初中数学教学案例

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"二元一次方程"教学设计

一、教材的地位与作用

"二元一次方程"是九年义务教育人教版教材七年级下册第四章"二元一次方程组

"的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫

的作用。本节容是二元一次方程的起始局部，因此，在本章的教学中，起着承上

启下的地位。

二、教学目标

(一)知识与技能：

1．了解二元一次方程概念；

2．了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；

3．会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数

的形式。

(二)数学思考：

体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思

想。

(三)问题解决：

初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。

获得求二元一次方程解的思路方法。

(四)情感态度：

培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。

三、教学重点与难点

教学重点：二元一次方程及其解的概念。

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教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数〞的理解；把一个二元

一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

四、教法与学法分析

教法：情境教学法、比拟教学法、阅读教学法。

学法：阅读、比拟、探究的学习方式。

五、教学过程

1．创设情境，引入新课

从学生熟悉的明受伤事件引入。

师：火箭队最近取得了20连胜，明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。

〔1〕连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，明得了12分，其中罚球得

了2分，你知道明投中了几个两分球？(本场比赛明没投中三分球)

师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？

〔2〕连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，明得了36分，你知道明投中

了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛明没投中三分球)

师：这个问题能用一元一次方程解决吗",你能列出方程吗"

设明投进了x个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。

〔3〕在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。

你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？

设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。

师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方

程有什么一样点吗？你能给它们命一个名称吗？

从而提醒课题。

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〔设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学

模型，从而回忆一元一次方程的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体

会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着列出二元一次

方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创

设轻松的问题情境，点燃学习新知识的“导火索〞，引起学生的学习兴趣，以“我

要学〞的主人翁姿态投入学习，而且“会学〞“乐学〞。〕

2．探索交流，汲取新知

概念思辨，归纳二元一次方程的特征

师：那到底什么叫二元一次方程？〔学生思考后答复〕

师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出

来的概念有什么区别吗？〔同学们思考后答复〕

师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？

活动：你自己构造一个二元一次方程。

快速判断：以下式子中哪些是二元一次方程"

①x2+y=0②y=2x+4

③2x+1=2-x④ab+b=4

〔设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对“含有未知数的项的次

数〞的涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知

冲突，激发学生对“项的次数〞的思考，进而完善学生对二元一次方程概念的理

解，通过学生自己举例子的活动去把“项的次数〞形象化。〕

二元一次方程解的概念

师：前面列的两个方程2x+y=36,2x+3y=16真的是二元一次方程吗？通过方程

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2x+3y=16，你知道易建联可能投中几个两分球，几个三分球吗？

师:你是怎么考虑的"(让学生说说他是如何得到x和y的值的,怎么证明自己的这

对未知数的取值是对的)

利用一个学生合理的解释,引导学生类比一元一次方程的解的概念,让学生归纳出

二元一次方程的解的概念及其记法。〔学生看书本上的记法〕

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

〔设计意图：通过引导学生自主取值，猜x和y的值，从而更深刻的体会二元一

次方程解的本质：使方程左右两边相等的一对未知数的取值。引导学生看书本，

目的是让学生在记法上体会“一对未知数的取值〞的真正含义。〕

二元一次方程解的不唯一性

对于2x+3y=16，你觉得这个方程还有其它的解吗？你能试着写几个吗"

师：这些解你们是如何算出来的？

〔设计意图：设计此环节，目的有三个：首先，是让学生学会如何检验一对未知

数的取值是二元一次方程的解；其次是让学生体会到二元一次方程的解的不唯一

性；最后让学生感受如何得到一个正确的解：只要取定一个未知数的取值，就可

以代入方程算出另一个未知数的值，这也就是求二元一次方程的解的方法。〕

如何去求二元一次方程的解

例：方程3x+2y=10，

〔1〕当x=2时，求所对应的y的值；

〔2〕取一个你自己喜欢的数作为x的值，求所对应的y的值；

〔3〕用含x的代数式表示y；

〔4〕用含y的代数式表示x；

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〔5〕当x=-2，0时，所对应的y的值是多少？

〔6〕写出方程3x+2y=10的三个解．

〔设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先

让学生展示他们的思维过程，再从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一

个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比拟，把一个未知数的

值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移〞，引导学生体会“用关于一个

未知数的代数式表示另一个未知数〞的过程，实质是解一个关于y的一元一次方

程，渗透数学的主元思想。以此突破本节课的难点。〕

大显身手：

课练习第2题

梳理知识，课堂升华

本节课你有收获吗？能和大家说说你的感想吗？

3．作业布置

必做题：书本作业题1、2、3、4。

选做题：书本作业题5、6。

设计说明

本节授课容属于概念课教学。数学学科的容有其固有的组成规律和逻辑构造，它

总是由一些最根本的数学概念作为核心和逻辑起点，形成系统的数学知识，所以

数学概念是数学课程的核心。只有真正理解数学概念，才能理解数学。二元一次

方程作为初中阶段接触的第二类方程，形成概念并不难，关键如何理解它的概念，

因此本节课采用先让同学自己试着下定义，然后与教材中的完整定义相互比拟，

发现不同点，进而理解“含有未知数的项的次数都是一次〞这句话的涵。

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在二元一次方程的解的教学过程中，采用的是让学生体会“一个解——不止一个

解——无数个解〞的渐进过程，感受到用一个二元一次方程并不能求出一对确定

的未知数的取值，从而让学生产生有后续学习的愿望。

在讲授用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的时候，采用“特殊——一般

——特殊〞的教学流程，以期突破难点。首先抛出问题“这几个解你是如何求

的〞，此时注意的聚焦点是二元一次方程；其次学生归纳先定一个未知数的取值，

代入原方程求另一个未知数的值，此时注意的聚焦点是一元一次方程；然后教师

引导回到二元一次方程，假设x是一个常数，那么这个方程可以看成是一个关于

谁的一元一次方程，此时注意的聚焦点是原来的二元一次方程；最后代入求值，

此时注意的聚焦点是等号右边的那个算式，体会“用含一个未知数的代数式表示

另一个未知数〞在求值过程中的简洁性，强化这种代数形式。另外，在引导学生

推导“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数〞的过程中，渗透数学的主元

思想和转化思想。

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"二元一次方程组"教学设计

一、教学目标

1．知识与技能目标：

〔1〕理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义；

〔2〕会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单

二元一次方程组的解；

〔3〕通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效

数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力。

2．过程与方法目标

从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过“辩一辩〞“填

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一填〞“试一试〞“做一做〞，加深学生对“二元一次方程组〞和“二元一次方

程组的解〞的概念的理解；并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元一次方程

组的解，并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。

3．情感与态度目标

从学生的生活实际提出问题，既表达知识的学习过程，又表达知识的应用过程，

同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人，

培养一种社会的责任感。

二、教学重点、难点

重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。

难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。

三、教学准备

多媒体、实物投影仪。

四、教学方法和手段

基于本节课容的特点和七年级学生的心理及思维开展的特征，在教学中选择激趣

法、讨论法和总结法相结合。与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的

学习气氛。在引导学生进展观察分析、抽象概括、练习稳固各个环节中运用多媒

体进展演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。

五、教学过程

环节一创设情境，探索新知

问题1：假设你们每人手上有一根长20cm的铁丝，将这根铁丝首尾相连围

成一个正方形，围出来的正方形都完全一样吗？

问题2：同样用这根20厘米长的铁丝，首尾相连围成的长方形都完全一样

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吗？你能用二元一次方程来表示吗？

【设计意图】

①通过问题情境复习旧知，真正理解二元一次方程的意义；

②为探索新知做好铺垫。

问题3：前面两个问题中都存在二元一次方程

10yx

,为何围成的长方形

有无数种情况，而围成的正方形只有一种情况？

【设计意图】

通过两个问题的比照，让学生感受到

10yx

与yx同时满足时，存在解

的唯一性的过程，为二元一次方程组的形成做铺垫。

问题4：你能否通过增加一个条件，使同学们围成的长方形都完全一样吗？

希望大家能增加更多不同类型的条件。

【设计意图】

①开放性问题的设置不仅激发学生的求知欲，而且通过该开放性问题让学生

真正感受二元一次方程组的形成；

②培养学生的合作意识以及团队精神；

③通过此问题引出二元一次方程组的概念。

【操作形式】

①学生先思考，再分组合作，小组汇报；

②根据学生的汇报，教师引导，从而引出二元一次方程组的概念；

③教师备用：

10101010

,,,

6223

xyxyxyxy

xyxyxy











。

稳固概念

请在以下方程中选出两个方程，组成二元一次方程组。

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223,4,2,3,10xyxyxyxyz。

问题5：你怎么能肯定，你所增加的一个条件就一定使长方形确定下来了呢？

【操作形式】

①通过问题的解决，导出二元一次方程组解的定义；

②让学生真正理解什么叫二元一次方程组的解。

环节二变题训练，稳固新知

比一比，赛一赛

1．方程组











23

6

yx

yx

的解是()

A．











1

5

y

x

B．











2

4

y

x

C．











1

5

y

x

D．











2

4

y

x

2．以下哪一个二元一次方程组的解为











2

1

y

x

〔〕

A．











823

3

yx

xy

B．











523

1

yx

xy

C．











22

3

xy

yx

D．











3

2

yx

xy

3．你能通过以下表格的填写找到二元一次方程组











532

10

yx

yx

的解吗？

532yx

的解

x…5．566．577．5…

y……

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环节三感受生活，运用新知

小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120，商店里有两种型号的胶卷：A型

每卷36底片，B型每卷12底片。小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120底片，如

果两种胶卷分别买x卷和y卷．请根据问题中的条件列出关于x,y的方程组，并

用列表尝试的方法求出A型和B型胶卷的数量。

【设计意图】

①让学生继续体验对于含有两个未知数的实际问题，可以列方程组来解决；

②让学生再次经历列表尝试解二元一次方程组的方法；

③在用二元一次方程组解决问题之后，进一步追问：“你能列一元一次方程

求出A、B两种型号的卷数吗？〞

环节四总结回忆，梳理新知

①每位同学自己写一个二元一次方程组_____________；(同学之间互相检查,

为什么是二元一次方程组")

②你有什么方法找到这个方程组的解。

备用：

1．请编一个二元一次方程组，使得此方程组的解为











3

1

y

x

，

_____________________。

2．假设关于x、y的二元一次方程组











ybx

yax

223

2

的解为











3

1

y

x

，那么a=_____，

10yx

的解

x…5．566．577．5…

y……

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b=______。

环节五作业布置

①数学作业本(1)号本4．2节。

②课本A、B组练习。

设计说明：

1．本节课设计充分结合学生的已有知识以及生活经历，通过一根20厘米长

的铁丝，设计一些由易到难的问题串，引导学生去探究。在看得见，摸得着的长

方形拼折过程中，引发学生的兴趣，提炼数学的本质。

2．本节课的设计旨在培养学生的数学思维．以一根20厘米长的铁丝，在围

正方形和长方形的比照过程中，逐渐提炼出方程组的形成思想，并和学生一起概

括出二元一次方程组及其解的概念。通过让学生添加形成长方形的条件，使学生

在独立思考、小组交流中体会出方程组形成的过程以及方程组解的本质；在“比

一比、连一连、写一写〞的练习中，学生及时应用所学的概念和方法，稳固提高。

编拟的三个问题环环相扣，表达了根底性训练与探索性、思维性训练相结合的习

题体系，使学生的思维品质在质疑的过程中不断升华和开展，培养思维的严谨性

和造创性。

3．本节课的设计以情景创设为背景，以教师为主导，学生为主体，力求表

达知识的形成过程。

4．在课堂中，尽量为学生提供“做中学〞“想中学〞“动中学〞的空间。

借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知构造，开展能力，从而使课堂

教学真正落实到学生的开展上。