二次根式测试题

一、选择题

1．下列运算中，正确的是()

A

．

53－

23=

3B

．

22×

32=

6

C

．

33÷3=

3D

．

23＋

32=

55

2．下列计算正确的是（）

A

．42B

．233C

．2

55D

．2

33

3．下列计算正确的是（）

A

．336B

．3323C

．336D

．3333

4．计算

1

271848

3



的结果是

（）

A

．

1B

．

﹣1C

．32D

．23

5．当0x时，二次根式42x的值是（）

A

．

4B

．

2C

．2D

．

0

6．下列运算中，正确的是

()

A

．

1

33

3











=3B

．

(12-7)÷3=-1

C

．32÷

1

2

2

=2D

．

(2+3)×3=63

7．设

S=

22222222

11111111

1111

，则不大于

S

的最大整数

[S]

等于

()

A

．

98B

．

99C

．

100D

．

101

8．若实数a，b满足+=3，﹣=3k，则k的取值范围是（）

A

．﹣3≤k≤2

B

．﹣3≤k≤3

C

．﹣1≤k≤1

D

．k≥﹣1

9．下列运算中错误的是（）

A

．235B

．236C

．822D

．2(3)3

10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②

0.1

的算术平方根是

0.01

；③计算3(3＋

1

23

)

＝

5

；④如果点

P

（

3

－

2n

，

1

）到两坐标轴的距离相等，那

么

n

＝

1

，其中假命题的有（）

A

．

1

个

B

．

2

个

C

．

3

个

D

．

4

个

二、填空题

11．化简322

___________

．

12．定义：对非负实数

x

“四舍五入”到个位的值记为

()fx

z

，

即：当

n

为非负整数时，如果

11

22

nxn≤

，则

()fxn

z

．

如：

(0)(0.48)0ff

zz

，

(0.64)(1.49)1ff

zz

，

(4)(3.68)4ff

zz

，

试解决下列问题：

①

(3)f

z

__________

；

②2(33)f

z

__________

；

③

222222

111

(11)(22)(22)(33)(33)(44)ffffff





zzzzzz

22

1

(20172017)(20182018)ff





zz

__________

．

13．计算623

=________________.

14．已知：

x=

3

5+2

，则2可用含x的有理系数三次多项式来表示为：2

=_____

．

15．若

0xy

，则二次根式

2

y

x

x



化简的结果为

________

．

16．使式子

3

2

x

x





有意义的

x

的取值范围是

______

．

17．化简4102541025

_______

．

18．如果

0xy

，化简2xy__________

．

19．要使4x有意义，则x的取值范围是

_____

20．若12与最简二次根式a1能合并成一项，则

a

=______．

三、解答题

21．阅读下面问题：

阅读理解：

121

2

21(21)(21)







﹣

1

；

132

32

32(32)(32)







；

11(52)

52

52(52)(52)







．

应用计算：（

1

）

1

76

的值；

（

2

）

1

1nn

（

n

为正整数）的值．

归纳拓展：（

3

）

11111

9100





的值．

【答案】应用计算：（

1

）76；（

2

）1nn；归纳拓展：（

3

）

9

．

【分析】

由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（

1

）乘以

7-6

分母利用平方差公式计算即可，（

2

）乘以n1-n分母利用平方差公式计算即可，

（

3

）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，

分子合并同类项二次根式即可．

【详解】

（

1

）

17-6

==7-6

7+6

7+67-6

．

（

2

）

1n1-

==n1-

n1+

n1+n1-

n

n

n

nn









．

（

3

）

11111

+++++

1+22+33+498+9999+100，



2-13-24-399-98100-99

=+++++

1+22-12+33-23+44-398+9999-9899+100100-99

，

=2-1+

3-2

+4-3

++

99-98+100-99，

=100-1，

=10-1

，

=9

．

【点睛】

本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分

母．

22．计算

(1)

22131

13

aaaa

aa







;

(2)

已知

a

、

b

是实数，且26a+

2b

＝

0.

求

a

、

b

的值

(3)

已知

abc

＝

1

，求

111

abc

ababcbacc





的值

【答案】（

1

）

2

22

23

a

aa







；（

2

）

a=

－

3

，

b=2；（

3

）

1.

【分析】

（

1

）先将式子进行变形得到

1131

13

aaaa

aa







，此时可以将其化简为

11

13

aa

aa











，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；

（

2

）根据二次根式及绝对值的非负性得到

2a+6=0

，

b

－2=0

，从而可求出

a、b

；

（

3

）根据

abc

＝

1

先将所求代数式转化：

11

babab

bcbabcabaaba





，

2

1

11

cabc

accabcabcababa





，然后再进行分式的加减计算即可

.

【详解】

解：（

1

）原式

=

1131

13

aaaa

aa







=

11

13

aa

aa











=

11

13aa





=





31

13

aa

aa







=

2

22

23

a

aa







；

（

2

）∵

2620ab

，

∴

2a+6=0

，

b

－2=0

，

∴

a=

－

3

，

b=2；

（

3

）∵

abc

＝

1

，

∴

11

babab

bcbabcabaaba





，

2

1

11

cabc

accabcabcababa





，

∴原式

=

1

111

aab

abaabaaba





=

1

1

aab

aba





=1.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一

味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键

.

23．计算：2

2

(31)(233)(323)26

3



【答案】

3-23.

【解析】

【分析】

先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算.

【详解】

解：原式

=4-23-[32-(23)2]-

6

26

3



=4-23-[32-(23)2]-4

=4-23+3-4

=3-23

【点睛】

本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的

关键.

24．计算（a＋

bab

ab





）÷（

a

abb

＋

b

aba

－

ab

ab



）（a≠b）．

【答案】

－ab

【解析】

试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论

．

试题解析：解：原式＝

aabbab

ab





÷





aaabbbababab

ababab





＝

ab

ab





÷2222aaabbabbab

ababab





＝

ab

ab





·





ababab

abab





＝－ab．

25．计算

（1）（4﹣3）+2

（2）

（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：

甲

乙2311021101

请计算两组数据的方差．

【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76

【解析】

试题分析：（1）先去括号，再合并；

（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；

（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．

试题解析：（1）原式=4﹣3+2

=6﹣3；

（2）原式=﹣3﹣2+﹣3

=-6；

（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，

乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，

甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣

1.5）2]=1.65；

乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．

考点：二次根式的混合运算；方差．

26．计算：2722322312

【答案】310

【分析】

先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可

【详解】

解：2722322312

=223322323









=3321223

=310．

故答案为310．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题

的关键．

27．计算

（

1

）

11

3256

28

（

2

）

25

169

4

yyy

（

3

）

31

(2)

2

ab

bab

（

4

）23+5235

【答案】（

1

）32；（

2

）

7

2

y

；（

3

）

3

4

；（

4

）

7

．

【分析】

（

1

）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（

2

）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（

3

）根据二次根式的乘除法则运算；

（

4

）利用平方差公式计算；

【详解】

（

1

）

11

3256

28



5232

42

22



32；

（

2

）

25

169

4

yyy

5

43

2

yyy

7

2

y

；

（

3

）

31

(2)

2

ab

bab



231

22

ab

ba



3

4

；

（

4

）23+5235

22

235

=7

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的

乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．

28．观察下列各式．

①

11

12

33

②

11

23

44

③

11

34

55

④

11

45

66

……

根据上述规律回答下列问题．

（

1

）接着完成第⑤个等式：

_____

；

（

2

）请用含

(1)nn

的式子写出你发现的规律；

（

3

）证明（

2

）中的结论．

【答案】（

1

）

11

56

77

；（

2

）

11

(1)

22

nn

nn





；（

3

）见解析

【分析】

（

1

）当

n=5

时，

11

56

77

；

（

2

）观察不难发现，

11

(1)

22

nn

nn





；

（

3

）直接根据二次根式的化简即可证明．

【详解】

解：（

1

）

11

56

77



（

2

）

11

(1)

22

nn

nn





（

3

）证明：

2121

22

nn

n

nn







2(1)1

(1)

22

n

n

nn







【点睛】

此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：

C

【分析】

根据二次根式的加减法对

A

、

D

进行判断；根据二次根式的乘法法则对

B

进行判断；根据

二次根式的除法法则对

C

进行判断．

【详解】

A

、

53－

23=

33，所以

A

选项错误；

B

、

22×

32=

12

，所以

B

选项错误；

C

、

33÷3=

3

，所以

C

选项正确；

D

、

23和

32，不能合并，所以

D

选项错误；

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．

2．C

解析：

C

【分析】

直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．

【详解】

解：

A

选项：4=2，故

A

选项错误；

B

选项：2(-3)=3，故

B

选项错误；

C

选项：2(-5)=5，故

C

选项正确；

D

选项：2(-3)=3，故

D

选项错误，

故选：

C

．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．

3．B

解析：

B

【分析】

根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案

.

【详解】

∵3323，333

，

∴

A

、

C

、

D

均错误，

B

正确，

故选：

B.

【点睛】

此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键

.

4．C

解析：

C

【解析】

解

：

原式

=33243=32

．

故选

C．

5．B

解析：

B

【分析】

把

x=0

代入42x，再求出即可．

【详解】

解：当

x=0

时，

42x=4=2

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解

题的关键．

6．D

解析：

D

【分析】

根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．

【详解】

A

、

1

33314

3











，此项错误

B

、

721

(127)342

33

，此项错误

C

、

12

32232162428

2

2



，此项错误

D

、(23)363，此项正确

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解题关键．

7．B

解析：

B

【分析】

由2

2

1111

1+1

1

1

nnn

n







，代入数值，求出

S=

22

11

1

12

+

22

11

1

23

+

22

11

1

34

+…+

22

11

1

99100

=99+1-

1

100

，由此能求

出不大于

S

的最大整数为

99

．

【详解】

∵

2

2

11

1+

1

n

n





=





22

2211

1

nnnn

nn









2

21

1

nn

nn









21

1

nn

nn







=

11

1+

1nn





，

∴S=

22

11

1

12

+

22

11

1

23

+

22

11

1

34

+…+

22

11

1

99100



=

111111

1+11

122399100



=

1

99+1

100



=100-

1

100

，

∴不大于

S

的最大整数为

99

．

故选B.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的化简求值，知道2

2

1111

1+1

1

1

nnn

n







是解答本题

的基础．

8．C

解析：

C

【解析】

依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．

解：若实数a，b满足+=3，又有≥0，≥0，

故有0≤≤3①，0≤≤3，则

﹣3≤-≤0②

+

②可得﹣

3≤﹣≤3

，又有

﹣=3k，

即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．

故选C．

点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，

即≥0（a≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形

得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k的不等式组，求出k的取值范围.

9．A

解析：

A

【分析】

根据合并同类二次根式的法则对

A

进行判断；根据二次根式的乘法法则对

B

进行判断；根

据二次根式的除法法则对

C

进行判断；根据二次根式的性质对

D

进行判断．

【详解】

A.2与3不是同类二次根式，不能合并，故此项错误，符合要求；

B.23236，故此项正确，不符合要求；

C.828242===，故此项正确，不符合要求；

D.2(3)3，故此项正确，不符合要求；

故选

A

．

【点睛】

本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除

运算，然后合并同类二次根式．

10．D

解析：

D

【分析】

利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确

定正确的选项．

【详解】

解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；

②

0.01

的算术平方根是

0.1

，故错误；

③计算3(3＋

1

23

)

＝

17

3

22



，故错误；

④如果点

P

（

3-2n

，

1

）到两坐标轴的距离相等，则

n=1

或

n=2

，故错误，

故选

D

．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实

数的运算及点的坐标的性质，难度一般．

二、填空题

11．+1

【分析】

先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.

【详解】

因为,

所以,

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决

本题的关键是要将二

解析：2+1

【分析】

先将322用完全平方式表示

,

再根据







2

0

00

0

aa

aaa

aa

















进行化简即可

.

【详解】

因为2

2

23221222122212,

所以2

322121212,

故答案为

:21.

【点睛】

本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解

,

二次根式的性质

,

解决本题的关键是

要将二次根式利用完全平方公式分解

.

12．3

【解析】

1、；

2、根据题意，先推导出等于什么，

（1）∵，

∴，

（2）再比较与的大小关系，

①当n=0时，；

②当为正整数时，∵，

∴，

∴，

综合（1）、（2）可得：，

解析：3

2017

2018

【解析】

1

、(3)(1.732)2

zz

ff；

2、

根据题意，先推导出2()fnn

等于什么，

（1）

∵

2

22

11

42

nnnnn









，

∴2

1

2

nnn

，

（2）

再比较2nn与

1

2

n

的大小关系，

①

当

n=0

时，2

1

2

nnn

；

②

当

n

为正整数时

，∵

2

2

1

2

nnn









1

20

4

n，

∴

2

2

1

2

nnn









，

∴2

1

2

nnn

，

综合

（1）、（2

）可得：2

11

22

nnnn，

∴2()fnnn

z

，

∴

(33)3f

z

．

3、∵2()fnnn

z

，

∴































22222222

1111

42018

zzzzzzzz

ffffffff





1111

018





1111111

1

2233420172018



1

1

2018



2017

2018

．

故答案为

（1）2；（2）3；（3）

2017

2018

.

点睛

：（1）

解第

②

小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当

n

为非负整数时，2

11

22

nnnn，

从而得到2()fnnn

z

；（2

）解题

③

的要

点是

：

当

n

为正整数时，

111

(1)1nnnn





.

13．【解析】

=，

故答案为.

解析：

3223

【解析】

623

=





22

632

18123223

3223

32

2332

32













，

故答案为3223

.

14．【解析】

∵=，

∴==

=-==﹣x3+x，

故答案为：﹣x3+x.

解析：2

111

66

xx

【解析】

∵

3

52

x



=52，

∴2

25252

3

=1

52210

3



=1

524210

6



=-21

525211

6









=3111

5252

66



=﹣

1

6

x3+

11

6

x，

故答案为：﹣

1

6

x3+

11

6

x.

15．－

【分析】

首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．

【详解】

解：∵，且有意义，

∴，

∴．

故答案为．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是

解析：－y

【分析】

首先判断出

x

，

y

的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．

【详解】

解：∵

0xy

，且

2

y

x

有意义，

∴

00xy＜，＜

，

∴

2

·

y

y

xxy

xx







．

故答案为y．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即

2

(0)

(0)

aa

aa

aa













，

aa

b

b

（

a≥0

，

b>0

）

．

16．且

【分析】

根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可

得．

【详解】

由题意得：，

解得且，

故答案为：且．

【点睛】

本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分

解析：3x且2x

【分析】

根据分式的分母不能为

0

、二次根式的被开方数大于或等于

0

列出式子求解即可得．

【详解】

由题意得：

20

30

x

x











，

解得3x且2x，

故答案为：3x且2x．

【点睛】

本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．

17．【分析】

设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得

出结论．

【详解】

解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，

则

．

故答案为：．

【点睛】

此题考查的是二

解析：

5+1

【分析】

设4102541025t，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和

二次根式的性质化简即可得出结论．

【详解】

解：设4102541025t，由算术平方根的非负性可得

t

≥

0

，

则241(1025)t

82625

282(51)

82(51)

625

2(51)

51t．

故答案为：5+1．

【点睛】

此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．

18．【分析】

由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得．

【详解】

∵，且，即，

∴，，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关

键．

解析：yx

【分析】

由

0xy

，且20xy，即

•0yxy

知0x，

0y

，据此根据二次根式的性质化简

可得．

【详解】

∵

0xy

，且20xy，即

•0yxy

，

∴0x，

0y

，

∴22xyxyyx，

故答案为：yx．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

19．x≥4

【解析】

试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-

4≥0，解得x≥4.

故答案为x≥4.

点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条

件，然

解析：x≥4

【解析】

试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得

x-4≥0

，解得

x≥4.

故答案为

x≥4.

点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不

等式求解即可，是一个中考常考的简单题

.

20．4

【分析】

根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同

，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

【详解】

解：=2，

由最简二次根式与能合并成一项，得

a-1=3．

解

解析：4

【分析】

根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于

a

的方程，根据解方程，可得答案．

【详解】

解：12=23，

由最简二次根式1a与12能合并成一项，得

a-1=3

．

解得

a=4

．

故答案为：

4

．

【点睛】

本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被

开方数相同的二次根式．

三、解答题

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无