河南师范大学附属中学

2020年河南师大附中中考数学模拟试卷（7月份）

一、选择（共10小题）（每题3分）

1．下列各数中，小于﹣2的数是（）

A．2B．1C．﹣1D．﹣4

2．2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概

率为，用科学记数法表示为（）

A．2×10﹣4B．5×10﹣5C．5×10﹣6D．2×10﹣5

3．如图，AC∥BD，AD与BC相交于O，∠AOB＝75°，∠B＝30°，那么∠A等于（）

A．75°B．60°C．45°D．30°

4．下列计算中，正确的是（）

A．x3

•x

2

＝x

6B．x（x﹣3）＝x2

﹣3x

C．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2D．﹣2x3y2

÷xy

2

＝2x

4

5．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，在这个几何体上面再添加一个大小相

同的正方体得到一个新的几何体，则新几何体三视图与原几何体三视图一定相同的是

（）

A．主视图B．左视图C．俯视图D．没有

6．为了了解某校七年级1000名学生的每天的阅读时间，从中抽取100名学生进行调查，下

列说法正确的是（）

A．1000名学生是总体

B．每个学生是个体

C．抽取的100名学生是一个样本

D．每个学生的每天阅读时间是个体

7．关于x的方程（a﹣3）x2

﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值范围是（）

A．a≥﹣1且a≠3B．a＞﹣1且a≠3C．a≥﹣1D．a＞﹣1

8．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作

图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以

点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，

交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）

9．如图，在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形

ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（）

A．B．C．D．

10．如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点

H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得

在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a

2

﹣b

2

，现以点F为圆心，FE为半

径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S

1

，图中阴影部分的面积为

S

2

．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）

A．B．C．D．

二、填空题（共5小题）（每题3分）

11．﹣（﹣）﹣1

＝．

12．甲、乙、丙、丁四名同学竞选班长，副班长，请问最后甲乙搭档班长、副班长的概率

为．

13．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交

点）．

14．如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C

的位置，则图中阴影部分的面积为．

15．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得

到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0．

17．（9分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调

查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后

从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、

描述和分析．下面给出了部分信息．

Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下：

七年级学生样本成绩频数分布表

成绩m（分）频数（人数）

50≤m＜601

60≤m＜702

70≤m＜803

80≤m＜908

90≤m≤1006

合计20

Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：

8788888889898989

Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：

平均数中位数众数

七年级84n89

八年级84.28585

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）表中n的值为．

（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10

名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．

（3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优

秀的学生人数．

18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点

E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG，设⊙O半径为5．

①当CF＝时，四边形ABCG是菱形；

②当BC＝4时，四边形ABCG的面积是．

19．（9分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红

分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记

录内容：

课题：测量古塔的高度

小明的研究报告小红的研究报告

图示

测量方

案与测

量数据

用距离地面高度为1.6m的测角

器测出古塔顶端的仰角为35°，再用

皮尺测得测角器所在位置与古塔底

部边缘的最短距离为30m．

在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测

出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方

向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰

角为45°．

参考数

据

sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，

tan35°≈0.70

sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈

0.30，≈1.41

计算古

塔高度

（结果

精确到

30×tan35°+1.6≈22.6（m）

0.1m）

（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；

（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小

明的测量方案分析测量发生偏差的原因；

（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为m．

20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直

线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．

（1）求k的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，

OC，BC围成的区域（不含边界）为W．

①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

21．（10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，

经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．

（1）劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017

年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；

（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材

共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为

1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元．

①A型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，

市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

22．（10分）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不

与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE＝AM；

（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）

（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长

线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，

不需要证明；

（3）在（1），（2）的条件下，若BE＝，∠AFM＝15°，则AM＝．

23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交

于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当

m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

（3）若抛物线上有且仅有三个点M

1

、M

2

、M

3

使得△M

1

BC、△M

2

BC、△M

3

BC的面积

均为定值S，求出定值S及M

1

、M

2

、M

3

这三个点的坐标．

2020年河南师大附中中考数学模拟试卷（7月份）

参考答案与试题解析

一、选择（共10小题）（每题3分）

1．下列各数中，小于﹣2的数是（）

A．2B．1C．﹣1D．﹣4

【分析】根据题意，结合有理数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答

案．

【解答】解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，

分析选项可得，只有D符合．

故选：D．

2．2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概

率为，用科学记数法表示为（）

A．2×10﹣4B．5×10﹣5C．5×10﹣6D．2×10﹣5

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n

，与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定．

【解答】解：用科学记数法表示5×10﹣6

，

故选：C．

3．如图，AC∥BD，AD与BC相交于O，∠AOB＝75°，∠B＝30°，那么∠A等于（）

A．75°B．60°C．45°D．30°

【分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据平行线的性质得出∠A＝∠D，即可求出

答案．

【解答】解：∵∠AOB＝75°，∠B＝30°，

∴∠D＝∠AOB﹣∠B＝45°，

∵AC∥BD，

∴∠A＝∠D＝45°，

故选：C．

4．下列计算中，正确的是（）

A．x3

•x

2

＝x

6B．x（x﹣3）＝x2

﹣3x

C．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2D．﹣2x3y2

÷xy

2

＝2x

4

【分析】根据同底数幂的乘法、单项式乘多项式的运算法则，平方差公式，合并同类项

法则计算即可．

【解答】解：A、x

3

•x

2

＝x

5

，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、x（x﹣3）＝x2

﹣3x，原计算正确，故此选项符合题意；

C、（x+y）（x﹣y）＝x2

﹣y

2

，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、﹣2x3y2

与xy

2

不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

故选：B．

5．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，在这个几何体上面再添加一个大小相

同的正方体得到一个新的几何体，则新几何体三视图与原几何体三视图一定相同的是

（）

A．主视图B．左视图C．俯视图D．没有

【分析】在上面放，不影响俯视图的性质，得出结论．

【解答】解：在原几何体的上面放一个正方体，因此不影响俯视图的形状，

故选：C．

6．为了了解某校七年级1000名学生的每天的阅读时间，从中抽取100名学生进行调查，下

列说法正确的是（）

A．1000名学生是总体

B．每个学生是个体

C．抽取的100名学生是一个样本

D．每个学生的每天阅读时间是个体

【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义逐项判断即可．

【解答】解：1000名学生的每天的阅读时间是总体，因此选项A不符合题意；

每个学生的每天的阅读时间是个体，因此选项B不符合题意，选项D符合题意；

抽取100名学生的每天的阅读时间，是总体的一个样本，因此选项C不符合题意；

故选：D．

7．关于x的方程（a﹣3）x2

﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值范围是（）

A．a≥﹣1且a≠3B．a＞﹣1且a≠3C．a≥﹣1D．a＞﹣1

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣3≠0且△＝（﹣4）

2

﹣4（a

﹣3）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解答】解：根据题意得a﹣3≠0且△＝（﹣4）

2

﹣4（a﹣3）×（﹣1）＞0，

解得a＞﹣1且a≠3．

故选：B．

8．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作

图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以

点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，

交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）

【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得

到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，2）．

【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），

∴AH＝1，HO＝2，

∴Rt△AOH中，AO＝，

由题可得，OF平分∠AOB，

∴∠AOG＝∠EOG，

又∵AG∥OE，

∴∠AGO＝∠EOG，

∴∠AGO＝∠AOG，

∴AG＝AO＝，

∴HG＝﹣1，

∴G（﹣1，2），

故选：A．

9．如图，在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形

ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（）

A．B．C．D．

【分析】过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA＝∠FNA＝90°，求出OA＝5，

AB＝3，根据勾股定理求出AM，求出点D坐标，求出△DAM∽△AFN，求出AN和FN，

求出F坐标，求出直线AD和OF的解析式，再求出交点G的坐标即可．

【解答】解：过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA＝∠FNA＝90°，

∵在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），

∴OA＝BC＝5，AB＝OC＝3＝DM，

∵把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，

∴AD＝OA＝5，∠OAB＝∠DAF＝90°，AF＝AB＝3，

∴∠DAM＝∠BAF＝90°﹣∠DAB，

∵∠BAO＝∠FNA＝90°，

∴∠BAF＝∠AFN，

∴∠DAM＝∠AFN，

在Rt△DMA中，由勾股定理得：AM＝＝＝4，

∴CD＝OM＝5﹣4＝1，

即点D坐标是（1，3），

∵∠DMA＝∠FNA，∠DAM＝∠AFN，

∴△DAM∽△AFN，

∴＝＝，

∴＝，

解得：FN＝，AN＝，

∴ON＝5+＝，

即F点的坐标是（，），

设直线AD的解析式是y＝kx+b，

把A（5，0），D（1，3）代入得：，

解得：k＝﹣，b＝，

∴直线AD的解析式是y＝﹣x+，

设直线OF的解析式是y＝ax，

把F（，）代入得：a＝，

解得：a＝∴直线OF的解析式是y＝x，

解方程组得：，

即点G的坐标是（，），

故选：A．

10．如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点

H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得

在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a

2

﹣b

2

，现以点F为圆心，FE为半

径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S

1

，图中阴影部分的面积为

S

2

．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）

A．B．C．D．

【分析】如图，连接AL，GL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出

面积比即可．

【解答】解：如图，连接AL，GL，PF．

由题意：S

矩形AMLD

＝S

阴

＝a

2

﹣b

2

，PH＝，

∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，

∴△AML∽△GNL，

∴＝，

∴＝，

整理得a＝3b，

∴＝＝＝，

故选：C．

二、填空题（共5小题）（每题3分）

11．﹣（﹣）﹣1

＝5．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及立方根分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝3+2

＝5．

故答案为：5．

12．甲、乙、丙、丁四名同学竞选班长，副班长，请问最后甲乙搭档班长、副班长的概率为

．

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，找出甲乙搭档班长、副班长的

情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有12种等可能的结果数，其中甲乙搭档班长、副班长的有2种，

则最后甲乙搭档班长、副班长的概率为＝；

故答案为：．

13．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交

点）．

【分析】根据图形，可知∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，从而可以得到∠PAB+

∠PBA的值．

【解答】解：∵∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，

∴∠PAB+∠PBA＝45°，

故答案为：45．

14．如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C

的位置，则图中阴影部分的面积为6π．

【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆

的面积．

【解答】解：由图可得，

图中阴影部分的面积为：＝6π，

故答案为：6π．

15．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得

到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．

【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB

＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得

到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平

行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE

的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．

【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，

∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，

∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，

∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAD＝120°，

∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，

∴四边形A′B′CD是平行四边形，

∴A′D＝B′C，

∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，

∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，

∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，

则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，

∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，

∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，

∴DE＝1，

∴DE＝CD，

∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，

∴∠E＝∠DCE＝30°，

∴CE＝2×CD＝．

故答案为：．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0．

【分析】利用方程解的定义找到相等关系a

2+2a＝1，再把所求的代数式化简后整理出

a2+2a的形式，在整体代入a2+2a＝1，即可求解．

【解答】解：原式＝（﹣）

＝

＝．

由a

2+2a﹣1＝0，得a2+2a＝1，

∴原式＝1．

17．（9分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调

查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后

从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了

整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下：

七年级学生样本成绩频数分布表

成绩m（分）频数（人数）

50≤m＜601

60≤m＜702

70≤m＜803

80≤m＜908

90≤m≤1006

合计20

Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：

8788888889898989

Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：

平均数中位数众数

七年级84n89

八年级84.28585

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）表中n的值为88.5．

（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10

名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．

（3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优

秀的学生人数．

【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得n的值；

（2）根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明

理由；

（3）根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数．

【解答】解：（1）由表格中的数据可得，

n＝（88+89）÷2＝88.5，

故答案为：88.5；

（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10

名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级，

理由：∵七年级中位数是88.5，87＜88.5，

∴如果该学生在七年级，排名是后10名，不合题意；

∵八年级中位数是85，85＜87，

∴如果该学生在八年级，排名是前10名，符合题意；

由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在

前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级；

（3）180×＝126（人），

答：七年级成绩优秀的学生有126人．

18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点

E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG，设⊙O半径为5．

①当CF＝时，四边形ABCG是菱形；

②当BC＝4时，四边形ABCG的面积是100．

【分析】（1）连结AD，OD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，再根据

等腰三角形的性质得BD＝DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DF⊥AC，

则DF⊥OD，所以可判断DF是⊙O的切线；

（2）①根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，根据菱形的性质得到，AD＝BC，推出△

ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD＝BC＝AB＝5，∠ACB＝60°，

根据直角三角形的性质得到CF＝CD＝，即可得到结论；

②根据等腰三角形的性质得到BD＝BC＝2，根据勾股定理得到AD＝＝

4，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ADB＝90°，推出△ACD∽△BCE，根据相似三角

形的性质列方程得到CE＝4，BE＝8，再通过△AGE∽△BCE，得到EG＝12，于是得到

结论．

【解答】（1）证明：连结AD，OD，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴BD＝DC，

又∵AO＝BO，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：①∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴BD＝DC，

又∵AO＝BO＝AB＝5，

∴AB＝10，

若四边形ABCG是菱形，

则BA＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴CD＝BC＝AB＝5，∠ACB＝60°，

∵DF⊥AC，

∴CF＝CD＝，

∴当CF＝时，四边形ABCG是菱形；

故答案为：；

②∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝BC＝2，

∴AD＝＝4，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∵∠ACB＝∠ACB，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝，即＝，

∴CE＝4，BE＝8，

∴AE＝AC﹣CE＝6，

∵AG∥BC，

∴△AGE∽△BCE，

∴，即，

∴EG＝12，

∴四边形ABCG的面积＝S

△ABC

+S

△ACG

＝×4×4+×10×12＝100．

故答案为：100．

19．（9分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红

分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记

录内容：

课题：测量古塔的高度

小明的研究报告小红的研究报告

图示

测量方

案与测

量数据

用距离地面高度为1.6m的测角

器测出古塔顶端的仰角为35°，再用

皮尺测得测角器所在位置与古塔底

部边缘的最短距离为30m．

在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测

出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方

向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰

角为45°．

参考数

据

sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，

tan35°≈0.70

sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈

0.30，≈1.41

计算古

塔高度

（结果

精确到

30×tan35°+1.6≈22.6（m）

0.1m）

（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；

（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小

明的测量方案分析测量发生偏差的原因；

（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为12m．

【分析】（1）设CH＝x，在Rt△CHF中根据∠CFH＝∠FCH＝45°，可知CH＝FH＝x，

在Rt△CHE中根据tan∠CEH＝可得出x的值，由CD＝CH+DH即可得出结论；

（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在

位置与底面圆心的最短距离；

（3）根据小明与小红的计算结果得出古塔底面的半径，进而可得出结论．

【解答】解：（1）设CH＝x，

在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，

∴CH＝FH＝x，

在Rt△CHE中，

∵tan∠CEH＝，

∴＝tan17°＝0.30，

∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），

∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），

答：古塔CD的高度为26.8m；

（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角

器所在位置与底面圆心的最短距离．

（3）如图，

在EH上取一点P使∠CPH＝35°，则PG＝30，在Rt△CHP中，CH＝25.2，∴PH＝

＝＝36，

∴GH＝PH﹣PG＝6，

∴该古塔底面圆直径的长度＝2×6＝12（m）．

故答案为：12．

20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直

线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．

（1）求k的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，

OC，BC围成的区域（不含边界）为W．

①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

【分析】（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；

（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，

①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；

②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b

的取值范围．

【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；

（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，

解方程＝x﹣1得x

1

＝2﹣2（舍去），x

2

＝2+2，则B（2+2，），

而C（0，﹣1），

如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；

②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，

且经过（5，0），

∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．

如图3，直线l在OA的上方时，

∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，

当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，

当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，

∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．

综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．

21．（10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，

经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．

（1）劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017

年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；

（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材

共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为

1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元．

①A型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，

市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

【分析】（1）该每套A型健身器材年平均下降率n，则第一次降价后的单价是原价的（1

﹣n），第二次降价后的单价是原价的（1﹣n）

2

，根据题意列方程解答即可．

（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，根据采购

专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答；

②设总的养护费用是y元，则根据题意列出函数y＝1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%

×（80﹣m）＝﹣0.1m+14.4．结合函数图象的性质进行解答即可．

【解答】解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）

2

＝1.6，

则（1﹣n）

2

＝0.64，

所以1﹣n＝±0.8，

所以n

1

＝0.2＝20%，n

2

＝1.8（不合题意，舍去）．

答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；

（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，

依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，

整理，得

1.6m+96﹣1.2m≤112，

解得m≤40，

即A型健身器材最多可购买40套；

②设总的养护费用是y元，则

y＝1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m），

∴y＝﹣0.1m+14.4．

∵﹣0.1＜0，

∴y随m的增大而减小，

∴m＝40时，y最小．

∵m＝40时，y

最小值

＝﹣0.1×40+14.4＝10.4（万元）．

又∵10万元＜10.4万元，

∴该计划支出不能满足养护的需要．

22．（10分）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不

与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE＝AM；

（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）

（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长

线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，

不需要证明；

（3）在（1），（2）的条件下，若BE＝，∠AFM＝15°，则AM＝3﹣或．

【分析】（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得AE＝EF，∠ABE＝∠EHF

＝90°，利用全等三角形的判定定理证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定

理可得结论；

（2）同（1）首先证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；

（3）利用分类讨论的思想，首先由∠AFM＝15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根

据全等三角形的性质易得∠AEB，利用锐角三角函数易得AB，利用（1）（2）的结论，

易得AM．

【解答】（1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，

∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，

∴∠ABE＝90°，∠EHF＝90°，四边形ABHM为矩形，

∴AM＝BH＝BE+EH

∵△AEF为等腰直角三角形，

∴AE＝AF，∠AEB+∠FEH＝90°，

∵∠EFH+∠FEH＝90°，

∴∠AEB＝∠EFH，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB＝EH，

∵AM＝BH＝BE+EH，

∴AM＝BE+AB，即AB+BE＝AM；

（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，

∴∠FEH＝∠EAB，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB＝EH＝EB+AM；

如图③∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠HEF＝90°，

∴∠BAE＝∠HEF，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB＝EH，

∴BE＝BH+EH＝AM+AB；

（3）解：如图①，∵∠AFM＝15°，∠AFE＝45°，

∴∠EFM＝60°，

∴∠EFH＝120°，

在△EFH中，

∵∠FHE＝90°，∠EFH＝120°，

∴此情况不存在；

如图②，∵∠AFM＝15°，∠AFE＝45°，

∴∠EFH＝60°，

∵△ABE≌△EHF，

∴∠EAB＝∠EFH＝60°，

∵BE＝，

∴AB＝BE•tan60°＝×＝3，

∵AB＝EB+AM，

∴AM＝AB﹣EB＝3﹣；

如图③，∵∠AFM＝15°，∠AFE＝45°，

∴∠EFH＝45°﹣15°＝30°，

∴∠AEB＝30°，

∵BE＝，

∴AB＝BE•tan30°＝＝1，

∵BE＝AM+AB，

AM＝BE﹣AB＝，

故答案为：3﹣或．

23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交

于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当

m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

（3）若抛物线上有且仅有三个点M

1

、M

2

、M

3

使得△M

1

BC、△M

2

BC、△M

3

BC的面积

均为定值S，求出定值S及M

1

、M

2

、M

3

这三个点的坐标．

【分析】（1）由二次函数交点式，即可求解．

（2）由PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m

2+m+4+m﹣4）即可求解．

（3）由三角形的面积公式和平行线的性质知，点M

1

、M

2

、M

3

在与直线BC平行且与抛

物线相交的直线上．利用待定系数法确定直线BC的解析式，然后通过二次函数图象与

几何变换规律求得符合条件的直线，再联立方程组，求得直线与抛物线的交点即可．

【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x

2

﹣x﹣12）＝

ax2

﹣ax﹣12a，

即：﹣12a＝4，

解得：a＝﹣，

则抛物线的表达式为y＝﹣x

2+x+4；

（2）设点P（m，﹣m

2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，

PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴PN有最大值，

当m＝2时，PN的最大值为．

（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

把B（4，0），C（0，4）代入，得．

解得．

∴y＝﹣x+4.

设与直线BC平行的直线的解析式为：y＝﹣x+n．

联立得：．

消去y得：x

2

﹣4x+3b﹣12＝0．

当直线与抛物线只有一个公共点时，

△＝16﹣4（3b﹣12）＝0．

解得b＝．

即：y＝﹣x+．

此时交点M

1

（2，）．

直线y＝﹣x+是由直线y＝﹣x+4向上平移﹣4＝个单位得到．

同理，将直线y＝﹣x+4向下平移个单位可得直线y＝﹣x+．

联立．

解得，，

∴M

2

（2+2，﹣2），M

3

（2﹣2，+2）．

综上所述，符合条件的点的坐标分别是：M

1

（2，）、M

2

（2+2，﹣2）、M

3

（2﹣2，+2）．

此时S＝．