角平分线长公式

13.5逆命题与互逆定理

3.角平分线

学习目标：

1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.〔重点〕

2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.〔难点〕

自主学习

一、知识链接

我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在以下列图中画出∠

ABC的对称轴BD.

二、新知预习

在上图的BD上取一点H，点H在∠ABC的内部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求证：HE=HF.

合作探究

一、探究过程

探究点1：角平分线的性质定理

问题根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什

么关系？

【要点归纳】角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离___.

例1如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求

证：CE＝CF．

例2如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，那么AC

的长是()

A．6

B．5

C．4

D．3

【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线

段的长度是常用的方法．

【针对训练】如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一

点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON

交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．那么△OBC的

面积为cm

2

．

探究点2：角平分线的性质定理的逆定理

问题写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？

【要点归纳】角平分线的性质定理的逆定理

角的内部到角两边距离相等的点在角的上.

例3如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC

的平分线．

【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；

二是利用角平分线的性质定理的逆定理．

【针对训练】

如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．〔提示：

作辅助线如以下列图〕

二、课堂小结

内容

角平分线的

性质定理

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB

于点E，那么PD＝________．

角平分线性

质定理的逆

定理

角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上．

如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且

PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.

当堂检测

1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，且DE=DF，∠EDB=60°，那么∠EBF=______

度，BE=________.

第1题图第2题图第3题图第4题图

2.如图，在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是______.

3.如图，△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC

的面积是________．

4.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，那么∠MAB

＝°．

5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下

面给出四个结论，①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④

到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．

参考答案

自主学习

一、知识链接

解：对称轴如以下列图所示：

二、新知预习

证明：由作图知BD平分∠ABC，∴∠FBH=∠EBH，∵EH⊥AB，HF⊥BC，∴∠BEH=∠BFH，

∵BH=BH，∴△BEH≌△BFH，∴EH=FH.

合作探究

一、探究过程

探究点1

【要点归纳】相等

例1证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF

中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF〔HL〕，∴CE＝CF．

例2D

【针对训练】20

探究点2

【要点归纳】平分线

例3证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE

和Rt△CDF中，







CD,BD

CF,BE

＝

＝

∴Rt△BDE≌Rt△CDF〔HL〕，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．

【针对训练】证明：分别过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠

CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF．同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG平分线上，

∴AD是∠BAC的平分线．

二、课堂小结

PE相等

当堂检测

1.60BF2.33.424.355.D

6.证明：连接

AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，











AD,AD

CAD,BAD

AC,AB

＝

＝∠∠

＝

∴△ABD≌△ACD〔SAS〕，∴BD=CD．

第1课时单项式与单项式、多项式相乘

1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法那么，并运用它们进行运

算．(重点)

2．熟练应用运算法那么进行计算．(难点)

一、情境导入

1．教师引导学生回忆幂的运算公式．

学生积极举手答复：同底数幂的乘法公式：am·an＝am＋n(m，n为正整数)．

幂的乘方公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．

积的乘方公式：(ab)n＝anbn(n为正整数)．

2．教师肯定学生的答复，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘．

二、合作探究

探究点一：单项式乘以单项式

【类型一】直接利用单项式乘以单项式法那么进行计算

计算：

(1)(－

2

3

a2b)·(

5

6

ac2)；

(2)(－

1

2

x2y)3·3xy2·(2xy2)2；

(3)－6m2n·(x－y)3·

1

3

mn2(y－x)2.

解析：运用幂的运算法那么和单项式乘以单项式的法那么计算即可．

解：(1)(－

2

3

a2b)·(

5

6

ac2)＝－

2

3

×

5

6

a3bc2＝－

5

9

a3bc2；

(2)(－

1

2

x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－

1

8

x6y3×3xy2×4x2y4＝－

3

2

x9y9；

(3)－6m2n·(x－y)3·

1

3

mn2(y－x)2＝－6×

1

3

m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.

方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意

按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相

乘仍然成立．

【类型二】单项式乘以单项式与同类项的综合

－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．

解析：根据－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程组，进

而求出m，n的值，即可得出答案．

解：∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，∴









3m＋1＋n－6＝4，

2n－3－m＝1，

解得：









m＝2，

n＝3，

∴m2＋n＝7.

方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列

出二元一次方程组．

【类型三】单项式乘以单项式的实际应用

有一块长为xm，宽为ym的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长

3

5

xm，宽

3

4

ym

的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．

解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．

解：长方形的面积是xym2，矩形空地绿化的面积是

3

5

x×

3

4

y＝

9

20

xy(m)2，那么剩下的面积

是xy－

9

20

xy＝

11

20

xy(m2)．

方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法那么是解题的关键．

探究点二：单项式乘以多项式

【类型一】直接利用单项式乘以多项式法那么进行计算

计算：

(1)(

2

3

ab2－2ab)·

1

2

ab；

(2)－2x·(

1

2

x2y＋3y－1)．

解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．

解：(1)(

2

3

ab2－2ab)·

1

2

ab＝

2

3

ab2·

1

2

ab－2ab·

1

2

ab＝

1

3

a2b3－a2b2；

(2)－2x·(

1

2

x2y＋3y－1)＝－2x·

1

2

x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－

(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.

方法总结：单项式与多项式相乘的运算法那么：单项式与多项式相乘，就是用单项式去

乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

【类型二】单项式乘以多项式乘法的实际应用

一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高

1

2

a米．

(1)求防洪堤坝的横断面积；

(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法那么计算；(2)防洪堤坝

的体积＝梯形面积×坝长．

解：(1)防洪堤坝的横断面积S＝

1

2

[a＋(a＋2b)]×

1

2

a＝

1

4

a(2a＋2b)＝

1

2

a2＋

1

2

ab.故防洪堤

坝的横断面积为(

1

2

a2＋

1

2

ab)平方米；

(2)堤坝的体积V＝Sh＝(

1

2

a2＋

1

2

ab)×100＝50a2＋50ab.故这段防洪堤坝的体积是(50a2

＋50ab)立方米．

方法总结：通过此题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)

的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法那么是解题的关键．

【类型三】化简求值

先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.

解析：首先根据单项式与多项式相乘的法那么去掉括号，然后合并同类项，最后代入的

数值计算即可．

解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a，当a＝－2

时，原式＝－20×4－9×2＝－98.

方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要

搞错．

【类型四】单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值

如果(－3x)2(x2－2nx＋

2

3

)的展开式中不含x3项，求n的值．

解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法那么计算，根据结果不含x3项，求出n

的值即可．

解：(－3x)2(x2－2nx＋

2

3

)＝(9x2)(x2－2nx＋

2

3

)＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3

项，得到n＝0.

方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的

系数为0.

三、板书设计

单项式与单项式、多项式相乘

1．单项式与单项式相乘法那么：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂

分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．

2．单项式与多项式相乘的法那么：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项

式的每一项，再将所得的积相加．

本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法那么，并能应用．这就

必须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法那么有一定的根底，因此课前可以要求学生先

复习该局部的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法那么的

得出，教师通过“试一试〞逐步解题，通过计算演示法那么的内容，更有利于学生理解运算

法那么．