf，则)(xf的周期T=3a；

(4)

)()(1

)()(

)(

21

21

21xfxf

xfxf

xxf





且

1212

()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则

)(xf的周期T=4a；

(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa,则)(xf的周期T=5a；

(6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)

1m

n

n

m

a

a

（0,,amnN，且1n）.

(2)

1m

n

m

n

a

a

（0,,amnN，且1n）.

31．根式的性质

（1）

()n

naa.

（2）当

n

为奇数时，n

naa；

当

n

为偶数时，

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa













.

32．有理指数幂的运算性质

(1)(0,,)rsrsaaaarsQ.

(2)()(0,,)rsrsaaarsQ.

(3)()(0,0,)rrrabababrQ.

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性

质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logb

a

NbaN(0,1,0)aaN.

34.对数的换底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

(0a,且1a,0m,且1m,0N).

推论loglog

m

n

a

a

n

bb

m

(0a,且1a,,0mn,且1m,1n,0N).

35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)

log()loglog

aaa

MNMN;

(2)logloglog

aaa

M

MN

N

;

(3)

loglog()n

aa

MnMnR.

36.设函数

)0)((log)(2acbxaxxf

m

,记acb42.若)(xf的定义域为

R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要

单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若0a,0b,0x,

1

x

a

,则函数log()

ax

ybx

(1)当ab时,在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

上log()

ax

ybx为增函数.

，(2)当ab时,在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

上log()

ax

ybx为减函数.

推论:设1nm，0p，0a，且1a，则

（1）

log()log

mpm

npn



.

（2）2logloglog

2aaa

mn

mn



.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间

x

的总产值y，有

(1)xyNp.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn















(数列{}

n

a的前n项的和为

12nn

saaa).

40.等差数列的通项公式

*

11

(1)()

n

aanddnadnN；

其前n项和公式为

1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad





2

1

1

()

22

d

nadn.

41.等比数列的通项公式

1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

；

其前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq





















或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq





















.

42.等比差数列

n

a:

11

,(0)

nn

aqadabq



的通项公式为

1

(1),1

()

,1

1

nn

n

bndq

a

bqdbqd

q

q























；

其前n项和公式为

(1),(1)

1

(),(1)

111

n

n

nbnndq

s

dqd

bnq

qqq





















.

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款

(1)

(1)1

n

n

abb

x

b







元(贷款

a

元,

n

次还清,每期利率为b).

44．常见三角不等式

（1）若(0,)

2

x



，则sintanxxx.

(2)若(0,)

2

x



，则1sincos2xx.

(3)|sin||cos|1xx.

45.同角三角函数的基本关系式

22sincos1，tan=





cos

sin

，tan1cot.

46.正弦、余弦的诱导公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co



























2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co



























47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan

tan()

1tantan









.

22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);

22cos()cos()cossin.

sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决

定,tan

b

a

).

48.二倍角公式

sin22sincos.

2222cos2cossin2cos112sin.

2

2tan

tan2

1tan











.

49.三倍角公式

3sin33sin4sin4sinsin()sin()

33



.

3cos34cos3cos4coscos()cos()

33



.

3

2

3tantan

tan3tantan()tan()

13tan33













.

50.三角函数的周期公式

函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，

ω＞0)的周期

2

T





；函数tan()yx，,

2

xkkZ



(A,ω,为常数，且A

(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

≠0，ω＞0)的周期T





.

51.正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

.

52.余弦定理

2222cosabcbcA;

2222cosbcacaB;

2222coscababC.

53.面积定理

（1）

111

222abc

Sahbhch（

abc

hhh、、分别表示a、b、c边上的高）.

（2）

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB.

(3)22

1

(||||)()

2OAB

SOAOBOAOB



.

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB

222

CAB

222()CAB.

55.简单的三角方程的通解

sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZa.

s2arccos(,||1)coxaxkakZa.

tanarctan(,)xaxkakZaR.

特别地,有

sinsin(1)()kkkZ.

scos2()cokkZ.

tantan()kkZ.

56.最简单的三角不等式及其解集

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.

cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ.

cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ.

tan()(arctan,),

2

xaaRxkakkZ



.

tan()(,arctan),

2

xaaRxkkakZ



.

57.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a·b=b·a（交换律）;

(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;

(3)（a+b）·c=a·c+b·c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b0，则ab(b0)

1221

0xyxy.

53.a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

61.a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a+b=

1212

(,)xxyy.

(2)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a-b=

1212

(,)xxyy.

(3)设A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,则

2121

(,)ABOBOAxxyy.

(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.

(5)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a·b=

1212

()xxyy.

63.两向量的夹角公式

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy









(a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

64.平面两点间的距离公式

,AB

d

=||ABABAB

22

2121

()()xxyy(A

11

(,)xy，B

22

(,)xy).

65.向量的平行与垂直

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b



0，则

A||bb=λa

1221

0xyxy.

ab(a



0)a·b=0

1212

0xxyy.

66.线段的定比分公式

设

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，(,)Pxy是线段

12

PP的分点,是实数，且

12

PPPP，则

12

12

1

1

xx

x

yy

y



































12

1

OPOP

OP













12

(1)OPtOPtOP（

1

1

t







）.

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为

11

A(x,y)

、

22

B(x,y)

、

33

C(x,y)

,则△ABC的重心的坐

标是123123(,)

33

xxxyyy

G



.

68.点的平移公式

''

''

xxhxxh

yykyyk

















''OPOPPP

.

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形'F上的对应点为'''(,)Pxy，且'PP的

坐标为(,)hk.

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到点'(,)Pxhyk.

(2)函数()yfx的图象C按向量a=(,)hk平移后得到图象'C,则'C的函数解析式

为()yfxhk.

(3)图象'C按向量a=(,)hk平移后得到图象C,若C的解析式()yfx,则'C的函数

解析式为()yfxhk.

(4)曲线C:(,)0fxy按向量a=(,)hk平移后得到图象'C,则'C的方程为

(,)0fxhyk.

(5)向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为m=(,)xy.

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则

（1）O为ABC的外心

222OAOBOC

.

（2）O为ABC的重心0OAOBOC.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

（1）,abR222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）,abR

2

ab

ab



(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）3333(0,0,0).abcabcabc

（4）柯西不等式

22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR

（5）bababa.

72.极值定理

已知yx,都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；

（2）若和yx是定值

s

，则当yx时积xy有最大值2

4

1

s.

推广已知Ryx,，则有

xyyxyx2)()(22

（1）若积xy是定值,则当||yx最大时,||yx最大；

当||yx最小时,||yx最小.

（2）若和||yx是定值,则当||yx最大时,||xy最小；

当||yx最小时,||xy最大.

73.一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果

a

与

2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果

a

与2axbxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212

()()0()xxxxxxxxx；

121212

,()()0()xxxxxxxxxx或.

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

22xaxaaxa.

22xaxaxa或

xa

.

75.无理不等式

（1）

()0

()()

()0

()()

fx

fxgx

gx

fxgx



















.

（2）

2

()0

()0

()()

()0

()0

()[()]

fx

fx

fxgx

gx

gx

fxgx



























或.

（3）

2

()0

()()

()0

()[()]

fx

fxgx

gx

fxgx



















.

76.指数不等式与对数不等式

(1)当1a时,

()()()()fxgxaafxgx;

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















.

(2)当01a时,

()()()()fxgxaafxgx;

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















77.斜率公式

21

21

yy

k

xx







（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

78.直线的五种方程

（1）点斜式

11

()yykxx(直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式11

2121

yyxx

yyxx







(

12

yy)(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx)).

(4)截距式1

xy

ab

(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若

111

:lykxb，

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb;

②

1212

1llkk.

(2)若

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC

；

②

121212

0llAABB；

80.夹角公式

(1)21

21

tan||

1

kk

kk









.

(

111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk)

(2)1221

1212

tan||

ABAB

AABB









.

(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB).

直线

12

ll时，直线l1与l2的夹角是

2



.

81.

1

l到

2

l的角公式

(1)21

21

tan

1

kk

kk









.

(

111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB









.

(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB).

直线

12

ll时，直线l1到l2的角是

2



.

82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()yykxx(除直线

0

xx),其中k是待定的系数;经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()()0AxxByy,其中,AB是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC的交点

的直线系方程为

111222

()()0AxByCAxByC(除

2

l)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，λ是

参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

0BxAy,λ是参变量．

83.点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







(点

00

(,)Pxy,直线l：0AxByC).

84.0AxByC或0所表示的平面区域

设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：

若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC

异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC

异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

85.

111222

()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域

设曲线

111222

:()()0CAxByCAxByC（

1212

0AABB），则

111222

()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域是：

111222

()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分；

111222

()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

（1）圆的标准方程222()()xaybr.

（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).

（3）圆的参数方程

cos

sin

xar

ybr















.

（4）圆的直径式方程

1212

()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是

11

(,)Axy、

22

(,)Bxy).

87.圆系方程

(1)过点

11

(,)Axy,

22

(,)Bxy的圆系方程是

1212112112

()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx

1212

()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线

AB的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方程

是22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数．

(3)过圆

1

C:22

111

0xyDxEyF与圆

2

C:22

222

0xyDxEyF的交

点的圆系方程是2222

111222

()0xyDxEyFxyDxEyF,λ是待定的

系数．

88.点与圆的位置关系

点

00

(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

若22

00

()()daxby，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;

0相切rd;

0相交rd.

其中

22BA

CBbAa

d





.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO

21

条公切线外离4

21

rrd;

条公切线外切3

21

rrd;

条公切线相交2

2121

rrdrr;

条公切线内切1

21

rrd;

无公切线内含

21

0rrd.

91.圆的切线方程

(1)已知圆220xyDxEyF．

①若已知切点

00

(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是

00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



.

当

00

(,)xy圆外时,00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



表示过两个切点

的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为

00

()yykxx，再利用相切条件求k，这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆222xyr．

①过圆上的

000

(,)Pxy点的切线方程为2

00

xxyyr;

②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.

92.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

93.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

焦半径公式

)(

2

1c

a

xePF，)(

2

2

x

c

a

ePF.

94．椭圆的的内外部

（1）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

（2）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

95.椭圆的切线方程

(1)椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

（2）过椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是

22222AaBbc.

96.双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的焦半径公式

2

1

|()|

a

PFex

c

，

2

2

|()|

a

PFex

c

.

97.双曲线的内外部

(1)点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

(2)点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y.

(2)若渐近线方程为x

a

b

y

0

b

y

a

x

双曲线可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线，可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（0，焦点在x

轴上，0，焦点在y轴上）.

99.双曲线的切线方程

(1)双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

（2）过双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是

22222AaBbc.

100.抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22(0)ypxp焦半径

02

p

CFx.

过焦点弦长pxx

p

x

p

xCD

212122

.

101.抛物线pxy22上的动点可设为P),

2

(

2



y

p

y

或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中

22ypx.

102.二次函数

2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa





(0)a的图象是抛物线：（1）顶

点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



；（2）焦点的坐标为

241

(,)

24

bacb

aa



；（3）准线方程是

241

4

acb

y

a



.

103.抛物线的内外部

(1)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.

(2)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.

(3)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

(4)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

104.抛物线的切线方程

(1)抛物线pxy22上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是

00

()yypxx.

（2）过抛物线pxy22外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

()yypxx.

（3）抛物线22(0)ypxp与直线0AxByC相切的条件是22pBAC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线

1

(,)0fxy,

2

(,)0fxy的交点的曲线系方程是

12

(,)(,)0fxyfxy(为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

22

22

1

xy

akbk





,其中22max{,}kab.当

22min{,}kab时,表示椭圆;当2222min{,}max{,}abkab时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式22

1212

()()ABxxyy或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco（弦端点

A),(),,(

2211

yxByx，由方程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到02cbxax，0,为直线

AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线(,)0Fxy关于点

00

(,)Pxy成中心对称的曲线是

00

(2-,2)0Fxxyy.

（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







.

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用

0

xx代2x，用

0

yy代2y，

用00

2

xyxy

代xy，用0

2

xx

代

x

，用0

2

yy

代y即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF



，曲线的切线，切点弦，中点

弦，弦中点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的

以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

PAB、、三点共线||APABAPtAB(1)OPtOAtOB.

||ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,xy,使paxby．

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,xy,使

MPxMAyMB

，

或对空间任一定点O，有序实数对,xy，使

OPOMxMAyMB

.

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足

OPxOAyOBzOC

（xyzk），则当1k时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当1k

时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共

面．

CAB、、、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

(1)ODxyOAxOByOC（O平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，

y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实

数x，y，z，使

OPxOAyOBzOC

.

121.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影'A，作B

点在l上的射影'B，则

''||cosABAB〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb则

(1)a＋b＝

112233

(,,)ababab；

(2)a－b＝

112233

(,,)ababab；

(3)λa＝

123

(,,)aaa(λ∈R)；

(4)a·b＝

112233

ababab；

123.设A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

ABOBOA=

212121

(,,)xxyyzz.

124．空间的线线平行或垂直

设

111

(,,)axyz

r

，

222

(,,)bxyz

r

，则

ab

rr

P(0)abb

rrrr



12

12

12

xx

yy

zz























；

ab

rr

0ab

rr



121212

0xxyyzz.

125.夹角公式

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb，则

cos〈a，b〉=112233

222222

123123

ababab

aaabbb





.

推论2222222

3

()()()abababaaabbb，此即三维柯西不等式.

126.四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则

2222|()()|

cos

2

ABCDBCDA

ACBD









.

127．异面直线所成角

cos|cos,|ab

rr

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz











rr

rr

（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,ab

rr

分别表示异面直线ab,的方向向量）

128.直线AB与平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm





(m为平面的法向量).

129.若ABC所在平面若与过若AB的平面



成的角,另两边AC,BC与平面

成的角分别是

1

、

2

,AB、为ABC的两个内角，则

22222

12

sinsin(sinsin)sinAB

.

特别地,当90ACB时,有

222

12

sinsinsin

.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面



成的角,另两边AC,BC与平面



成的角分别是

1

、

2

,''AB、为ABO的两个内角，则

222'2'2

12

tantan(sinsin)tanAB

.

特别地,当90AOB时,有

222

12

sinsinsin.

131.二面角l的平面角

cos

||||

mn

arc

mn





或cos

||||

mn

arc

mn





（m，n为平面，的法向量）.

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为

1

，AB与

AC所成的角为

2

，AO与AC所成的角为．则

12

coscoscos.

133.三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是

1

,

2

,与二面

角的棱所成的角是θ，则有2222

1212

sinsinsinsin2sinsincos;

1212

||180()(当且仅当90时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

,AB

d

=||ABABAB222

212121

()()()xxyyzz.

135.点Q到直线l距离

22

1

(||||)()

||

habab

a

(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量

b=

PQ

).

136.异面直线间的距离

||

||

CDn

d

n



(

12

,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是

12

,ll上任一点，d为

12

,ll间的距离).

137.点B到平面



的距离

||

||

ABn

d

n



（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

138.异面直线上两点距离公式

2222cosdhmnmn.

222'2cos,dhmnmnEAAF.

2222cosdhmnmn（'EAAF）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h.在直线a、b上分别取两

点E、F，'AEm,AFn,EFd).

139.三个向量和的平方公式

222

2()222abcabcabbcca

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca

140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

123

lll、、，夹角分

别为

123

、、,则有

2222

123

llll222

123

coscoscos1222

123

sinsinsin2

.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141.面积射影定理

'

cos

S

S



.

(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的为).

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是

S

斜棱柱侧

和

V

斜棱柱

,它的直截面的周长和

面积分别是

1

c和

1

S,则

①

1

Scl

斜棱柱侧

.

②

1

VSl

斜棱柱

.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积

的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相

似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的

比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

2VFE(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为

n

的多边形，则面数F

与棱数E的关系：

1

2

EnF；

（2）若每个顶点引出的棱数为

m

，则顶点数V与棱数E的关系：

1

2

EmV.

146.球的半径是R，则

其体积3

4

3

VR,

其表面积24SR．

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线

长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体:

棱长为

a

的正四面体的内切球的半径为

6

12

a,外接球的半径为

6

4

a.

148．柱体、锥体的体积

1

3

VSh

柱体

（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

1

3

VSh

锥体

（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

149.分类计数原理（加法原理）

12n

Nmmm.

150.分步计数原理（乘法原理）

12n

Nmmm.

151.排列数公式

m

n

A=)1()1(mnnn=

！

！

)(mn

n



.(

n

，

m

∈N*，且mn)．

注:规定1!0.

152.排列恒等式

(1）1(1)mm

nn

AnmA;

（2）

1

mm

nn

n

AA

nm





;

（3）1

1

mm

nn

AnA



;

（4）1

1

nnn

nnn

nAAA



;

（5）1

1

mmm

nnn

AAmA



.

(6)1!22!33!!(1)!1nnn.

153.组合数公式

m

n

C=

m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn









21

)1()1(

=

！！

！

)(mnm

n



(

n

∈N*，mN，且mn).

154.组合数的两个性质

(1)m

n

C=mn

n

C;

(2)m

n

C+1m

n

C=m

n

C

1

.

注:规定

10

n

C

.

155.组合恒等式

（1）1

1

mm

nn

nm

CC

m





;

（2）

1

mm

nn

n

CC

nm





;

（3）1

1

mm

nn

n

CC

m





;

（4）



n

r

r

n

C

0

=n2;

（5）1

121





r

n

r

n

r

r

r

r

r

r

CCCCC.

(6)nn

n

r

nnnn

CCCCC2210.

(7)14205312n

nnnnnn

CCCCCC.

(8)1321232nn

nnnn

nnCCCC.

(9)r

nm

r

n

r

mn

r

mn

r

m

CCCCCCC



0110

.

(10)n

n

n

nnnn

CCCCC

2

2222120)()()()(

.

156.排列数与组合数的关系

mm

nn

AmC！

.

157．单条件排列

以下各条的大前提是从

n

个元素中取

m

个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有1

1





m

n

A种；②某（特）元不在某位有1

1





m

n

m

n

AA（补集思想）

1

1

1

1





m

nn

AA（着眼位置）1

1

1

11





m

nm

m

n

AAA（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有km

kn

k

k

AA



种.

②浮动紧贴：

n

个元素的全排列把k个元排在一起的排法有k

k

kn

kn

AA1

1





种.注：此类问题

常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（1hk），把它们合在一起来作全排列，k个的一

组互不能挨近的所有排列数有k

h

h

h

AA

1

种.

（3）两组元素各相同的插空

m

个大球

n

个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当1mn时，无解；当1mn时，有n

m

n

n

n

mC

A

A

1

1



种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为n

nm

C



.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的

m

、

n

个物件等分给

m

个人，各得

n

件，其分配

方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mnn

mn

CCCCCN

)!(

)!(

22





.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的

m·n

个物体等分为无记号或无顺序的

m

堆，其

分配方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mn

nm

mn

m

CCCCC

N

)!(!

)!(

!

...

22



.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的

)

12m

P(P=n+n++n

个物体分给

m

个人，物件

必须被分完，分别得到

1

n，

2

n，…，

m

n件，且

1

n，

2

n，…，

m

n这

m

个数彼此不相等，则

其分配方法数共有

!!...!

!!

!...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

mp

mCCCNm

m





.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的

)

12m

P(P=n+n++n

个物体分给

m

个人，

物件必须被分完，分别得到

1

n，

2

n，…，

m

n件，且

1

n，

2

n，…，

m

n这

m

个数中分别有a、

b、c、…个相等，则其分配方法数有

!...!!

!...2

1

1

cba

mCCC

Nm

m

n

n

n

np

n

p





12

!!

!!...!(!!!...)

m

pm

nnnabc

.

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的

)

12m

P(P=n+n++n

个物体分为任意的

1

n，

2

n，…，

m

n件无记号的

m

堆，且

1

n，

2

n，…，

m

n这

m

个数彼此不相等，则其分配方法数

有

!!...!

!

21m

nnn

p

N.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的

)

12m

P(P=n+n++n

个物体分为任意的

1

n，

2

n，…，

m

n件无记号的

m

堆，且

1

n，

2

n，…，

m

n这

m

个数中分别有a、b、c、…个

相等，则其分配方法数有

!...)!!(!!...!

!

21

cbannn

p

N

m

.

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（

2m

pnnn

1

+++

）个物体分给甲、乙、

丙，……等

m

个人，物体必须被分完，如果指定甲得

1

n件，乙得

2

n件，丙得

3

n件，…时，

则无论

1

n，

2

n，…，

m

n等

m

个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

!!...!

!

...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

p

CCCNm

m





.

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信

n

封信与

n

个信封全部错位的组合数为

1111

()![(1)]

2!3!4!!

nfnn

n

.

推广:

n

个元素与

n

个位置,其中至少有

m

个元素错位的不同组合总数为

1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

mmmm

ppmm

mm

fnmnCnCnCnCn

CnpCnm





1234

1224

![1(1)(1)]

pm

pm

mmmmmm

pm

nnnnnn

CCCCCC

n

AAAAAA

.

160．不定方程

2n

xxxm

1

+++

的解的个数

(1)方程

2n

xxxm

1

+++

（,nmN）的正整数解有

1

1

m

nC



个.

(2)方程

2n

xxxm

1

+++

（,nmN）的非负整数解有

1

1

nm

nC



个.

(3)方程

2n

xxxm

1

+++

（,nmN）满足条件

i

xk(kN,21in)

的非负整数解有

1

1

(2)(1)

m

n

nk

C







个.

(4)方程

2n

xxxm

1

+++

（,nmN）满足条件

i

xk(kN,21in)

的正整数解有

12222321(2)

11121221(1)

nmnmnknmnknmnk

nnnnnnCCCCCCC



个.

161.二项式定理

nn

n

rrnr

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba222110)(;

二项展开式的通项公式

rrnr

nr

baCT





1

)210(nr，，，.

162.等可能性事件的概率

()

m

PA

n

.

163.互斥事件A，B分别发生的概率的和

P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.

n

个互斥事件分别发生的概率的和

P(A

1

＋A

2

＋…＋A

n

)=P(A

1

)＋P(A

2

)＋…＋P(A

n

)．

165.独立事件A，B同时发生的概率

P(A·B)=P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A

1

·A

2

·…·A

n

)=P(A

1

)·P(A

2

)·…·P(A

n

)．

167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

()(1).kknk

nn

PkCPP

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）

0(1,2,)

i

Pi;

（2）

12

1PP.

169.数学期望

1122nn

ExPxPxP

170.数学期望的性质

（1）()()EabaEb.

（2）若～(,)Bnp,则Enp.

(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkgkpqp，则

1

E

p

.

171.方差

222

1122nn

DxEpxEpxEp

172.标准差

=D.

173.方差的性质

(1)2DabaD；

(2）若～(,)Bnp，则(1)Dnpp.

(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkgkpqp，则

2

q

D

p

.

174.方差与期望的关系

2

2DEE.

175.正态分布密度函数





2

226

1

,,

26

x

fxex









，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

2

2

1

,,

26

x

fxex



.

177.对于2(,)N，取值小于x的概率



x

Fx















.



12201

xxPxxPxxxP



21

FxFx

21

xx













.

178.回归直线方程

yabx，其中





11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx





























.

179.相关系数



1

22

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy

















1

2222

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

xnxyny















.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

180.特殊数列的极限

（1）

0||1

lim11

||11

n

n

q

qq

qq



















不存在或

.

（2）

1

10

1

10

0()

lim()

()

kk

kkt

tt

n

ttk

kt

ananaa

kt

bnbnbb

kt



































不存在

.

（3）

1

1

1

lim

11

n

n

aq

a

S

qq







（S无穷等比数列1

1

naq(||1q)的和）.

181.函数的极限定理

0

lim()

xx

fxa





00

lim()lim()

xxxx

fxfxa



.

182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

（1）()()()gxfxhx;

（2）

00

lim(),lim()

xxxx

gxahxa



（常数）,

则

0

lim()

xx

fxa



.

本定理对于单侧极限和

x

的情况仍然成立.

183.几个常用极限

（1）

1

lim0

nn

，lim0n

n

a



（||1a）；

（2）

0

0

lim

xx

xx



，

0

0

11

lim

xxxx

.

184.两个重要的极限

（1）

0

sin

lim1

x

x

x

；

（2）

1

lim1

x

x

e

x









(e=2.718281845…).

185.函数极限的四则运算法则

若

0

lim()

xx

fxa



，

0

lim()

xx

gxb



，则

(1)

0

lim

xx

fxgxab









；

(2)

0

lim

xx

fxgxab









;

(3)







0

lim0

xx

fx

a

b

gxb

.

186.数列极限的四则运算法则

若lim,lim

nn

nn

aabb



，则

(1)lim

nn

n

abab



；

(2)lim

nn

n

abab



；

(3)lim0n

n

n

a

a

b

bb



(4)limlimlim

nn

nnn

cacaca



(c是常数).

187.)(xf在

0

x处的导数（或变化率或微商）

0

00

0

00

()()

()limlim

xx

xx

fxxfx

y

fxy

xx













.

188.瞬时速度

00

()()

()limlim

tt

ssttst

st

tt













.

189.瞬时加速度

00

()()

()limlim

tt

vvttvt

avt

tt









.

190.)(xf在),(ba的导数

()

dydf

fxy

dxdx





00

()()

limlim

xx

yfxxfx

xx







.

191.函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义

函数)(xfy在点

0

x处的导数是曲线)(xfy在))(,(

00

xfxP处的切线的斜率

)(

0

xf



，相应的切线方程是))((

000

xxxfyy



.

192.几种常见函数的导数

(1)0



C（C为常数）.

(2)'1()()n

n

xnxnQ.

(3)xxcos)(sin



.

(4)xxsin)(cos



.

(5)

x

x

1

)(ln



；e

a

x

x

alog

1

)(log



.

(6)xxee



)(;aaaxxln)(



.

193.导数的运算法则

（1）'''()uvuv.

（2）'''()uvuvuv.

（3）

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv



.

194.复合函数的求导法则

设函数()ux在点

x

处有导数''()

x

ux

，函数)(ufy在点

x

处的对应点U处有

导数''()

u

yfu

，则复合函数(())yfx在点

x

处有导数，且'''

xux

yyu

，或写作

'''(())()()

x

fxfux

.

195.常用的近似计算公式（当x充小时）

(1)xx

2

1

11;x

n

xn

1

11；

(2)

(1)1()xxR；x

x





1

1

1

；

(3)xex1；

(4)xxl

n

)1(；

(5)xxsin（

x

为弧度）；

(6)xxtan（

x

为弧度）；

(7)xxarctan（

x

为弧度）

196.判别)(

0

xf是极大（小）值的方法

当函数)(xf在点

0

x处连续时，

（1）如果在

0

x附近的左侧0)(



xf，右侧0)(



xf，则)(

0

xf是极大值；

（2）如果在

0

x附近的左侧0)(



xf，右侧0)(



xf，则)(

0

xf是极小值.

197.复数的相等

,abicdiacbd.（,,,abcdR）

198.复数zabi的模（或绝对值）

||z=||abi=22ab.

199.复数的四则运算法则

(1)()()()()abicdiacbdi;

(2)()()()()abicdiacbdi;

(3)()()()()abicdiacbdbcadi;

(4)

2222

()()(0)

acbdbcad

abicdiicdi

cdcd







.

200.复数的乘法的运算律

对于任何

123

,,zzzC，有

交换律:

1221

zzzz.

结合律:

123123

()()zzzzzz.

分配律:

1231213

()zzzzzzz.

201.复平面上的两点间的距离公式

22

122121

||()()dzzxxyy（

111

zxyi，

222

zxyi）.

202.向量的垂直

非零复数

1

zabi，

2

zcdi对应的向量分别是

1

OZ，

2

OZ，则

12

OZOZ

12

zz的实部为零2

1

z

z

为纯虚数222

1212

||||||zzzz

222

1212

||||||zzzz

1212

||||zzzz0acbd

12

ziz(λ为非

零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程20axbxc，

①若240bac,则

2

1,2

4

2

bbac

x

a



