平行四边形面积

《平行四边形的面积》的教学案例与反思

设计执教：杭州市崇文实验学校朱蕾

教学内容

浙教版新思维小学数学五上

教学目标

1、在学习长方形面积的基础上，感知什么和平行四边形面积有关，并能从中找出面积与底

和高的关系。

2、经历归纳与推理的过程，理解平行四边形面积计算公式的推导，能运用公式正确地计算

平行四边形面积。

3、经历探究平行四边形面积计算公式等活动，渗透“转化”的思想方法，培养学生的空间

观念。感受富有挑战的思考激发学习兴趣。

教学过程

一、新旧联系，揭示课题。

1、复习长方形面积，唤起原有知识储备。

大屏幕呈现长方形。

师：这是什么图形？

生：长方形。大屏幕呈现数据：长5厘米，宽3厘米。

师：面积是多少？生：3×5=15（平方厘米）

师：15平方厘米表示什么意思？

生：由15个1平方厘米的小正方形组成。每行摆5个，可以摆这样的3行。

2、引出平行四边形，揭示课题。

大屏幕呈现平行四边形。

师：这个图形认识吗？生：平行四边形。

大屏幕呈现课题：平行四边形面积。

师：今天我们就要来研究平行四边形的面积。就像研究长方形面积一样，我们要讨论它和什

么有关，有什么关系，为什么有关。

大屏幕依次呈现三个问题：和什么有关？有什么关系？为什么有关？

二、研究变量，探究公式。

1、思考一：面积和什么有关？

大屏幕中间呈现平行四边形，左上角呈现文字：和什么有关？

师：先请大家仔细观察并猜一猜，平行四边形面积的大小可能与什么有关？

生1：我觉得与底和高有关。

生2：还和角有关。

生3：和斜边有关。

师：为个让我们看的更清楚，我们把它们用字母和符号表示出来。

大屏幕在平行四边形的底、高、夹角、斜边上呈现对应的字母和符号：a，h，∠1，b。

师：刚才同学们都有自己的猜想，现在我们借助电脑来看看是否如此。

大屏幕呈现利用超级画板软件拉动底边，面积变化的情景。

师：底边变了面积变了吗？生：变了。

大屏幕呈现拉动高，面积变化的情景。

师：高变了，面积呢？生：（齐声）变了。

大屏幕呈现拉动斜边，面积变化的情景。

师：斜边变了面积呢？生：（齐声）变了。

大屏幕呈现变化夹角度数，面积变化的情景。

师：现在呢？生：也变了。（（课件演示和夹角有关）

师：看来刚才同学们的猜想很有道理，底、高、斜边、夹角的确都和面积有关。

2、思考二：有什么关系？

师：他们之间到底是怎样的关系，我们应该怎么来研究？

生：我们可以举几个平行四边形的例子来研究。

师：老师给大家提供了一些平行四边形。你可以选择一些进行研究。

学生取出研究材料，材料上有三个放在方格纸中的平行四边形，底、高、斜边和夹角

的数据都有。下面是一张表格。

学生独立探究。

师：好，我们先请一位同学来汇报他的发现。

生：我发现平行四边形的面积是底乘以高，因为第一个平行四边形底是3厘米，高是2厘米，

面积我数出来是6平方厘米。图形二面积是16平方厘米，底是4厘米，高是4厘米，4乘4

等于16。我再看图三，图三是21平方厘米，它的底边是7厘米，高是3厘米，7乘3就等

于21。

师：我们填了那么多数据，看来底高和面积的关系是我们最容易发现的，我们今天就先来研

究底和高与面积的关系。刚才同学说了平行四边形的面积可能是底乘以高。

板书：底×高

师：但是我们只用了三个例子来说明，能不能确信？

生：不能。

师：我们还需要怎么样？

生：举更多的例子。

师：每位同学在方格中再举一个例子，看看是不是有这样的关系。

学生独立在方格纸中画一个平行四边形，研究底高和面积的关系。教师板书：面积（cm2）

底（cm），高（cm）

师：请同学来说说他举的例子。

生1：我举的这个平行四边形底是4厘米，高是3厘米，然后我数出来它的面积真的是12

平方厘米。

生2：我举的例子，底是3厘米，高是1厘米，面积是3平方厘米。

生3：我举的例子是：底7厘米，高是2厘米，面积是14平方厘米。

生4：我举的例子底是3厘米，高是2厘米，面积是6平方厘米。

学生说教师依次在黑板上板书对应的数据。

师：除了这些，我们还可以举更多的例子。

在数据下面板书……。

师：通过我们的举例，发现了什么？

生：求平行四边形的面积是用底乘以高。

3、思考三：为什么有关？

师：为什么呢？我们能不能用其他的方法来证明？

生：我在数的时候发现，我们可以把平行四边形左边的三角形割下来，然后把左边的三角形

移到右边去，就正好形成了长方形。

师：大家把平行四边形转化成了长方形。

板书转化。

师：我们为什么要把它转化成长方形？

生：因为我们学过长方形面积怎么算，把平行四边形转化成长方形我们就能看看这个公式对

不对了。

师：也就是说我们要把它转化成一个我们会求面积的图形。

在转化两个字下面板书我们会求面积的图形。

师：接下来我们小组合作研究。

大屏幕呈现小组合作要求：1、动手尝试；2、思考原因；3、准备汇报。

开始。

学生以四人小组为单位研究。

师：哪个组先来汇报一下你们研究的结果？

生：（在实物投影仪下操作）我们是这样想的，把高左边多出来的部分移到右边，它就成长

方形了。高就变成了宽，而底就变成了长，因为长乘宽等于长方形的面积，所以平行四边形

面积就是底乘高。

师：老师有一个地方不明白，大家为什么都沿着高去剪？

生1：如果不沿着高剪，就没有直角，没有直角就不能拼成长方形了。

生2：他的意思就是说因为长方形有四个直角，只有沿着高剪才能出现直角。而且平行四边

形对边相等，拼的时候那两条边就能完全重合了，没有空隙。

大屏幕呈现一个一般的平行四边形。

师：除了像刚才汇报的组这样沿着高剪下一个三角形以外，还可以怎么剪？

生：只要沿高就可以了，中间也行。

大屏幕呈现剪成两个直角梯形，然后拼成长方形。

师：这个平行四边形你能把它转化成长方形吗？

大屏幕呈现

生：也只要沿着高剪，把剪下的图形平移一下就行。

师：这个呢？

大屏幕呈现

生：把这个平行四边形横过来，再沿着它的高去剪，然后就能拼成长方形。

大屏幕呈现这样的剪拼方法。

师：这个方法可以，如果不旋转呢？

生：延长底边。师：怎么延长？

生：把平行四边形再移一个出来。

大屏幕呈现两个平行四边形拼合后剪拼成长方形。

师：看来通过平移，这个特殊的平行四边形也能沿高剪拼成长方形。当然还有别的方法，比

如，横着切分成多个平行四边形，也可以使每个平行四边形的高落在相应的底上，而不是在

它的延长线上。

师：现在我们来比较一下，转化后的长方形和原来的平行四边形有什么关系？

生1：长方形面积和平行四边形面积相等，平行四边形的高就是长方形的宽。

生2：转化后长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，而且转化

后的长方形和平行四边形面积一样。

大屏幕依次呈现关系：

师：长方形面积怎么求？

生：长×宽。

师：所以平行四边形面积就是„„

生：（齐说）底×高。

大屏幕呈现补充完整的公式。

师：我们通过一个新的方法——转化知道了为什么平行四边形的面积等于底乘高。

师：除了用文字表示这个公式外，我们还能怎么表示？

生：用字母表示。

板书：S=ah

三、应用练习，巩固新知。

1、基本练习。

师：根据平行四边形面积公式，这张表格你会填吗？

大屏幕呈现：

底(dm)高(dm)面积(dm2)

810

15120

10150

学生独立做练习。

师：第一题面积怎么求？生：8×10=80（平方分米）。

师：第二题。生：第二题求底，120÷15=8（分米）。

师：第三题。生：面积是150平方分米，底是10分米，高是150÷10，15分米。

师：仔细观察表格，你有什么发现？

生1：第一和第二题底一样，高变了，面积也变了。

生2：底相同，高增加了，面积也增加了；高相同，底增加了，面积也变大。

师：如果底不变，高变小了呢？

生：（齐说）面积变小了。

师：最后一行，同学们填了什么？

生：我填了底2分米，高3分米，面积是6平方分米。

师：他填了底和高求面积，还有不同的填法吗？

同桌互相交流。

师：看来我们知道了其中的两项就可以求另一项。

2、提高练习。

师：刚才最后一个问题是同学们自己提的，朱老师也提个问题。平行四边形的有一条底

是5厘米，有一条高是4厘米，它的面积是多少？大屏幕呈现图。

生：5×4=20（平方厘米）

师：面积是20平方厘米吗？（等待数秒）你有什么想说的？

生1：我觉得好像高画错位置了。底和高必须是垂直的。

生2：底和高要对应的才行。

师：那这个平行四边形要求面积，需要知道什么条件？

生：还需要知道和4厘米的高垂直的底。

大屏幕呈现数据4厘米。

师：面积多少？

生：16平方厘米。

师：通过刚才我们的讨论，你有什么收获？

生：我知道了要求平行四边形的面积，底和高一定要是对应的。

大屏幕呈现另一条高。

师：这条高的长度你能求吗？

生：高就是4×4÷5=3.2（厘米）。

四、小结全课，课堂延伸。

1、小结。

师：今天我们学了什么？

生1：我们学了怎么求平行四边形的面积。

生2：我知道了平行四边形的面积=底×高。

师：是怎么研究的？

生：把平行四边形转化为长方形来研究的。

师：回忆一下这节课研究了几个问题？

生：有三个问题。和什么有关？有什么关系？为什么有关？

师：这三个问题我们不光研究平行四边形可以去思考，今后研究三角形、梯形等图形面积都

可以这样去思考。

2、课后延伸。

师：还记得开始的时候我们说平行四边形的面积和四个量有关，今天我们只研究了底、高与

面积的关系，那么面积与斜边和夹角又有什么关系呢？我们今后会继续研究。

案例评析：唐彩斌

知识的冰山下蕴藏着什么

——探寻平面图形面积的教学价值

莎士比亚说“一千个观众眼中有一千个哈姆雷特”。因此可以类比：上同一

节课，一千个老师可以上出一千种风格，还可以继续类比：听同一节课，一千个

老师可以听出一千种不同的感受。在此，乐意与大家分享我的感受与思考。

在数学课程改革的行进中，我们越来越感觉到宏观的指导思想大家都是认同

的，中观的理念也是容易形成共识的，恰恰是微观的操作是难以落实的。平面图

形面积的教学，也是一样。我们不妨一起来做一个追问：平面图形的面积教学，

重点教学什么是面积还是教学怎样求面积？（教学怎样求面积）要让学生学会求

面积，记住一个面积的公式需要几秒钟，推导一个面积公式需要一节课，这一节

课值得值？（值，要重过程）。推导面积公式是告诉学生怎样推导，还是引导学

生自己探究发现方法？（学生为主体，肯定让学生自己探究），而问题就在于学

生探究不出来怎么办？怎样才能使学生能探究呢？在倡导“四基”的课程理念下，

需要哪些已有的基础知识和基本技能，又需要积累哪些活动经验，又渗透了哪些

基本思想？这些问题需要深思值得探讨。下面我们就以平行四边形面积教学为例

来探讨在平行四边形面积公式推导背后的教学价值索求。

一．复习长方形面积为了什么？除了回顾知识，还有激活经验。

现象：长方形面积与什么有关，是怎样的关系？是怎么研究得到的？长方形

的面积与什么有关？（有关是什么意思）？有了之前的学习，预设学生知道当长

不变的时候，宽变大，面积也变大；如果宽不变，长变大，面积也变大了。是怎

样的关系呢？长方形面积就等于长乘宽的积。我们是怎么研究得到的？我们用一

个单位面积的正方形去摆，一行摆几个，一共摆了几行，一共有多少个。单位正

方形的个数就是图形面积的大小。这是对描述性概念的回顾，也是对面积公式推

导的经验一种唤起。

思考：为什么我们要强调经验了。课标研制组孙晓天教授提出：知识除了显

性知识，还有隐性知识。我们所关注的显性知识往往只是冰山一角，隐藏在下面

才是教育的基石。而隐性知识往往是学生参与学习活动的经验。课标修订组史宁

中教授认为：国家要创新，需要知识，还要有智慧。“知识本质上是一种结果，

可能是经验的结果，也可能是思考的结果。”单纯追求知识的教育是一种结果的

教育。“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而是表现在

经验的过程中，表现在思考的过程中。”在此不再转述，“基本活动经验”在新修

订的课程标准中将与原来的双基并列，地位可见一斑。对于我们来说，值得研究

和探讨的是学习这一知识需要哪些经验？这些经验是怎样的积累的？

（1）形成的时间；比如平行四边形面

积推导中需要学生学会转化，但是对于学生

来说他们是怎样想到转化的呢？这就需要

经验。有的经验是长久积累的，有的经验是

直接铺垫的。所谓长久积累的，就像之前学

习认识各种平面图形的时候，就曾经组织过

类似的活动，用一张长方形的纸，可以简拼

成怎样的图形，这就孕伏着图形之间相互转化的经验。（教材图片：一上）

所谓直接铺垫，就是呈现一些不规则的图形，怎么样知道它的面积呢？很显

然地容易想到转化成规则的图形：长

方形。在此基础上，如果出现平行四边形，学生就不难想象：能不能把它转化成

长方形呢？有了这样一次成功的经验，仿佛触动了平面图形推导的多米洛骨牌，

推开了图形面积的一扇窗。关于转化，还有一个值得探讨的问题是，单个图形转

化成单个图形学生有这样的经验，那么，怎样才能使学生想到把两个完全相同的

图形转化成一个图形呢？这就需要积累。（教材图片：七巧板。）

（2）传递的方式；知识技能的获得和经验的积累是相互的。长方形面积的

学习是平行四边形面积推导的基础，平行四边形的学习为学习三角形积累了经

验，三角形的学习为梯形的学习积累经验，即便对于练习，好的练习设计既是本

节课知识和技能的巩固，同时又是为后续学习早做孕伏，积累隐性的活动经验。

经验————知识和技能（经验）――――新的知识和技能„„

二．平行四边形面积与什么有关？除了底和高，还有斜边和夹角；

现象：小学里，平行四边形面积的计算公式是底乘高，所以我们往往会引导

并且只认为平行四边形与底和高有关。而事实上如果去除这种趋于得出公式的暗

示，平行四边形的面积的相关因素是多样的。除了底和高，还有斜边和夹角。如

果你试图去寻找底和高是决定平行四边形面积的唯一组合因素是艰难的，因为，

在我们后续学习中我们清楚S=sinaA×ab。

思考：与什么有关，是什么关系，为什么。是研究平面图形面积的一条线索，

更是研究事物发展的一般规律。拓宽我们的视野，放手让学生探索，我们可以引

用一句广告语：心有多大，舞台就有多大。在纷繁复杂的信息中选择和辨析出底、

高与面积之间的关系是有挑战性，也是对学生信息素养的一种提升。不是所提供

的信息都是有用的，而需要选择。选择也是有不同的可能的。

这里面其实还蕴含着一种人文情怀，就是包容的胸怀，意味着选择不是唯一

的。

三．不完全归纳怎样更完全？除了一般图形，还有特殊图形。

现象：在归纳平行四边形面积计算公式的过程中，为了研究平行四边形到底

与谁有关，就需要罗列不同的平行四边形从而归纳出其共性特点。除了老师提供

的平行四边形，还有学生自己画的平行四边形，除了一般图形，还有特殊的图形。

（也就是垂线段的垂足在底边的延长线上，也就是斜而长的那种平行四边形。）

思考：归纳和演绎是小学数学教学的基本思想。作为“四基”之一提出来，

重要性不用争辩。需要讨论是怎样落实？

虽然小学学习中更多的是不完全归纳，但是作为教学来说，总是尽可能追求

最大限度。如果请每一个学生画一个任意的角，将会有绝大多数的人画的角的范

围在50～70度之间。同样的道理画一个平行四边形的时候，一般很多人画的也

是有一个内角是50～70度的图形，这样就给我们归纳平行四边形面积带来了隐

藏着的问题。对于那些斜而长的平行四边形怎么推导？我们在总结推导过程的时

候常常说为什么沿着高剪，是为了得到长方形。但是不是所有都可以沿高剪呢？

所以需要提出特殊的情况。

一般特殊

对于学生我们仍然可以不严谨地推导，坚守“混而不错”，但是从教师本体

性知识的角度来说，我们需要提高认识。（详见《傅种孙数学教育文选》）

我们重视这些特殊材料的呈现，再多的白羊也不能证明所有的羊都是白的，

而只要一只黑羊就能证明所有的羊都是白的这个理论是错误的。比如：可能性当

中我们常常抛硬币，掷骰子，用来说明等可能性的事件，如果用啤酒瓶的盖来说

明这不是等可能性的，却更能让学生体会等可能是怎么回事。

四．图形面积教学价值何在？除了推导公式，还有空间观念、思

想方法。

现象：在教学过程中，除了关注图形面积公式的推导，还注重空间观念的培

养，知道一个长方形的面积是15平方厘米，还需要进一步知道这15平方厘米的

意思，就相当于是15个边长是1厘米的正方形拼在一起，因为是长方形，所以

就是每行5个，有3行。如果计算出一个平行四边形的面积是15平方厘米，学

生也能想见有15个边长是1厘米的正方形拼在一起，但是不一定都是整个拼在

一起的。一个平行四边形计算面积可以选择不同的底和高，不同方法的背后其实

是转化成不同的长方形，它们的长和宽分别是多少呢？需要空间想象。

在研究平行四边形面积的时候，不急着给学生直观操作的学具，而是先让学

生在脑力里想一想，准备用怎样的方法来研究，既是对学生自主学习的一种鼓励，

也是学生进行空间想象的一次锻炼。在教学过程中，抓住一切机会，培养学生的

空间观念，总是倡导“先想后做”。如果底边延长，面积会怎样，先不急着直观

演示多媒体课件？你是怎样剪拼，能不能说给大家听听？不是剪给大家看看？这

些都是在培养学生准确的数学表达，更是培养学生空间观念的良机。

在推导面积的公式过程中强化了一种转化的思想方法。但有不能停留在转化

的高位思想上，而是要指明转化的方向。平行四边形为什么要转化成长方形？不

转化成三角形？是因为转化它是有方向性和目的性的。变未知为已知：对于平行

四边形面积来说就是变新学图形为已学的图形。还有化繁为简，化难为易。

思考：（1）课堂动起来的关键是脑，不是手。课堂实施过程中就需要处理好

直观操作与表象思维之间的关系。显然，直观是小学生理解事物的重要方式。但

是，从思维发展的角度看来，课堂上并不是每一个活动都是需要学生动手剪，动

手拼，动手粘的。在脑中能够进行操作，能够用准确的语言表达，那是教学更理

想更高层次更高效的追求。那么什么时候操作呢？根据笔者的课堂观察，很多操

作如果用在学生有疑问时的验证显得更有必要。

（2）转化的思想是可以迁移的。在小学数学中，转化的应用还是很广泛的，

除了形与形的转化，还有数与数之间的转化，数与形的转化，还有问题与问题的

转化。案例：问题与问题的转化：

A已知三角形底和高，求面积;B已知三角形面积和底，求高。做B题的时候，

是否也可以转化成A题来做，只不过那是含有未知数的等式也就是方程。

A科技书和故事书一共有180本，科技书和故事书的比是3：2，科技书和

故事书各有多少本？

B科技书和故事书的比是3：2，科技书和故事书相差36本，科技书和故事

书各有多少本？

做B题的时候，一学生说先算出总数36÷1/5＝180。学生开始哗然。都已经

知道一份是36，何必还要再算出总数，再算出两种书各有多少本？

国外学术界广为流传一个经典案例：烧开水。面前有燃气灶、水龙头、水

壶，烧开水的一般过程是：在水壶里放水，点燃燃气灶，再把水壶放到燃气灶上。

如果有一天，在你面前放着水壶，水壶里已经装了水，那么又应当怎么做呢？物

理学家说：点燃燃气灶，再把水壶放到燃气灶上。可是数学家却不会这样想，他

们常常说：倒出水壶里的水，并声称已经把后一问题转化成先前的问题了。看似

有些夸张可笑，但其中蕴含着转化的思想显露无疑，反观我们的课堂，在上课的

时候我们是否曾经用欣赏的眼光来看待，如果没有，我们是否内疚用短浅的视线

伤害了孩子的创造性。

在平面图形中，推导平行四边形的时候把它转化成已学的图形推导出面积公

式成功了，同样也是平面图形三角形、梯形是否也可以呢？圆形是否也可以呢？

这里面其实还蕴含着另一种重要的思想方法那就是类比。

如德国数学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖

的老师，它能揭开自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的”。

五．练习设计怎样更多元？除了基本训练，还要变式练习。

现象：练习题中有简单的应用公式的，也有选择对应数量的。有顺向思考的，

也有逆向思考的。有的基础性的，有的是针对重难点的，有封闭的，也有开放的。

思考：

练习除了在形式上有些变化，有的偏重技能，根据已知条件，运用公式求面

积；从内容的角度，有两种拓展策略。一种是在变与不变的情境中感受函数变

化，比如：求下面平行四边形的面积：

底是10厘米，高是8厘米；

底是10厘米，高是6厘米；

底是12厘米，高是6厘米；

引导学生发现其中的规律；

另一种是在感受数学模型。同时也是应用问题的正向和反向题的对照。

比如：已知三角形的底是10厘米，高是8厘米，求面积；

已知三角形的底是10厘米，面积是40平方厘米，求高；

S＝ah÷2。把相应的条件代入，求出未知数。

练习中也常常设计一些开放题，告诉多条底和高，要求学生选择相应的底和

高求面积，渗透对应的思想。这也是练习的一种变式。当然还有的是简单的形状

的变形，也算是一种简单的变式。

思考：

作为“好”的练习不能仅仅停留在技能层面。应该指向问题解决。所谓基于

问题解决的练习，就是努力使学生经历从现实情境中“抽取”数学模型的数学化

过程，以及把数学模型放到现实中加以使用的过程。

案例：停车场的设计。为什么很多停车位都是平行四边形？

案例：

案例：

注重变式练习，除了题型变式，公式也有变式。比如一个平行四边形用不同

组对应的底和高都可以计算出图形的面积。三角形的面积计算公式变形就更容易

看出变式的价值了。

作为公式也有变式。S＝1/2ah＝1/2（ah）＝（1/2a）h＝（1/2h）a。（链接超

级画板演示）数形结合的体现。不同公式反映了不同的推导方法。

六．怎样应用信息技术？除了静态演示，还有动态几何。

现象：平行四边形面积与什么有关？在动态的过程中发现变化的规律。这

种即时生成的动态效果正是这个软件本身的特点。所谓动态几何，就是在操作的

过程中几何的属性是不变，高就是高，延长了还是高。

思考：真正实现动态几何的教学需要依靠专门的软件，在倡导创新的时代，

我们应该加入到自主创新的教学软件研发中。（链接：圆面积等推导）。圆平均分

成256份，更多份呢？会怎样？一般的软件就比较麻烦了，但是对于超级画板来

说：只是数的改变而已。大家一起来研究小学数学教育技术智能平台。

七．怎样拓展教学视野？除了数学教育，还有教育数学。

（1）注重面积公式之间的联系。

推导的时候，从特殊到一般，等推导出了各个图形的面积公式，又可以从一

般到特殊来做系列整理，发现其中的联系与规律。

梯形：S＝（a＋b）h÷2；

当上底为0，就是三角形：S＝ah÷2；

当上底和下底相同，就是平行四边形S＝ah；

当平行四边形的高就是四边形的一组边，就是长方形：S＝ab；

当长方形长和宽相等时就是正方形：S＝a2；

圆的面积：c×r÷2（相当于三角形面积）。

（注：著名的德国天文学家、数学家开普勒（1571-1630）为了得圆面积公

式而进一步把圆看作无数个顶点在圆心、底在圆周上的三角形之和。他把圆看成

了无数个“微小”三角形面积之和，这已经具有了积分学的萌芽。依次我们也可

以推断圆的面积。根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半的结论，可以发现：

圆内接正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半。进而，我们可以联想：

圆的面积很可能就等于其周长与半径乘积的一半，这一结论显然是正确的。这种

方法12世纪前印度人常用直观的方法去研究圆的面积，所以也叫“印度圆”方

法。）

（2）如果面积单位不是单位正方形？

我们在学习面积的时候，总是把一个正方形作为面积单位，把正方形压扁成

菱形，我们也可以把一个菱形作为面积单位，菱形的面积与压扁的角度有关从而

引进正弦。也就是说如果边长是1有一个角为a的菱形的面积叫做角A的正弦sin

A，那么平行四边形的面积＝sinA×a×b。这样对任意△ABC，它的面积就

1/2bcsinA=1/2acsinB＝1/2absinC。可以引导学生推导出其他平面图形的面积。张奠

宙先生有个形象的比喻把正弦比喻成压扁后菱形的面积所打的折扣。的确在现实

生活中测量相邻边的长度和夹角要实用的多。从学生认知的角度看来，其实学生

在开始学习平行四边形的面积的时候，很多学生开始的直觉都是相邻两边的乘积

就是平行四边形的面积。看来学生想法中的合理成份是值得发掘和应用的，我们

可以顺着学生思路开展教学。这就是教育数学研究的内容。（详见张景中院士《从

数学教育到教育数学》）当然，这需要足够的数学功底来支撑，因为它改造了数

学，我们习以为常的起点发生了改变，再往前退了一步，但这一退，却打开数学

教育的更大天地。这就印证了一句话：退一步，海阔天空。

（点评人：杭州现代小学数学教育研究中心唐彩斌）