证明三角形相似

三角形相似条件、证明

-kInformationTechnologyCompany.2020YEAR

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三角形相似条件、证明

一、判断三角形相似（与全等的对比）

相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形

全等（特殊的相似）相似

ASA

两角对应相等的两个三角形相似

AAS

SAS两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似

SSS对应边成比例的两个三角形相似

HL直角三角形中，斜边与一直角边对应成比例的两个三角形相似

二、相似基本图形归纳

（1）平行线型

（2）相交线型

题型一：相似基本条件

1.如图，△ABC中∠ACB＝90o，CD⊥AB于D。则图中能够相似的三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

2.如图，若点D为△ABC中AB边上的一点，且∠ABC＝∠ACD，AD＝3cm，AB＝4cm，则AC的长为

（）

A.12cmB.32cmC.3cmD.2cm

3.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，则AD·AC＝

_______.

3

4.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝

4

1

BC，那么图中与△ADE相似的三角形有___________.

5.如图，在ABC△中，C9060BD°，°，是AC上一点，DEAB于E，且

21CDDE，，

则BC的长为（）

A.2B.

4

3

3

C.

23

D.

43

6.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则

DO

AO

等于（）

A.

3

52

B.

3

1

C.

3

2

D.

2

1

7.已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、

CD交

于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）

A.都相似B.都不相似C.只有（1）

相似D.只有（2）相似

8.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂

线MD交AC于点D、交AB于点M，下列结论：

①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；

③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．

正确的有（）个

4

A.4B.3C.2D.1

题型二：相似证明

1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=

1

4

DC，连接EF并延长交BC的延长线于

点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长

2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：⊿ADQ∽⊿

QCP．

3.⊿ABC中,AD、CE是中线,∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.

E

D

C

B

A

4.如图，已知△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，点E，F在AB上，∠ECF=45°

（1）求证:△ACF∽△BEC；（2）设△ABC的面积为S，求证:AF·BE=2S

5.如图，O是△ABC的内角平分线的交点，过O作DE⊥AO交AB，AC于D，E。求证:BD·CE=OD·OE

45°

A

E

F

BC

5

6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90o对角线BD⊥DC，试问：

（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由。

（2）如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的长吗？

习题

1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是

A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△DCBD.△DEC∽△CDB

3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两

条

直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）

A.一定相似B.当E是AC中点时相似C.不一定相似D.无法判断

O

E

D

CB

A

6

4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）

A.

ACAB

ADAE

B.

ACBC

ADDE

C.

ACAB

ADDE

D.

ACBC

ADAE



5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

6.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）

A.

ACAB

CDBC

B.

CDBC

ADAC

2=AD•2=AD•BD

7.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△

ABE

与以D、M、N为顶点的三角形相似．

A.

5

5

B.

25

5

C.

5

5

或

25

5

D.

25

5

或

35

5

8.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

9.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

7

10.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△

AEF

相似的三角形有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=

12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D

求证：△DBA∽△DAC．

13.如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．

（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．

14.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=

1

3

CD，

过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．

（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．

8

15.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=

51

2



，在AC边上截取AD=BC，连接BD．

（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．