圆与圆的位置关系

例已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是

24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?

解：设大圆半径R=5x

∵两圆半径之比为5:3，∴小圆半径r=3x，

∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，

∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，

当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，∴此时两圆外切；

当两圆圆心距d2=5时，有d2

当两圆圆心距d3=20时,有R-r

当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．

说明：此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力．考察数形结合能力．

例已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．

解：分两种情况：

（1）如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径为r2=4cm．

圆心Ol，02在公共弦的异侧．

∵O1O2垂直平分AB，∴AD=cm3AB

2

1

．

连O1A、O2A，则

435ADAODO2222

11

．

734ADAODO2222

22

．

74DODOOO

2121

（cm）．

（2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求

01D=4cm，02D=

7

（cm）．

74DODOOO

2121

（cm）．

说明：①此题为基本题目；②此题未给出图形，所以应分两种情况求解；若题中给出图形，

按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时，两相交等圆的圆心只能在公共

弦两侧．

例（武汉市，2002）已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交

⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E．求证：

(1)CD＝DE；

(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论

是否成立?请证明你的结论．

证明：（1）连结DF、AD，

∵AF为⊙O1的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，

∴∠DFE=∠EDA，

∵BC为⊙O1的切线，∴∠CDA=∠DFE，

∴∠CDA=∠EDA，

连结AC，∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，又AD公共，

O

1

O

B

C

A

D

EF

O

1

O

B

C

A

D

E

F

∴Rt△EDA≌Rt△CDA，

∴CD＝DE．

（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立．证法同（1）．

说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等

三角形等知识；②第（2）问是开放性问题．

例（宁波市，2002）如图，⊙O’经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO’交⊙O于

点Q、D，交⊙O’于点P，交EF于点C且EF=

152

，sin∠P=

4

1

．

(1)求证：PE是⊙O的切线；

(2)求⊙O和⊙O’的半径的长；

(3)点A在劣弧上运动(与点Q、F不重合)，连结PA交于点B，连结BC并延长交⊙O于

点G，设CG=x，PA=y．求y关于x的函数关系式．

证明：（1）连结OE，∵OP是⊙O’的直径，

∴∠OEP=90°，∴PE是⊙O的切线．

（2）设⊙O、⊙O’的半径分别r、r’．

∵⊙O与⊙O’交于E、F，

∴EF⊥OO’，15EF

2

1

EC．

∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE．

∴sin∠OEC=sin∠OPE=

4

1

，

∴sin∠OEC=

4

1

r

OC

OE

OC

，即

4

1

OCr，

15r

16

1

r22，得r=4．

在Rt△POE中，sin∠OPE=

'r2

r

OP

OE

，∴r’=8．

（3）按题意画图，连结OA，∵∠OEP=90°，CE⊥OP，

∴PE2=PC·PO．又∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PB·PA，∴PC·PO=PB·PA，

即

PO

PB

PA

PC

，又∵∠CPO=∠APO，∴△CPB∽△APO，∴

PA

PC

OA

BC

，

∴BC=60/PA．由相交弦定理得BC·CG=EC·CF，∴BC=15/CG，

∴PA=4CG，即y=4x（

5x15

）．

说明：此题为综合题目，主要应用：切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、

切割线定理及相似形等知识．

典型例题五

例两圆的半径分别是方程0232xx的两根且两圆的圆心距等于3，则两圆的位

置关系是（）

（A）外离（B）外切（C）内切（D）相交

O'OD

A

B

C

G

P

F

Q

E

解：∵方程0232xx的两根分别为1和2，而两圆的圆心距是3，

∴两圆的半径之和等于圆心距，

∴两圆的位置关系是外切，故选B．

说明：本题利用两圆的半径的和或差与圆心距的数量关系判定两圆的位置关系．设两

圆的半径分别为R、r，圆心距为d，则

（1）两圆外离rRd；

（2）两圆外切rRd；

（3）两圆相交)(rRrRdrR；

（4）两圆内切)(rRrRd；

（5）两圆内含)(rRrRd．

典型例题六

例若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆的位置关系是（）

（A）相交（B）内切（C）内含（D）不能确定

解：∵两圆的圆心距小于两圆的半径之和，根据两圆的半径之和或差与圆心距的数量

关系可知，两圆的位置关系可能是相交、内切或内含，

∴位置关系不能确定，故选D．

说明：根据两圆的五种位置关系，进行正确判定．

典型例题七

例两圆的半径之比为1：2，当两圆外切时，圆心距是6cm；当两圆内切时，圆心

距为（）

（A）2cm（B）3cm（C）4cm（D）5cm

解：由题意，设两圆的半径分别为r和2r．

∵两圆外切时，圆心距是6cm，

2,62rrr（cm）．

∴两圆的半径分别为2cm和4cm，

∴当两圆内切时，圆心距是224（cm），故选A．

说明：熟记公式的基础上要灵活运用．

典型例题八

例若R、r分别为两圆的半径，d为圆心距，且

)(2222rRdRdrR，则这两

个圆的位置关系是（）

（A）相交（B）相切（C）外离（D）内含

解：∵2222dRdrR，

,0))((

,0)(

,02

22

222







rdRrdR

rdR

rdRdR

rRd或rRd。

∴两圆的位置关系是外切或内切，即相切，故选B．

说明：如果圆心距和半径的和或差之间的关系不明确，要运用学过的知识进行推论，导出所

需要的结论，本题是两圆位置关系的典型例题．

典型例题九

例已知：如图，已知⊙O与⊙

1

O相交于A、B两点，过点A作⊙

1

O的切线交⊙O于

点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O，⊙

1

O于点E、F，EF与AC相交于点P.

（1）求证：PFPCPEPA

（2）求证：

PB

PF

PC

PE



2

2

（3）当⊙

1

O与⊙O为等圆，且5:4:3::EPCEPC时，求ECP与FAP的面积

比值。

分析：（1）要证PFPCPEPA只须证

PF

PE

PC

PA

，故转证AFCE//，两圆相交

连公共弦，由弦切角及同弧对的圆周角可得AFCE//。（2）由（1）有22)()(

PA

PF

PC

PE

而

PFPBPA2，代入即可得证。（3）由5:4:3::EPCEPC知90C，即AE为⊙

O的直径，AF为⊙

1

O的直径，然后根据三角形相似即可导出结论。

证明（1）连结AB

（2）

（3）连接AE

由（1）PEC∽PFA

5:4:3::EPCEPC

5:4:3::PFFAPA

设xPC3，xCE4，xEP5，yPA3，yFA4，yPF5

则222CEPCEP，222FAPAPF，

90C，90CAF.

AE是⊙O的直径，AF是⊙

1

O的直径

又⊙O与⊙

1

O为等圆，

yAFAE4

222AECEAC，

222)4()4()33(yxyx

即

07182522yxyx

yxyx,725（舍去）

25

7



y

x

，

625:49::22



yxSS

FAPECP

.

典型例题十

例（黄冈市，2000）如图，已知：⊙

1

O与⊙

2

O相交于BA,两点，过点A作⊙

1

O的

切线，交⊙

2

O于点C，作过点B作两圆的割线分别交⊙

1

O，⊙

2

O于点DEED,,与AC相

交于点P.（1）求证：PDPCPEPA；（2）当AD与⊙

2

O相切，且

12,2,6PDPCPA时，求AD的长.

证明（1）连结AB.

CA切⊙

1

O于点A，∴.1D

又.,1EDE又32，

∴APD∽.CPE

∴.

PE

PD

PC

PA

即PDPCPEPA.

（2）由（1）知，PDPCPEPA，

.4.1226,12,2,6PEPEPDPCPA

由相交弦定理，得.3.264.PBPBPCPAPBPE

∴.16412.9312PEDPDEPBPDBD

DA切于⊙

2

O于点A，∴.2DEDBDA即.12.1692ADAD

说明：本题考查相交两圆的一些性质，解题关键是连公共弦，易错点是不善于通过公

共弦沟通两圆之间的角的关系而造成错误.

典型例题十一

例（苏州市，1997）如图，已知⊙

1

O与⊙

2

O相交于BA,，直线CD过点B分别交

⊙

1

O与⊙

2

O于MDC,,为的中点，AM交⊙

1

O于E，交CD于F.连结.,,DMADCE（1）

求证：CEF∽AMD；（2）求证：

MA

MF

CE

EF



2

2

；（3）若

.4,2,7,5MFAMFDCFBDCB求MF和CE的长、

证明（1）连结AB.；

∵M为的中点，∴32.

又.13,21

62,23,354，

∴654，即ADMCFE，∴CEF∽AMD.

（2）..//,621

DM

MF

CE

EF

DMCE

∵CEF∽AMD，∴.

DM

MF

CE

EF



∴

AM

MD

DM

MF

CE

EF

CE

EF

，即

AM

MF

CE

EF



2

2

.

（3）.2,1275FDCFBDCBCD

.3,4

.3,8,4.123

MFAFMFAM

BFCFFDFD







又.2.433,FMMFMFBDBFAFFM

又.4

6

83

,









FA

FCFB

FEFCFBFAFE

又

AM

MF

CE

EF



2

2

，∴.8,

26

216

2





CE

CE

说明：本题主要考查相交两圆的一些性质，解题关键是连结公共弦AB，易错点是连不

出公共弦，沟不通两圆之间角的关系.

典型例题十二

例（安徽省，1999）已知：如图，⊙

1

O与⊙

2

O相交于ADC.,是⊙

1

O上一点，直线

AD交⊙

2

O于点B.（1）当点A在上运动到A

点时，作直线DA



交⊙

2

O于点B

，连

CBCA



,.证明：（1）CBA



∽ABC；（2）问点A



在上什么位置时，

CBA

S





最大，

请说明理由；（3）当9,11

21

CDOO时，求

CBA

S





的最大值.

证明（1）在CBA



和ABC中，BBAA







,，

∴CBA



∽ABC.

（2）∵CBA



∽ABC，

∴.

2

2

CA

AC

S

S

ABC

CBA











即

ABCCBA

S

CA

AC

S













2

2

.

∴当AC



取最大值，即为⊙

1

O的直径时，CBA



的值最大.

解（3）CA



为⊙

1

O的直径，∴.90



DCA

∴.90



DCB

∴CB



为⊙

2

O的直径.

CDOO

21

且

21

OOBA



2

1

.

∴.99911

2

1

21











CDOOCDBAS

CBA

说明：本题主要考查两圆相交的一些性质，解题关键是要利用直径是圆中最大的弦这

个性质，易错点是第（2）小题中找不到解题思路.

选择题

1．半径分别为5.5cm和4.5cm的两个圆内切，这两圆的圆心距是（）

（A）0.5cm（B）1cm（C）5cm（D）10cm

2．已知半径为R和r的两个圆相外切，则它们外公切线长为（）

（A）rR（B）22rR

（C）rR2（D）Rr2

3．已知⊙O与⊙O



外切于点C，外公切线AB与连心线OO



交于点P，BA、为切点，

若

32AB

，大圆O的半径为3，则两条外公切线所夹的锐角的度数是（）

（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°

4．已知两圆的半径分别为2、5，而圆心距是一元二次方程021102xx的根，则两圆

公切线的条数为（）

（A）一条（B）三条

（C）四条（D）一条或三条

5．设两圆半径分别为R和r（rR），圆心距d，若这两圆内含，则下列不等式成立的是

（）

（A）drR（B）drR

（C）drR（D）rRdrR

6．两圆半径分别为3和5，圆心距d，若两圆相切，那么（）

（A）2d（B）8d

（C）82d（D）2d或8d

7．下列说法中，正确的是（）

（A）经过三个点一定可以作圆

（B）两圆的半径分别为3厘米和4厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是

外切

（C）相交两圆的公共弦垂直平分连心线

（D）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

8.已知两圆半径分别为R和r)(rR，圆心距为d，且dRrRd2222，那么两圆位

置关系为（）

A．相切B．内切C．外离D．外切或内切

9.如图，⊙

1

O与⊙

2

O内切于点P，⊙

2

O的弦AB经过⊙

1

O的圆心

1

O，交⊙

1

O于点C，

D，若2:4:3::DBCDAC，则⊙

1

O与⊙

2

O的直径之比为（）

A．2：7B．2：5C．1：4D．1：3

10.⊙

1

O与⊙

2

O半径之比为3:4:rR，当cm21

21

OO时，两圆外切，当两圆内切时，

21

OO的长度为（）

A．3cm

21

OOB．3cm

21

OO

C．cm213cm

21

OOD．以上均错

11.已知ABC的三边长分别为6，8，10，分别以A，B，C三点为圆心，作两两相外切

的三个圆，那么这三个圆的半径分别为（）

A．3，4，5B．2，4，6C．6，8，10D．4，6，8

12.设⊙

1

O的半径为

1

R，⊙

2

O的半径为

2

R，若两圆既有内公切线，又有外公切线，那么

两圆半径之和与圆心距之间的大小关系应是（）

A．

2121

OORRB．

2121

OORR

C．

2121

OORRD．

2121

OORR

答案:

1．B2．D3．B4．D5．B6．D7．D8.D9.D10.B11.B12.B.

填空题

1．两个同心圆，大圆的半径为9，小圆的半径为5，如果⊙O与这两圆都相切，那么⊙O的

半径等于.

2．相切两圆的圆心距为cm18，其中小圆半径为cm7，则大圆半径为________

3．两圆半径分别为cm5和

cmx

，圆心距为cm7，若两圆相交时，则

x

的取值范围是______

4．已知两圆的半径分别为cm7和1cm1，当圆心距为cm3时，两圆位置关系为______；当

圆心距为cm12时，两圆位置关系为_________

5．如果两圆内切，它们的半径分别为3和5，那么它们的圆心距为

_______

6．如图，直径为10的两个等圆⊙O

1

与⊙O

2

相交于A、B，公共弦

AB=8．由点O

1

向⊙O

2

作切线O

1

C，切点为C，则O

1

C的长为．

7．如图，两个等圆⊙O

1

与⊙O

2

外切，过点O

1

向⊙O

2

作切线O

1

A、

O

1

B，切点为A、C，则∠AO

1

B=．

8．已知，两圆相切且半径分别为3、5，则两圆的连心线的长为

．

9．如图，⊙

1

O与⊙

2

O相交于A、B，且

1

AO，

2

AO分别是两圆的切线，A是切点，若

⊙

1

O的半径cm3

1

r，⊙

2

O的半径cm4

2

r，则弦AB=________

10．已知，⊙

1

O与⊙

2

O的圆心距cm5

21

OO，半径cm6

1

R，cm8

2

R，则这两圆的

位置关系是________。

11．⊙

1

O和⊙

2

O相交于BA、两点，它们的半径分别为2和2，公共弦AB长为2，若

圆心

1

O、

2

O在AB同侧，则

21

AOO的度数为.

12．如图，图中各圆两两相切，⊙O的半径为6，⊙A和⊙B的半径相等，则⊙C的半径

_______r.

O

1

O

2

B

C

A

O

1O

2

B

A

13．两圆半径的比为5：3，当这两圆外切时，圆心距是24，若这两圆相交，则圆心距d的

取值范围是.

14．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是.

15．已知半径不相等的两圆有公共点，则两圆的公切线条数是.

答案：

1．2或11或cm253.122x4.内含；相交5.26.117.60°8.8或2

9.

5

24

10.相交11．15°12．213．246d14．5或1.15．1或2或3。

解答题

1．若两圆的圆心距d满足等式34d，且两圆半径是方程01272xx的两个根，

判断这两圆的位置关系。

2．如图，以O为圆心的两个同心圆，外圆的弦AB与内圆相切于T点，过T的直线交外圆

于C，D，若2CT，4TD.求圆环的面积（即夹在大圆与小圆之间部分的面积）

3．如图，⊙

1

O与⊙

2

O相交于A，B两点，直线TD与⊙

2

O相切于T，和⊙

1

O相交于M，

D两点，M是TD的中点，直线BA与直线TD相交于点C.求：CTCM:

4.如图，已知⊙O

1

与⊙O

2

相交于A，B两点，过A的直线交两圆

于C，D两点，G为CD的中点，BG及其延长线交⊙O

1

，⊙O

2

于E、

F两点，连结DF，CE、求证：DF=CE．

说明：作公共弦，沟通两圆的圆周角的关系是常作的辅助线．

5.如图，⊙O

1

与⊙O

2

相交于A，B，PE为⊙O

1

的直径．PA延长线

O

1O

2

A

B

C

D

E

F

G

O

1

O

2

A

B

D

E

F

P

C

交⊙O

2

于C，PB交⊙O

2

于D，CD延长线交PE于F．

求证：CF⊥PE

6．已知：如图，⊙O与⊙O



相交于BA、两点，连心线OO



交⊙O



于CD、两点，直

线AC交⊙O于点P，直线PD交⊙O



于点Q且ACPA.

求证：BQPC//.

7．如图，已知⊙

1

O与⊙

2

O相交于DC、两点，连心线

21

OO和⊙

2

O相交于AB、两点，

ADAC、的延长线分别和⊙

1

O相交于点FE、.

（1）求证：DFCE；

（2）如果⊙

2

O的半径为2，60ABC，且CDEC，求⊙

1

O的半径.

8．如图，⊙

1

O与⊙

2

O外切于A，⊙

1

O的直径CE的延长线与⊙

2

O相切于B，过C作⊙

1

O

的切线与

12

OO的延长线相交于D，已知⊙

1

O与⊙

2

O的半径分别是2和3，求CD的长.

9．如图，AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，OBDE，

垂足为E.

求证：D是AB中点.

10．已知：如图，两圆内切于点A，P是两圆公切线上的一点，过P点作小圆的割线PBC，

连结ACAB、并延长分别交大圆于ED、.

求证：

2

2

AD

AE

PB

PC

.

参考答案：

1．1d时，两圆内切，7d时，两圆外切

2．8

3．2:1:CTCM

4.提示：连结AB，∠C=∠ABE，∠ABE=∠D，得∠C=∠D，CG=DG，∠CGE=∠DGF，

∴△AEG≌△DEG，∴DF=CE．

5.证明：连结AB，AE，则∠C＝∠B，∠B＝∠E．

因为PE是直径，所以∠PAE=90°．故∠E+∠EPA=90°．

因此∠C+∠EPA=90°，∠PFC=90°，所以CF⊥PE．

6．提示：连结AD.证DPC为等腰三角形.连AB交OO



于E，可证BQPC//.

7．（1）提示：作CEHO

1

于H，DFGO

1

于G，证ADC为等腰三角形.（2）半径

为

32

.

8．提示：连BO

2

，可得CBBO

2

.由勾股定理得4

1

BO.证

1

DCO∽

12

BOO，得

2

3

CD.

9．提示：连结OD.

10．提示：连DE.证DEBC//，得

AC

AB

AE

AD

.

可证PCPBPA2，PAB∽PCA，

得

PC

PA

AC

AB

.∴

PCPB

PC

PA

PC

AD

AE





2

2

2

2

2

.∴

2

2

AD

AE

PB

PC

.