一元一次方程

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学科教师辅导讲义

课题一元一次方程的应用

教学目标

复习前一节课所学的内容；

掌握一元一次方程在实际生活中后四种类型的应用。

重点、难点根据题意找等量关系；如何设未知数。

考点及考试要求

注意分析和理解题意，从多角度思考问题，寻找等量关系，并能选择适当

的未知数列方程。

教学内容

一、知识点的梳理

1、复习一元一次方程的概念、三个性质。

2、复习一元一次方程的根本解法和等式的性质。

3、复习列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。

4、实际问题与一元一次方程

③市场经济问题

④溶液〔混合物〕问题

⑧设而不求〔设中间参数〕的问题

二、典型例题剖析

3．市场经济问题

与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。经济类问题

主要表达为三大类：①销售利润问题、②优惠〔促销〕问题、③存贷问题。这三类问题的根本量

各不一样，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，

正确列出方程。

⑴销售利润问题。利润问题中有四个根本量：本钱〔进价〕、销售价〔收入〕、利润、利润率。根

本关系式有：①利润=销售价〔收入〕－本钱〔进价〕【本钱〔进价〕=销售价〔收入〕－利润】；

②商品利润率=

商品利润

商品成本价

×100%；商品销售额＝商品销售价×商品销售量；④商品的销售利

润＝〔销售价－本钱价〕×销售量；

⑵优惠〔促销〕问题。日常生活中有很多促销活动，不同的购物〔消费〕方式可以得到不同的优

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惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起〞。并以求得的数值为基准，取一个比它

大的数及一个比它小的数进展检验，预测其变化趋势。在有折扣的销售问题中，实际销售价=标

价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。商品打几折出售，就是按原标价的百分之几

十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。

⑶存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷问

题中有本金、利息、利息税三个根本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有：

①利息=本金×利率×期数；②利息税=利息×税率；③本息和〔本利〕=本金+利息－利息税；④

利润＝

每个期数内的利息

本金

×100%。这三类问题的根本量各不一样，在寻找相等关系时，一定要

联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。

例7.某商店先在XX以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到XX以每件12.5元的价格

购进同样商品40件。如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多

少？

讲评：设销售价每件x元，销售收入那么为〔10+40〕x元，而本钱〔进价〕为〔5×10+40×12.5〕，

利润率为12％，利润为〔5×10+40×12.5〕×12％。由关系式①有〔10+40〕x－〔5×10+40×

12.5〕=〔5×10+40×12.5〕×12％∴x=14.56

例8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，那么赔25元，而按定价的九折出

售将赚20元。问这种商品的定价是多少？

讲评：设定价为x元，七五折售价为75％x，利润为－25元，进价那么为75％x－〔－25〕=75％

x+25；九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。由进价一定，有75％x+25=90％

x－20∴x=300

例9.李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为

2.16％。取款时扣除20％利息税。李勇同学共得到本利504.32元。问半年前李勇同学共存入多

少元？

讲评：此题中要求的未知数是本金。设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，

那么利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×0.5×2.16％x，由存贷问题中关系式③有x+0.5

×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32∴x=500

例10.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什

么情况下买卡购物合算？

讲评：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样〞。设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费

金额为〔200+80％x〕元，不买卡花费金额为x元，故有

200+80％x=x∴x=1000

当x＞1000时，如x=2000买卡消费的花费为：200+80％×2000=1800〔元〕

不买卡花费为：2000〔元〕此时

买卡购物合算。

当x＜1000时，如x=800买卡消费的花费为：200+80％×800=840〔元〕

不买卡花费为：800〔元〕此

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时买卡不合算。

4.溶液〔混合物〕问题

溶液〔混合物〕问题有四个根本量：溶质〔纯洁物〕、溶剂〔杂质〕、溶液〔混合物〕、浓度〔含

量〕。其关系式为：①溶液=溶质+溶剂〔混合物=纯洁物+杂质〕；②浓度=×100％=

×100％【纯度〔含量〕=×100％=×100％】；③由①②可得到：溶质=浓

度×溶液=浓度×〔溶质+溶剂〕。在溶液问题中关键量是“溶质〞：“溶质不变〞，混合前溶质总

量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。

例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，某同学未经考虑先加了300克水。

⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？⑵如果加水不过量，那么应参加浓度为20％的酒精多

少克？如果加水过量，那么需再参加浓度为95％的酒精多少克？

讲评：溶液问题中浓度的变化有稀释〔通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降低〕、

浓化〔通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高〕两种情况。在浓度

变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进展分析，就不难找到相等关系，

从而列出方程。

此题中，⑴加水前，原溶液1000克，浓度为80％，溶质〔纯酒精〕为1000×80％克；设加x

克水后，浓度为60％，此时溶液变为〔1000+x〕克，那么溶质〔纯酒精〕为〔1000+x〕×60％

克。由加水前后溶质未变，有〔1000+x〕×60％=1000×80％

∴x=＞300∴该同学加水未过量。

⑵设应参加浓度为20％的酒精y克，此时总溶液为〔1000+300+y〕克，浓度为60％，溶质〔纯

酒精〕为〔1000+300+y〕×60％；原两种溶液的浓度分别为1000×80％、20％y，由混合前后溶

质量不变，有〔1000+300+y〕×60％=1000×80％+20％∴y=50

8.设而不求〔设中间参数〕的问题

一些应用题中，所给出的条件不够满足根本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，

我们可以通过设出这个量，并将其看成条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的

理解。

例22.一艘轮船从XX到XX要5昼夜，从XX驶向XX要7昼夜，问从XX放竹牌到XX要几昼夜？

〔竹排的速度为水的流速〕

讲评：航行问题要抓住路程、速度、时间三个根本量，一般有两种量才能求出第三种未知量。此

题中时间量，所求也是时间量，故需在路程和速度两个量中设一个中间参数才能列出方程。此题

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中考虑到路程量不变，故设两地路程为a公里，那么顺水速度为，逆水速度为，设水流速度

为x，有－ｘ＝+ｘ∴ｘ＝，又设竹排从XX到XX的时间为y昼夜，有·x=a∴

x=35

例23.某校两名教师带假设干名学生去旅游，联系两家标价一样的旅行社，经洽谈后，甲旅行

社的优惠条件是：1名教师全部收费，其余7．5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8

折优惠。

⑴当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？

⑵假设核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要廉价，问学生人数是多少？

讲评：在此题中两家旅行社的标价和学生人数都是未知量，又都是列方程时不可少的根本量，但

标价不需求解。⑴中设标价为a元，学生人数x人，甲旅行社的收费为a+0.75a〔x+1〕元，乙

旅行社收费为0.8a〔x+2〕元，有a+0.75a〔x+1〕=0.8a〔x+2〕∴x=3

⑵中设学生人数为y人，甲旅行社收费为a+0.75a〔y+1〕元，乙旅行社收费为0.8a〔y+2〕元，

有0.8a〔y+2〕－［a+0.75a〔y+1〕］＝×0.8a〔y+2〕∴y=8。

三、随堂稳固练习

1、某种出租车收费标准是：起步价7元〔即行驶距离不超过3千米需付7元车费〕，超过了3千

米以后，每增加1千米加收2.4元〔缺乏1千米按1千米计〕，某人乘这种出租车从甲地到乙地

支付车费19元，那么此人从甲地到乙地经过的路程最大值是多少？

解：设从甲地到乙地所经过的路程最多是x

(x-3)*2.4+7=19x=8

2、有资料说明：某地区高度每增加100米，气温降低0.8℃，小明和小红想出一个测量山峰高

度的方法，小红在山脚，小明在山顶，他们同时在上午9时测得山脚温度是2.6℃，山顶温度是

－2.2℃。你知道山峰的高度吗？〔试四〕

3、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒

乓球和乒乓球拍。乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球

拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠。该班需球拍5副，乒乓球假设干盒〔不小于5盒〕。

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问：〔1〕当购置乒乓球多少盒时，两种优惠方法付款一样？〔2〕当购置15盒、30盒乒乓球时，

请你去办这件事，你打算去哪家商店购置？为什么？

解：〔1〕设购置

x

盒乒乓球时，两种优惠方法付款一样

根据题意有：30×5+〔

x

－5〕×5=〔30×5+5

x

〕×0.9解得

x

=20

所以，购置20盒乒乓球时，两种优惠方法付款一样。

〔2〕当购置15盒时：甲店需付款30×5+〔15－5〕×5=200〔元〕，乙店需付款〔30×5+15×5〕

×0.9=202.5〔元〕。因为200＜202.5所以，购置15盒乒乓球时，去甲店较合算。

当购置30盒时：甲店需付款30×5+〔30－5〕×5=275〔元〕；乙店需付款〔30×5+30×5〕×0.9=270

〔元〕。因为275＞270所以，购置30盒乒乓球时，去乙店较合算。

4、某市拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：

(A)、计时制：0.05元每分钟；

(B)、包月制：50元每月(限一部个人住宅上网)；

此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元每分钟。

(1)、某用户某月上网的时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；

(2)、假设某用户估计一个月内上网的时间为120小时，你认为采用哪种方式较为合算？

解：〔1〕A：(0.05x)×60+(0.02x)×60=4.2x(元)

B：50+(0.02x)×60=50+1.2x(元)

(2)当x=120小时时

A：4.2×120＝504元

B：50＋1.2×120＝194元

B方式划算

四、课后作业安排

1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30

分钟，然后甲、乙一起做，那么甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，

倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高〔准确到0.1毫米，



≈3.14〕．

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4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多

5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．

5．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖

啡色、红色和白色配料分别是多少克？

6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一

局部人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙

种零件可获利24元．假设此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．

7．某地区居民生活用电根本价格为每千瓦时0.40元，假设每月用电量超过a千瓦时，那么超过

局部按根本电价的70%收费．

〔1〕某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

〔2〕假设该用户九月份的平均电费为0.36元，那么九月份共用电多少千瓦？•应交电费是多少

元？

8．某家电商场方案用9万元从生产厂家购进50台电视机．该厂家生产3•种不同型号的电视机，

出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

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〔1〕假设家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的

进货方案．

〔2〕假设商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，•销售一

台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，

你选择哪种方案

学生签字：