高一上学期数学

高一数学上学期的所有知识点

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)推断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠

0);

(4)若所给函数的解析式较为简单，应先化简，再推断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有一样的单调性;偶函数在对称的单

调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数

f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义

域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)

的定义域);讨论函数的问题肯定要留意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称

轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对

称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为

f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：

f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像

关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立,

则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期

为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为

4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函

数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周

期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期

为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

(1)(a0,a≠1,b0,n∈R+);

(2)logaN=(a0,a≠1,b0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogaN=N(a0,a≠1,N0);

6.推断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必需都有象且;

(2)B中元素不肯定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有一样

的象;

7.能娴熟地用定义证明函数的单调性，求反函数，推断函数的奇偶性。

8.对于反函数，应把握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有一样的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，

则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

9.处理二次函数的问题勿忘数形结合

二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口

方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

10依据单调性

利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

11恒成立问题的处理（方法）：

(1)分别参数法;

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

练习题：

1.(-3,4)关于x轴对称的点的坐标为_________,关于y轴对称的点的

坐标为__________,

关于原点对称的坐标为__________.

2.点B(-5,-2)到x轴的距离是____,到y轴的距离是____,到原点的

距离是____

3.以点(3,0)为圆心,半径为5的圆与x轴交点坐标为

_________________,

与y轴交点坐标为________________

4.点P(a-3,5-a)在第一象限内,则a的取值范围是____________

5.小华用500元去购置单价为3元的一种商品,剩余的钱y(元)与购

置这种商品的件数x(件)

之间的函数关系是______________,x的取值范围是__________

6.函数y=的自变量x的取值范围是________

7.当a=____时,函数y=x是正比例函数

8.函数y=-2x+4的图象经过___________象限,它与两坐标轴围成的

三角形面积为_________,

周长为_______

9.一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5),交y轴于3,则

k=____,b=____

10.若点(m,m+3)在函数y=-x+2的图象上,则m=____

11.y与3x成正比例,当x=8时,y=-12,则y与x的函数解析式为

___________

12.函数y=-x的图象是一条过原点及(2,___)的直线,这条直线经过

第_____象限,

当x增大时,y随之________

13.函数y=2x-4,当x_______,y0,b0,b0;C、k

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1.数列的定义

按肯定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的

项.

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按肯定次序排列的，假如组成

数列的数一样而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，

2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必需不同，因此，在同一

数列中可以消失多个一样的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4

次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一

个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在

数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(5)次序对于数列来讲是非常重要的，有几个一样的数，由于它们的

排列次序不同，构成的数列就不是一个一样的数列，明显数列与数集有本

质的区分.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到

不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不管按怎样的次序排列都是同一

个集合.

2.数列的分类

(1)依据数列的项数多少可以对数列进展分类，分为有穷数列和无穷

数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，

9，…，2n-1表示有穷数列，假如把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，

5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.

(2)根据项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：

递增数列、递减数列、摇摆数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按肯定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数

的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数

关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公

式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不肯定是的，仅仅知道一

个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.

如：数列1，2，3，4，…，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它

的前几项，更要依据数列的构成规律，多观看分析，真正找到数列的内在

规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.

再强调对于数列通项公式的理解留意以下几点：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{1，

2，…，n}为定义域的函数的表达式.

(2)假如知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公

式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可推断

某数是否是某数列中的一项，假如是的话，是第几项.

(3)如全部的函数关系不肯定都有解析式一样，并不是全部的数列都

有通项公式.

如2的缺乏近似值，准确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构

成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.

(4)有的数列的通项公式，形式上不肯定是的，正如举例中的：

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么

仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.

4.数列的图象

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对

应关系：

序号：1234567

项：45678910

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.

因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N(或

它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，

对应的一列函数值.这里的函数是一种特别的函数，它的自变量只能取正

整数.

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应

函数和解析式.

数列是一种特别的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点

画图来表示一个数列，在画图时，为便利起见，在平面直角坐标系两条坐

标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的

变化状况，但不准确.

把数列与函数比拟，数列是特别的函数，特别在定义域是正整数集或

由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立

的点.

5.递推数列

一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，

5，6，7，8，9，10.①

数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下

每一层的钢管数都比上层的钢管数多1

练习题：

1.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满意S33-S22=1，则数列{an}

的公差是()

A.12B.1C.2D.3

解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，

得d=2，应选C.

答案：C

2.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N)，则a2022等于()

A.1B.-4C.4D.5

解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，

a8=5，…

故{an}是以6为周期的数列，

∴a2022=a6×335+1=a1=1.

答案：A

3.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则以下结论错误

的选项是()

A.d0B.a7=0

C.S9S5D.S6与S7均为Sn的值

解析：∵S50.S6=S7，∴a7=0.

又S7S8，∴a80.

假设S9S5，则a6+a7+a8+a90，即2(a7+a8)0.

∵a7=0，a80，∴a7+a80.假设不成立，故S9s5.∴c错误.p=

答案：C

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一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意

识到这些东西，并且能推断一个给定的东西是否属于这个整体。

把讨论对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

(1)元素确实定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：

属于或不属于。

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不行重复的。

(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以转变的，并且转变位置不

影响集合

3、集合的表示：{…}

(1)用大写字母表示集合：A={我校的（篮球）队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集

合。

{x?R|x-32},{x|x-32}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合

(2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

留意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R