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2017年全国Ⅰ卷理科数学

理科数学

考试时间：____分钟

题型单选题填空题简答题总分

得分

单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则()

A.B.C.D.

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正

方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

()

A.B.C.D.

3．设有下面四个命题

：若复数满足，则；：若复数满足，则；

：若复数满足，则；：若复数，则.

其中的真命题为()

A.B.C.D.

4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

()

A.1B.2C.4D.8

5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值

范围是()

A.B.C.D.

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6．展开式中的系数为()

A.15B.20C.30D.35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边

长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

()

A.10B.12C.14D.16

8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分

别填入()

A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2

C.A1000和n=n+1D.A1000和n=n+2

9．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是()

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得

到曲线C2

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B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得

到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得

到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，

得到曲线C2

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两

点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()

A.16B.14C.12D.10

11．设x、y、z为正数，且，则()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了

“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，

1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三

项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那

么该款软件的激活码是()

A.440B.330C.220D.110

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=____.

14．设x，y满足约束条件则的最小值为____.

15．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲

线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为____.

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O

上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，

CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所

得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为____.

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三、简答题（综合题）（本大题共7小题。）

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零

件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺

寸服从正态分布．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件

数，求及的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

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10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

20.（12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4

（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l

过定点.

21.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.

23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4−5：不等式选讲]（10分）

已知函数，.

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（1）当a=1时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

答案

单选题

1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A

填空题

13.14.15.16.

简答题

17.（1）；（2）

18.（1）见解析；（2）

19.

20.（1）C的方程为；（2）见解析

21.（1）见解析；（2）

22.（1）或.（2）或.

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23.（1）；（2）

解析

单选题

1.由可得，则，即，所以

，，故选A.

2.设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可

知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色

部分的概率是，选B.

3.令，则由得，所以，正确；由

，知，不正确；由知不正确；

显然正确，故选B.

4.设公差为，，

，联立解得，故选C.

5.因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从

而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.

6.因为，则展开式中含的项为，

展开式中含的项为，故的系数为，选C.

7.由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相

同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.

8.由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故

填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.

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9.因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则

，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍

变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.

10.设直线方程为

取方程

得

∴

同理直线与抛物线的交点满足

由抛物线定义可知

当且仅当（或）时，取得等号.

11.令，则，，

∴，则，

，则，故选D.

12.由题意得，数列如下：

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则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分

和，设，

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

填空题

13.，所以.

14.不等式组表示的可行域如图所示，

易求得，

由得在轴上的截距越大，就越小，

所以，当直线过点时，取得最小值，

所以的最小值为.

15.如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线

的渐近线上的点，且，，

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而，所以，点到直线的距离，

在中，，代入计算得，即，

由得，所以.

16.如下图，设正三角形的边长为x，则.，

三棱锥的体积.

令，则，令，，，

.

简答题

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17.（1）由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

（2）由题设及（1）得，即.

所以，故.由题设得，即.

由余弦定理得，即，得.故的周长为.

18.（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得

平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空

间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

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即

可取.设是平面的法向量，则

即

可取.则，所以二面角的余弦值为.

19.

20.（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.

又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此解得故C的方程为.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

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如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），

（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：

（）.将代入得

.由题设可知.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而.

由题设，故.

即.解得.

当且仅当时，，于是l：，即，

所以l过定点（2，）.

21.（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调

递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

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设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

22.（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.

综上，或.

23.（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

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又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.