直角三角形边长

1

直角三角形的边角关系

1.1从梯子的倾斜程度谈起

学习目标：

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义.

学习重点：

1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

学习难点：

用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

学习过程：

一、正弦、余弦及三角函数的定义

想一想：如图

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

(2)

21

1122

BA

CA

BA

CA

和有什么关系?

21

12

BA

BC

BA

BC

和呢?

(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?

(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?

二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：

三、例题：

例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝＝0.6，求BC的长.

2、做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝

13

12

，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、

sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.

四、随堂练习：

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

2

D

B

A

C

B

A

C

2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

5

4

，BC=20，求△ABC的周长和面积.

3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=

2

1

，则sinA=.

4、已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

3

4

,则sinB=_______,tanB=______.

2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=

9

41

,则AC=______,BC=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=

4

5

,则BC=_____.

4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是()

=

3

4

=

3

5

=

3

4

=

3

5

5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=

3

5

,则

BC

AC

等于()

A.

3

4

B.

4

3

C.

3

5

D.

4

5

6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=

3

5

,那么tanA等于()

A.

4

3

B.

3

4

C.

4

5

D.

5

4

7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是

A．

13

5

B．

13

12

C．

12

5

D．

5

12

8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,若甲坡比乙坡更徒些,则下列结论正确的是()

αcosβ

9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是()

A.

CD

AC

B.

DB

CB

C.

CB

AB

D.

CD

CB

10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是()m

A.

100

sin

B.100sinβC.

100

cos

D.100cosβ

3

11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.

12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.

13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.

14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?

15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=

4

5

.

求：s△ABD：s△BCD

B

D

A

C

4

30°、45°、60°角的三角函数值

学习目标：

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

学习重点：

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

学习难点：

进一步体会三角函数的意义.

学习过程：

一、新课

[问题]1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?

[问题]2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.

[问题]3、cos30°等于多少?tan30°呢?

[问题]4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分

别是多少?你是如何得到的?

结论：

三角函数

角度sinαcoαtanα

30°

45°

60°

[例1]计算：

(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°-tan45°.

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆

动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01m)

二、随堂练习

1.计算：

(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；

5

(3)

2

2

sin45°+sin60°-2cos45°；⑷

13

2

30sin

1







；

⑸(2+1)-1+2sin30°-8；⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(

2

1

)-1；

⑺sin60°+

60tan1

1

；⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-

21

1



.

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影

响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1m，2≈1.41，3

≈1.73)

四、课后练习：

1、Rt△ABC中，8,60cA，则__________,ba；

2、在△ABC中，若2,32bc,，则____tanB，面积S＝；

3、在△ABC中，AC：BC＝1：

3

，AB＝6，∠B＝，AC＝BC＝

6

4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为（）

（A）600（B）900（C）1200（D）1500

5、有一个角是

30

的直角三角形，斜边为

cm1

，则斜边上的高为（）

（A）

cm

4

1

（B）

cm

2

1

（C）cm

4

3

（D）cm

2

3

6、在

ABC

中，

90C

，若

AB2

，则tanA等于（）．

（A）3（B）

3

3

（C）

2

3

（D）

2

1

7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（）．

（A）

2

1

（B）

2

2

（C）

2

3

（D）1

8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方

米a元，则购买这种草皮至少要（）．

（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元

9、计算：

⑴、60cos60sin22⑵、

30cos30sin260sin

⑶、45cos30sin2⑷、3245cos2

⑸、0045cos360sin2⑹、

130sin5

60cos3

0

0



⑺、30sin22·

60cos30tan

tan60°⑻、30tan45sin22

150

20米

30米

7

10、请设计一种方案计算tan15°的值。

船有触礁的危险吗

学习目标：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行

说明.

学习重点：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

学习难点：

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

学习过程：

一、问题引入：

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，

往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途

中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

二、解决问题：

1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得

仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)

2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加

长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0lm)

三、随堂练习

8

1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另

一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.

(1)求∠ABC的大小：

(2)如果坝长100m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01m3)

3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到

达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，

距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，3≈1.7)

四、课后练习：

1.有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为23米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.

2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角,这时测得大树在地面上的影长约为10米,

求大树的长(精确到0.1米).

3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160

太阳光线

B

60

D

A

36

C

N

Q

A

M

P

9

米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时,学校是

否会受到噪声影响?请说明理由.

4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在

乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平

距离BC的长(精确到0.1米).

5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的

仰角为∠E=30°,并测得DE=90米,求小山高BC和铁塔高AB(精确到0.1米).

6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在

A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,

测得黑匣子B在北偏东30°的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.

7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB,在地面上事先划

定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,

树的底部B点的俯角为30°,如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?

8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21

米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太

B

D

A

C

E

B

30

D

A

60

C

E

F

30

北

A

60

C

B

D

A

C

E

F

10

阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处,已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线

夹角为30°,试判断:计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.

9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm2,求

α的度数.

《测量物体的高度》

教学目标:

（1）能够设计测量方案、说明测量理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。

（2）能对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果。

教学重点：综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题

教学难点：综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题

一、探索过程：

1．当测量底部可以到达的物体的高度2．当测量底部不可以直接到达的物体的高度

1、测得M的仰角∠MCE=α；1、测得此时M的仰角∠MCE=α；

2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L；2、测得此时M的仰角∠MDE=β；

3、量出AC=a，可求出MN的高度。3、量出测AC=BD=a，以及AB=b.求出MN的高度。

二、巩固练习：

b

a



乙

教

学

楼

甲

教

学

楼

B

30

D

A

C

南

11

（1）某校数学兴趣小组在测量池塘边上A、B两点间的距离时用了以下三种测量方法，如图所示。

图中

，，abc

表示长度，表示角度，请求出AB的长度。（用含有，，，abc字母的式子表示）

AB=__________________AB=________________AB=________________

（2）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的

另一边同时施工，现在从AC上取一点B，使得∠ABD＝145°，

BD＝500米，∠D＝55°，要使A、C、E在一条直线上，那么

开挖点E离点D的距离是（）

A、500sin55°米B、500cos55°米C、500tan55°米D、

0

500

tan55

米

（3）如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边上的一点，

测得∠ABC=30º，∠ACB=60º，BC=50米，则A到

岸边BC的距离是_______________米

（4）居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问题。冬至是一年中太阳相对地球北半球位置最低

的时刻，只要此时楼房的最低层能菜到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射。某地区冬至时阳光

与地面所成的角约为30°，如图所示。现有A、B、C、D四种设计方案提供的居民甲楼的高H(米)与两楼

间距L(米)的数据，如下表所示。仅就图中居民楼乙的采光问题，你认为哪种方案设计较为合理，并说明

理由。(参考数据3≈1.732)

四、达标测评：

（1）如图，甲乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼顶仰角为=30º，观测乙楼的底部俯角为

=45º，试用含、的三角函数式子表示乙楼的高

h

为多少米？

（2）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼采光

ABCD

H(米)12151618

L(米)18252830

A

B

C

甲

乙

L

（1）

A

C

B

a

b

A

C

B

a

D

E

c

b

（2）

A

C

B

a



（3）

12

的影响情况。当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

同步练习（一）

1．计算：

(1)2cos

2

30°－2sin60°·cos45°；(2)2sin30°－3tan45°＋4cos60°；

(3);

45tan

2

1

60cos

30sin45cos





(4)







45tan60tan

45sin22

460tan460tan2．

2．填空：

(1)在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

2

1

，则cosB＝________；

(2)已知为锐角，且cos(90°－)＝

2

1

，则＝________；

(3)若1)10(tan3，则锐角＝________．

3．选择题：

(1)在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝

2

1

，cosB＝

2

2

，则△ABC三个角的大小关系是[]

A．∠C＞∠A＞∠BB．∠B＞∠C＞∠AC．∠A＞∠B＞∠CD．∠C＞∠B＞∠A

(2)若0°＜＜90°，且|sin2－

4

1

|＋

2

2

3

cos

















，则tan的值等于[]

A．3B．

3

3

C．

2

1

D．

2

3

4．已知为锐角，当

tan1

1

无意义时，求sin(＋15°)＋cos(－15°)的值．

5．等腰三角形的底边长为20，面积为

3

3100

上，求这个三角形各角的大小．

6．如图，∠C＝90°，∠DBC＝30°，AB＝BD，利用此图求tan75°的值．

13

7．如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方点P处，此时飞机离地面的高度PO＝450m，且A，B，O三点在一

条直线上，测得∠＝30°，∠＝45°，求大桥AB的长(结果精确到0.01m)．

同步练习（二）

一、选择题

1．在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高he=1,则三边的长分别是[]

A．7,2,3cbaB．

3

34

,

3

32

,2cba

C．

3

34

,2,

3

32

cbaD．4,2,32cba

2．如图：△ABC中，∠C=90°，AB=310，cosB=

2

1

，D为AC上一点，且∠DBC=30°，AD的长为[]

A．8B．9C．10D．11

3．在△ABC中,BC=7,AC=8,∠A=60°,则AB为[]

A．3B．4C．5D．3或5

二、填空题

1．设等腰三角形的腰长为2cm，底边长为32cm，则顶角为_______度．

2．在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=75°，AB=6，则BC=______．

3．在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,a-b=2，则c=_______．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD=2，则sinA=____；tanB=____．

5．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=60°，则△ABC的面积为____．

6．梯形的上底长为4cm，下底长为12cm，两底角分别为60°和30°，那么梯形的周长等于________cm．

14

7．等腰梯形，上底长是1cm，高是2cm，底角的正弦是

5

4

，则下底=_________，腰长=__________．

同步练习（三）

一、计算题

已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，CD⊥AB于D，AD=2．求sinA，tanB．

二、解答题

1．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程012222xx的二根，求A、B的度数．

2．如图：△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点且BD=100，∠ADC=60°，sinB=

2

2

，求AC的长．

3．等腰三角形的周长为)32(5，顶角是底角的4倍，求各角与各边．

4．已知△ABC中，AC=100，tanA=1，tanC=2，求BC边和S△ABC

．

5．在△ABC中，∠C=90，

3

350



ABC

S

△

，a=10，解Rt△ABC．

同步练习（四）

一、选择题

1.如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基高出地平面20米(即BC为20米)塔身

AB的高为

15

2。如图,一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机

到达A点,仰角30°,则飞机从B到A的速度是[]米/分.(精确到1米)

A.1461了B.1462C.1463D.1464

3.如图所示,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测

得C的仰角为45,则塔高CD(精确到0.1m)是[]m

A.25.3B.26.3C.27.3D.28.3

4.如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°,那么塔

高是[]米

5.如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°,再从B的正上方40米高层上A处,

测得C的仰角是45°,那么旗杆顶点C离地CD的高度是[]米.

同步练习（五）

一、填空题

如图,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,拉线AC的长为多少.(答

案可带根号)

二、解答题

1．如图：燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中外口AD=18cm，燕尾槽的深度是8cm，燕尾角B的正切值是

4

3

，求

它里口的宽BC（精确到0.1cm）．

2.一个等腰梯形,下底长4cm,高2cm,A角为50°,求上底和腰长(精确到0.01cm).(已知sin50°=0.7660,

cot50°=0.8391)

16

3．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I=

DE

AE

=1，求坡面倾斜角（坡角），并计算修建长

1000米的水坝约需要多少土方？

4.如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD

和上弦AC的长(答案可带根号)

同步练习（六）

一、选择题

1.一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是[]m.

A.230B.240C.250D.260

2.一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距

离到C点，则∠ABC的度数为[]

A.15°B.75°C.105°D.45°

3.为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点

的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[]米.

4.如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一

个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[]米/时(tg22°30′=0.4142)

A.12.1B.13.1C.14.1D.15.1

5.一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B处,已

知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[]千米.

6.如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B处,上午11时到达灯塔

的南C处,那么这船航行的速度是[]千米/时.

A.19.65B.20.65C.21.65D.22.65

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7.如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,

船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是[]千米.

二、填空题

一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度

是多少.(答案可带根号)

三、解答题

1.如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A处见灯塔P在正东,1小时后行至B处,

观察灯塔P的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C处距灯塔P的距离.(答案可带根号)

2．如图：东西方向的海岸线上有A、B两码头，相距100)13(千米，由码头A测得海上船K在北偏东30°，

由码头B测得船K在北偏西15°，求船K距海岸线AB的距离（已知tan75°=32）

同步练习（七）

一、选择题

测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为[]

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二、填空题

三、解答题

1．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1∶3，BE为33米，基面AD宽2米，求路

基的高AE，基底的宽BEC及坡角B的度数.（答案可带根号）

2．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I=

DE

AE

=1，求坡面倾斜角（坡

角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？

3.如图：水坝的横断面是梯形,迎水坡BC的坡角B=30°,背水坡AD的坡度为

4.一水坝的横断面尺寸如图所示,求坡角a,b和下底宽DC(精确到0.1m)(已知sin34°51′=0.5714,

cos34°51′=0.8291)

5.某水库大坝长2500米，坝顶宽12米，迎水坡的坡度、背水坡的坡度分别是i1=1：3、i2=2：3，坝高162m，

问修此大坝共需土方多少？