什么是隐函数

习题1-1映射与函数1．设是定义在对称区间上的任何函数。xfll??⑴证明：

xfxfx??φ是偶函数，xfxfxψ是奇函数；⑵证明定义在区间ll??上任何函数可以

表示为一个偶函数与一个奇函数的和。2．设在数集xfX上有定义，试证：xf在X

上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。3．指出下列函数是否为复

合函数，若是复合函数，分析它是由哪些函数复合而成的：⑴325cos1xe；⑵xsin；

⑶xyxf0gtxf；4．设，2xexfxxf??1φ，且0≥xφ，求xφ并写出它的定义域。

5．设gt??lt111011xxxxf，，，，求2exgxgf和xfg，并作这两个函数的图

形。6．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定

凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分，但最低价为每台75

元，⑴将每台的实际售价表示为订购量的函数；Px⑵将厂方所获的利润表示程

订购量的函数；Px⑶某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？习题1-2数列

极限1．用数列极限定义证明：⑴1lim22∞→nann；⑵19999.0lim∞→个nn；

2．若，证明aunn∞→limaunn∞→lim，并举例说明：如果数列nx有极限，数列nx未

必有极限；3．设数列有界，又nx0lim∞→nny，证明：0lim∞→nnnyx；4．对于

数列，若nxaxk→??12∞→k，axk→2∞→k，证明axn→∞→n5．证明的充要条件为

对任一axnn∞→lim0gtε，区间εε??aa外最多只有有限多项nx6．利用第5题的结论证

明定理4（收敛数列与子数列的关系）习题1-3函数极限1．用函数极限的定义证

明：⑴424lim22→xxx；⑵0sinlim∞→xxx；2．当时，，问2→x42→xyδ

等于多少，使当δlt??2x时，001.02lt??y。3．根据极限定义证明：存在的充分必要

条件是xfxx0lim→xf在处左极限、右极限各自存在并相等。0x4．分别求xxxf，xxxφ，

当时左、右极限，并说明它们在时极限是否存在？0→x0→x5．证明：当∞→x及

时，函数??∞→xxf极限都存在且都等于A，则Axfx∞→lim。6．设，证明存在正数，

使得Axfx∞→limxxf在∞∪??∞??xx有界。习题1-4无穷小与无穷大1．两个无穷小

的商是否一定无穷小？试举例说明可能出现的各种情况。2．根据定义证明：当时，

0→xxxy1sin为无穷小。3．根据定义证明：当时，0→xxxy21为无穷大，并问应满

足什么条件，能使x410gty？4．求下列极限并说明理由：⑴xxx12lim∞→；⑵

xxx→11lim20；5．当时，0xx→xf是无穷大，是对任何收敛于点到0xnx都有，

而∞∞→nnxflimxf在的任一去心邻域是无界量，是指有一个收敛于的点到使，所以无

穷大是无界量，而无界量未必是无穷大。由此分析0x0xnx∞∞→nnxflimxxxf1sin1当

时是一个无界量而非无穷大。0→x6．函数xxycos在内是否有界？这个函数是否为

∞∞??∞→x时的无穷大？为什么？习题1-5极限运算法则1．指出下列解法有悖于

极限运算法则的，并给出正确的解法：⑴

2222lim1lim121limnnnnnnn∞→∞→∞→01lim2??∞→nnn⑵

3113113lim11lim1311limxxxxxxx→→→0∞??∞⑶

15321lim3∞∞∞→nnnnn⑷11cos1lim21→xxx011coslim1lim121→→xxxx

2．求下列极限⑴xxxarctanlim∞→；⑵1sinlim32∞→nnnn；3．求下列极限

⑴∞→11321211limnnn；⑵nnnbbbaaa∞→2211lim11ltltba；⑶

4586lim224→xxxxx；⑷∞→21211limxxx；4．求

下列极限⑴22lim2??→xxx；⑵145lim1→xxxx；⑶xxxxx∞→22lim。

习题1-6极限存在准则两个重要极限1．计算下列极限⑴xxxβαsinsinlim0→0≠β；

⑵nnnx2sin2lim∞→（为不等于零的常数）；x⑶xxx3sin5tanlim0→；⑷

xxxsinsinlim0→；⑸xxxcotlim0→；⑹xxxxsin2cos1lim0??→；⑺

xxx??→ππsinlim。2．计算下列极限⑴kxxx∞→11lim（正整数）；

⑵kbxxxa∞→1lim；3．利用极限夹逼存在准则，证明：⑴

11211lim222∞→πππnnnnnn；⑵0lim∞→nnnn。4．利用单调有界数

列必有极限存在准则，证明：数列2、22、222…极限存在，并求出极限。习题1-7无

穷小的比较1．⑴等价无穷小的替代求极限其优越性何在？⑵我们要熟记哪些

在时常见的等价无穷小？0→x⑶将下列时的无穷小按低阶到高阶次序排列起来：

0→x①xarcsin；②11212??x；③1cos2??x；④3tanx；2．当时，下列函数

哪个是比高阶的无穷小？哪个是的同阶无穷小？哪个是的等价无穷小？0→xxxx⑴

xxxx1arctan323α；⑵1arcsin3??xexxβ；⑶3113xxγ。3．证明无穷小等价关

系具有下列性质：⑴αα自反性；⑵若βα、γβ，则γα（传递性）。4．利用等价

无穷小的替代性质，求下列极限：⑴mnxxxsinsinlim0→（n、为正整数）；⑵

m∞→xxx1cos1lim2；⑶xxxx2sin3553lim2??∞→；⑷

xxxx30sinsintanlim??→；⑸1sin111tansinlim320→xxxxx；

⑹→xxx6tan3tanlim6ππ；⑺211cos1lim??→xxxπ；⑻

xbxaxmnx→11lim0。习题1-8函数的连续性与间断点1．单项选择填空题⑴

在点处有定义是当时xf0xx0xx→xf有极限的（）条件；⑵在点处有定义是在

xf0xxxf0xx处连续的（）条件；A．必要；B．充分；C．充要；D．无关2．问

常数取何值时，可使下列函数在分段点处连续？k

⑴gtlt011sin00sin1xxxxkxxxxf

⑵。lt≤??lt≤213102xxkxxxf3．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。

⑴；⑵≤lt??≤≤212102xxxxxf????≤lt≤311xxxxxxf。4．求

633223xxxxxxf连续区间，并求xfx0lim→，xfx3lim??→，。xfx2lim→5．下

列函数在指出点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如是可去间断点，则补充或

改变函数的定义使它连续：⑴23122xxxy，1x，；2x⑵xxytan，πkx，2ππkx，

210±±k；6．讨论xxxxfnnn2211lim??∞→的连续性，若有间断点，判别类型，并指

出是否为初等函数？xf习题1-9连续函数的运算与初等函数连续性1．判断下列

命题真伪，并说明理由：⑴若及都存在，则xgxfax→limxfax→limxgax→lim也存在；

⑵若及都存在，则xgxfax??→limxfax→limxgax→lim也存在。2．求下列极限：⑴

xxe1lim∞→；⑵xxe1000lim??→；⑶xxa1011lim??→0gta。3．求下列极限⑴

xx2cos2lnlimπ→6；⑵axaxx→sinsinlim；⑶xxxlncos1lncoslim??∞→。4．求

下列极限：⑴bxaxxcoslncoslnlim0→；⑵xxx2cos20tan31lim→；⑶

xxxxx∞→21lim22；⑷bxaabxbx→lim0gta。习题1-10闭区

间上连续函数的性质1．证明方程至少有一个根介于1和2之间。135??xx2．证明

方程，其中，，至少有一个正根，并且它不超过bxaxsin0gta0gtbba。3．设函数对

于闭区间上的任意两点、xfbaxy恒有yxlyxf??≤??，其中为正常数，且l0lt??bfaf，证

明：至少有一点ba∈ξ，使得0ξf。4．设在上连续，且xf1010≤≤xf，试证：至少存

在一点c，，使10∈cccf。5．设1α、2α、3α皆正，cbaltlt时，证明下列方程有且仅

有两个不同的实根：0321cxbxaxααα。6．设在上连续，且xfbabdcaltltlt，、

为已知正常数，证明在内至少有一点1t2tdcξ，使得ξfttdftcft2121成立。总习题一函

数与极限1．在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格

中：⑴数列有界是数列收敛的nxnx条件，数列nx收敛是数列有界的nx条件；⑵

在的某一去心邻域内有界是xf0xxfxx0lim→存在的条件，存在是xfxx0lim→xf在的某

一去心邻域内有界的0x条件；⑶在的某一去心邻域内无界是xf0x∞→xfxx0lim的

条件，是∞→xfxx0limxf在的某一去心邻域内无界的0x条件；0xf⑷当时的右极限

xf0xx→及左极限??0xf都存在且相等是存在的xfxx0lim→条件；2．设函数与在点

连续，证明：函数xfxg0xxgxfxmaxφ，xgxfxminψ连续。3．求下列极限⑴

xxxx∞→1cos2sinlim；⑵xxxxxcba103lim→0gtcba；⑶

xxxxxln1lim1??→。4．≤lt??gt??011ln011xxxexfx，求xf间断点，并说明

间断点类型。5．证明：112111lim222∞→nnnnn。6．确定下列

式子中常数与b的值：a⑴11lim21??→xbaxxx；⑵01lim2∞→baxxxx习题

2-1导数概念1．用导数公式求下列函数的导数⑴；⑵6.1xyxy1。2．在抛

物线上取横坐标为2xy11x及33x的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的

切线平行于这条割线？3．按照导数定义观察下列极限，假定xf′存在，指出下列

各题中A表示什么？⑴Axxfxxfx→??000lim；⑵Axxfx→0lim，其中，且

00f0f′存在；⑶Ahhxfhxfh→000lim；⑷Axfxxfxxfxx≠′→02lim0000；

4．函数在一点连续的三个要素是什么？函数在一点可导的充要条件是什么？由此

考虑：⑴xysin在处连续性与可导性；0x⑵，在处连续且可导，、b应取什么

值？gt≤112xbaxxxxf1xa5．如果为偶函数，且存在，证明xf0f′00′f。6．证

明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。

2axy22a7．设在处连续，且xf2x32lim2??→xxfx，求2f′。习题2-2函数的求导法则

1．求下列函数的导数：⑴3ln2??xeyx；⑵xxyln；⑶；⑷xxxylncos2ttscos1sin1。

2．求与axxy2bxxy20gtgtab的公切线方程。3．求下列函数的导数：⑴；⑵

xxytanclnxeyarctan；⑶；⑷nxxyncossinxxy。4．设可导，求ufxfxfy22cossin

的导数dxdy。习题2-3高阶导数1．求下列函数的二阶导数：⑴；⑵

2xxey21lnxxy；⑶axfysin，其中具有二阶导数。uf2．试

从ydydx1导出：⑴322yydyxd′′′??；⑵52223yyyydyxd′′′′′??′′3．求下列函数的阶

导数的一般表达式：n⑴；⑵；⑶xxylnxxy44cossin6532??xxxy。4．，求。

xxy2sin250y习题2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．⑴试比较显函

数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的表达式一般地各有什么特点？⑵

指出下列运算有哪些错误：txφ，tyψ，则

ttdxdyψφ′′??，′′′ttxdydφψ222tttttφφψφψ′′′′??′′′；2．对数求导法适用

于幂指函数的求导，并且它有助于那些仅含乘、除、乘方、开方运算的函数最简便

地求导，试求下列函数的导数：⑴；⑵xxysin2154132??xxxy0gta。3．设

11lnsinyxxy，求0y′。4．求曲线323232ayx在点aa4242处切线方程

和法线方程。5．求下列方程所确定的隐函数y的导数dxdy：⑴；⑵。

xyyxxxyyln226．求22lnarctanyxxy方程所确定的隐函数的二阶导数y22dxyd。7．求

下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：⑴；

⑵tteyex23????????′′tftftytfx，设tf′′存在且不为零。8．溶液自深18cm

顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满

了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min，问此时

圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？习题2-5微分1．单项选择题：⑴在

点处可导是在点处连续的（）；xf0xxf0x⑵在点处连续是在点处可导的（）；

xf0xxf0x⑶在点处可导是在点处可微的（）；xf0xxf0xA．必要条件；B．充分

条件；C．充要条件；D．无关条件2．设函数图形如图，试在图abcd分别标出

在点的、xfy0xdyy??及，并说其正负。dyy3．求下列函数的微分：⑴

21arcsinxy??；⑵2221tanxy；⑶；⑷xxxy341xfyφ，

其中、fφ均可微。4．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：⑴；⑵

dxd2xdxd3；⑶；⑷tdtdcoswxdxdsin；⑸dxxd11；⑹dxedx2??；⑺dxxd1；

⑻xdxd3c2。5．若在可导，且xf0x210′xf，试问0→??x，则0xxdy与x??等价无穷

小？或同阶无穷小？比高阶无穷小还是低阶无穷小？x??6．设22xyxfxfy，其中xf

为可微函数，求。dy总习题二导数1．试按导数定义求极限：⑴

axaxaxax→lim；⑵axxaaxax→lim。2．是非题：⑴若在处可导，在处

不可导，则xf0xxg0xxgxf在处必不可导；0x⑵若在处不可导，在处不可导，则

xf0xxg0xxgxf在处也不可导；0x⑶若在处不可导，在处不可导，则xf0xxg0xxgxf

在处亦不可导；0x3．求下列函数的、及0xf′??0xf′0xf′：

⑴≠0000101xxxexxfx⑵xaxf??2，ax0。4．求下列函数的导数：⑴；

⑵xysinarcsinxxeey21ln。5．设函数由方程所确定，求xyyexyey0y′′。6．求下

列由参数方程所确定的函数的dxdy及22dxyd，。θθ33sincosayax7．设xφ

是由方程组所确定的函数，求01sin322ytettxydxdy及0tdxdy。8．设

以的速率将气体注入球形气球内，当气球半径为4m时，气球表面积的变化速率为多

少？sm/1039．设对任意正数、有1x2x2121xfxfxxf，且11′f，试证：当时，0gtxxxf1′。

习题3-1微分中值定理1．不用求出函数4321xxxxxf的导数，说明方程有

几个实根，并指出它们所在的区间。0′xf2．若函数在内具有二阶导数，且

xfba321xfxfxf，其中，证明：在内至少有一点bxxxaltltltlt32131xxξ，使得0′′ξf。3．设，

证明：0gtgtbabbabaaba??ltlt??ln。4．证明方程只有一个正根。015??xx5．设、

在上连续，在xfxgbaba内可导，证明在ba内有一点ξ，使ξξgagfafabbgagbfaf′′??。6．设

函数在的某邻域内具有n阶导数，且xfy0x00001′??nfff，试用柯西中值定理证明：

nxfxxfnnθ10ltltθ。7．设在上连续，在xfba0gtaba可导，且0≠′xf，求证：存在ξ，ba

∈η，使ηηξfbaf′′2。习题3-2洛必达法则1．利用洛必达法则求下列极限：⑴

xarcxxcot11lnlim∞→；⑵xexxx??→101lim；⑶xxx3tantanlim2π→；

⑷axaxeeax→lnlnlim0；⑸；⑹1lnlnlim01→xxxaxxaax2tanlim22π??→；

⑺→xxxsin11lim0；⑻→xxxxln11lim1；⑼

xxx2cos011limπ→；⑽xnxnnxuxuxusin22102lim→，为个已知正常

数，。iun2≥n2．验证极限xxxxsin1sinlim20→存在，但不能用洛必达法则得出。3．讨

论≤gt????0012111xexexxfxx，在点0x处的连续性。

4．设≠??bxaabxbxqapaxfbbxln10≠gtaa，试确定常数与，使在pqxfbx处连

续。5．设函数xf在点处有连续的二阶导数，证明：

0x0200002limxfhxfhxfhxfh′′→。习题3-3泰勒公式1．将多项式分别按

3226xxxxp1??x的乘幂及1x的乘幂展开，由此说明在及xp1??∞??∞1上无实零点。

2．求函数xxf1按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。1xn3．求函数

的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林级数。xxexfn4．应用3阶泰勒公式求330的近似

值，并估计误差。5．利用泰勒公式求xxxexxx→1lncoslim2202。6．试确

定常数和b，使axxbaxxfsincos??为当时关于的5阶无穷小。0→xx7．设函数在xfba

内有二阶导数，且0gt′′xf，证明：对于内任意两点、恒有

ba1x2xgt2212121xxfxfxf。习题3-4函数的单调性与曲线的凹凸性

1．确定下列函数的单调区间⑴xxy820gtx；⑵21lnxxψ。2．证明下列不等式：

⑴当时，；4gtx22xxgt⑵设，，0gta0gtb10ltltc，证明ccccbaba≥??12；3．设函

数二次可微，且xf0gt′′xf，00f，证明：函数′≠000xfxxxfxF，单调增加的函

数。4．讨论方程（其中）有几个实根？axxln0gta5．求函数1ln2xy图形的拐点

及凹或凸的区间。6．试决定曲线中的、b、c、d，使得dcxbxaxy23a2??x处曲线有

水平切线，为拐点，且点101??442??在曲线上。7．设在的某领域内具有三阶连续

导数，如果xfy0xx00′′xf，00≠′′′xf，试问是否为拐点？为什么？00xfx习题3-5函数

的极值与最大值最小值1．求下列函数的极值：⑴xxy1；⑵31123??xy。2．试

问为何值时，函数axxaxf3sin31sin在3πx处取得极值？它室极大值还是极小值？并求

此极值。3．一房产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部

租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月

需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获得最大收入？4．试证：当2≤x时，

233≤??xx。5．求数列nn最大项。习题3-6描绘函数的图形1．求曲线的渐近线：

⑴xxy1sin；⑵12??xeyx；⑶223543??xxxy。2．描绘下列函数的图形⑴xxy12；

⑵2132??xxy。3．有四次多项式，图形与轴相交两次，在xfyxax和0x0gta时，xf

有极大值，，试问：⑴有几个负根？10??f0xf⑵的常数项是多少？xf′⑶的图形

与轴相交几次？xfy′x⑷在范围内，0ltxxfy与xfy′图形相交几次？（要求列表格，给

草图与答案）习题3-7曲率1．求椭圆在点处曲率。4422yx202．对数曲线上哪

一点的曲率半径最小？求出该点处的曲率园半径。xyln3．求摆

线，tayttaxcos1sin0gtaπ20∈t，问为何值时曲率最小，并求最小曲率和该

点处曲率半径。t4．若抛物线在点cbxaxy20x处与曲线相切且有相同的曲率半径，

试确定系数、b、。xeyac5．一飞机沿抛物线路径100002xy（轴铅直向上，单位为）

作俯冲飞行，在坐标原点O处飞机的速度为ymsmv/200，飞行员体重kgG70，求飞机

俯冲至最低点即原点处时座椅对飞行员的反力。O6．汽车连同载重共，在抛物线

拱桥上行驶，速度为，桥的跨度为，拱的天高为，求汽车越过桥顶时对桥的压力。

t5hkm/6.21m10m25.0总习题三导数的应用1．是非题：⑴若，则；xgxfgtxgxf′≥′

⑵若，则存在，当有xgxf′gt′0x0xxgtxgxfgt；2．单项选择题：⑴设处处可导，

则（）xfA．当??∞??∞→xfxlim，必??∞′??∞→xfxlim；B．当，

必??∞′??∞→xfxlim??∞??∞→xfxlim；C．当∞∞→xfxlim，必∞′∞→xfxlim；D．当，

必∞′∞→xfxlim∞∞→xfxlim；⑵设在上，则，100gt′′xf0f′1f′，01ff??或10ff??，几个

数的大小顺序为（）A．；0101ffff??gt′gt′B．0011ffff′gt??gt′；C．；

0101ffff′gt′gt??D．0101ffff′gt??gt′。3．设，求kxfx′∞→limxfaxfx??∞→lim。4．设

01210naaan，证明多项式nnxaxaaxf10在内至少有一个零点。105．求下列极限：

⑴→xxx11ln1lim0；⑵xxxxxxln1lim1→；⑶

nxxnxxxnaaa∞→/lim11211，其中021gtnaaa。6．设函数在

第一邻域有三阶导数，且xf0x3101limexxfxxx→，试求0f，0f′，及

0f′′xxxxf101lim→。7．证明：当2021πltltltxx时，1212tantanxxxxgt。

8．设有二阶连续导数，且xf00′f，1lim0′′→xxfx，则0f是极大值？极小值？拐点为。

xf00f9．设（正整数），试证：nxnxxf??1nexfx1max10lt≤≤习题4-1不定积分的概

念与性质1．下列各题中哪些函数是同一函数的原函数⑴xe221、、；⑵xln、、

shxexchxexx2lnxln、cxln。2．验证lt??≥020222xxxxxF是xxf的原函

数，并回答初等函数在其定义区间是否一定有原函数？若有，其原函数是否仍是初

等函数。3．验证≠0001sin2xxxxxF是≠??0001cos1sin2xxxxxxf

的原函数，并回答若在区间Ⅰ上有原函数，一定连续吗？xfxf4．一曲线通过32e，

且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。5．求下列

不定积分⑴∫dxxxx211；⑵∫dxxx221213；⑶

∫dxxxx32532；⑷∫dxxxx1133224；⑸∫dxxxeeexxx221；⑹

∫xxdx22sincos。习题4-2（1）第一类换元法求下列不定积分1．∫2211tanxxdxx；

2．∫dxxxx2211ln；3．∫dxxxxsincostanln；4．∫dxxxx2lnln1；5．∫dxxxx1arctan；

6．∫dxxxxx4932；7．∫??1ln1lnxxxx；8．∫1692xxdx；9．∫dxxx2491；

10．∫544.