等价代换公式

无穷小极限的简单计算

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列

n

x的极限、x（x、x）函数xf

的极限、

0

xx（

0

xx、

0

xx）函数

()fx

的极限这七种趋近方式。下面

我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊

000

xxxxxxxxxn

定义：当在给定的x＊下，

()fx

以零为极限，则称

()fx

是x＊下的无

穷小，即0lim



xf

x＊

。

例如,,0sinlim

0





x

x

.0sin时的无穷小是当函数xx

,0

1

lim

xx

.

1

时的无穷小是当函数x

x

,0

)1(

lim



n

n

n

.}

)1(

{时的无穷小是当数列



n

n

n

【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何

非零常量都不是无穷小。

定义：当在给定的x＊下，xf无限增大，则称xf是x＊下的无

穷大，即



xf

x＊

lim。显然，n时，、、、32nnn都是无穷大量，

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷

小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是

无穷大，如

0lim



x

x

e

，





x

x

elim

，

所以xe当x时为无穷小，当x时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果xf为无穷

大，

则

xf

1

为无穷小；反之，如果xf为无穷小，且0xf，则

xf

1

为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是

无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应

给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系:

定理1

0

lim()()(),

xx

x

fxAfxAx其中

)(x是自变量在同一变化过

程

0

xx（或x）中的无穷小.

证：（必要性）设

0

lim(),

xx

fxA令

()(),xfxA则有

0

lim()0,

xx

x

).()(xAxf

（充分性）设

()(),fxAx其中

()x是当

0

xx时的无穷小，则

00

lim()lim(())

xxxx

fxAx)(lim

0

xA

xx







.A

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）

0

()(),().fxxfxAx给出了函数在附近的近似表达式误差为

3.无穷小的运算性质

定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

是无穷小，时例如

n

n

1

,,

.1

1

不是无穷小之和为个但

n

n

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

如：0

1

)1(lim

n

n

n

，0

1

sinlim

0



x

x

x

，0sin

1

lim



x

xx

推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如，22

1

0,,,sin,sinxxxxx

x

当时都是无穷小，

观察各极限：

x

x

x3

lim

2

0

,0;32要快得多比xx

x

x

x

sin

lim

0

,1

;sin大致相同与xx

2

2

0

1

sin

lim

x

x

x

xxx

1

sinlim

0

.不存在不可比.

极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义:设

,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

0.

(1)lim0,,();o







如果就说是比高阶的无穷小记作

;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果





CC

lim1,~;







特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作

(3)lim(0,0),.

k

CCkk







如果就说是的阶的无穷小

例1

.tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx

证：

4

3

0

tan4

lim

x

xx

x

3

0

)

tan

(lim4

x

x

x

,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx

例2

.sintan,0的阶数关于求时当xxxx

解

3

0

sintan

lim

x

xx

x





)

cos1tan

(lim

2

0x

x

x

x

x







,

2

1



.sintan的三阶无穷小为xxx

2．常用等价无穷小:

,0时当x

（1）

xsin

～x；（2）

xarcsin

～x；（3）xtan～x；

（4）xarctan～x；（5）

)1ln(x

～x；（6）1xe～x

（7）

xcos1

～

2

2x

（8）1)1(x～x（9）1xa～

lnax

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

,1lim





,0lim









),(o即).(o于是有

例如),(sinxoxx).(

2

1

1cos22xoxx

3．等价无穷小替换

定理：

.limlim,lim~,~



























则存在且设

证：





lim)lim(



























































例3（1）

.

cos1

2tan

lim

2

0x

x

x

求

；（2）

1cos

1

lim

2

0



x

ex

x

解:（1）

.2~2tan,

2

1

~cos1,02xxxxx时当

故原极限

2

0

2

(2)

lim

1

2

x

x

x

=8

（2）原极限=

2

lim

2

2

0x

x

x





=

2

1



例4

.

2sin

sintan

lim

3

0x

xx

x





求

错解:.~sin,~tan,0xxxxx时当

3

0)2(

lim

x

xx

x







原式=0

正解:,0时当x

,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx,

2

1

~3x

故原极限

3

3

0

1

2

lim

(2)x

x

x

.

16

1



【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进

行等价无穷小替换。

例5

.

3sin

1cos5tan

lim

0x

xx

x





求

解:),(5tanxoxx),(33sinxoxx).(

2

1

cos122xoxx

原式

22

0

1

5()()

2

lim

3()x

xoxxox

xox

x

xo

x

xo

x

x

xo

x)(

3

)(

2

1)(

5

lim

2

0







.

3

5



三、极限的简单计算

1.代入法：直接将

0

xx的

0

x代入所求极限的函数中去，若

0

xf存在，

即为其极限，例如

9

2

423

1232

lim

3

45

1







xx

xxx

x

；若

0

xf不存在，我们也能知道属

于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，

3

9

lim

2

3



x

x

x

就代不进去了，但

我们看出了这是一个

0

0

型未定式，我们可以用以下的方法来求解。

2.分解因式，消去零因子法

例如，63lim

3

9

lim

3

2

3









x

x

x

xx

。

3.分子（分母）有理化法

例如，











35512512

5123535

lim

512

35

lim

2

22

2

2

2









xxx

xxx

x

x

xx

42

4

lim

2

2





x

x

x



22

22

lim

2





x

xx

x

2

又如，

0

1

1

lim1lim

2

2





xx

xx

xx

4.化无穷大为无穷小法

例如，

2

2

2

2

17

3

373

limlim

14

242

2xx

xx

xx

xx

xx

，实际上就是分子分母同时除以2x

这个无穷大量。由此不难得出

































mn

mn

mn

b

a

bxbxb

axaxa

n

nn

m

mm

x

，

，

，

0lim

0

0

1

10

1

10





又如，

1

2

1

1

1

lim

2

1

lim













x

x

x

x

xx

，（分子分母同除x）。

再如，

1

1

5

3

1

5

2

lim

53

52

lim





































n

n

n

nn

nn

n

，（分子分母同除n5）。

5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

例如，



0

13

1arctan

lim

2







xx

xx

x

，（无穷小量乘以有界量）。

又如，

.

32

14

lim

2

1



xx

x

x

求

解：

)32(lim2

1





xx

x



,0

商的法则不能用

)14(lim

1





x

x

又,03

14

32

lim

2

1





x

xx

x

.0

3

0



由无穷小与无穷大的关系,得

.

32

14

lim

2

1







xx

x

x

再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）

7.分段函数、复合函数求极限

例如，

).(lim,

0,1

0,1

)(

0

2

xf

xx

xx

xf

x









求设

解:两个单侧极限为是函数的分段点,0x

)1(lim)(lim

00

xxf

xx





,1

)1(lim)(lim2

00





xxf

xx

,1

左右极限存在且相等,.1)(lim

0





xf

x

故

【启发与讨论】

思考题1：

11

0,sinxy

xx

当时是无界变量吗？是无穷大吗？

解：),3,2,1,0(

2

2

1

)1(

0





k

k

x





取

,

2

2)(

0



kxy.)(,

0

Mxyk充分大时当无界，

),3,2,1,0(

2

1

)2(

0

k

k

x



取

,,

k

xk充分大时当kkxy

k

2sin2)(但.0M不是无穷大．

结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2：若

0)(xf

，且

Axf

x





)(lim

，问：能否保证有0A的结论？试举例

说明.

解：不能保证.例

x

xf

1

)(,0x0

1

)(

x

xf



)(limxf

x

.0

1

lim



A

xx

思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

解：不能．例如当x时

,

1

)(

x

xf

x

x

xg

sin

)(

都是无穷小量

但

)(

)(

lim

xf

xg

x

x

x

sinlim



不存在且不为无穷大，故当x时

)(xf

和

)(xg

不能比

较.

【课堂练习】求下列函数的极限

（1）

x

xex

x

cos

lim

0





；

解：原极限=1

cos1

lim

1

lim

cos

lim

000













x

x

x

e

x

xe

x

x

x

x

x

（2）求

)1ln()cos1(

1

cossin3

lim

2

0xx

x

xx

x





【分析】“

0

0

”型，拆项。

解：原极限=



























x

x

xx

x2

1

cossin3

lim

2

0

=



























x

x

x

x

x

x2

1

cos

2

sin3

lim

2

0

=

2

3

（3）

142

345

lim

5

245





xx

xxx

x

；

【分析】“抓大头法”，用于





型

解：原极限=

54

3

14

2

3

4

5

lim

xx

x

x

x





=

2

5

，或原极限

5

5

55

22

lim

x

x

x

（4）

)(lim2xxx

x





；

【分析】分子有理化

解：原极限=

xxx

x

x

2

lim=

111

1

lim

xx

=

2

1

（5）)

2

1

4

(lim

2

2

2



xx

x

x

【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

解：)

2

1

4

(lim

2

2

2



xx

x

x

=

4

2

lim

2

2

2



x

xx

x

=

2

1

lim

2



x

x

x

=

4

3

（6）

39

lim

2

2

0x

x

x

【分析】“

0

0

”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因

子。

解：原极限=





2

22

0

39

lim

x

xx

x





=6

（7）

).

21

(lim

222n

n

nnn





求

解:是无穷小之和．时,n先变形再求极限.

2222

21

lim)

21

(lim

n

n

n

n

nnnn











2

)1(

2

1

lim

n

nn

n







)

1

1(

2

1

lim

nn





.

2

1



【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.

1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.

2、几点注意:

(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小

的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.

（3）无界变量未必是无穷大.

二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷

小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.

三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;

a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;

c.无穷小因子分出法求极限;

d.利用无穷小运算性质求极限;

e.利用左右极限求分段函数极限.