东莞高考

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2022年广东省东莞市东华高级中学高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（）

A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）复数z=

𝑖+1

𝑖

在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（5分）已知向量|𝑎

→

|=|𝑏

→

|，𝑏

→

⋅(𝑎

→

−

1

2

𝑏

→

)=0，则𝑎

→

与𝑏

→

的夹角为（）

A．30°B．60°C．90°D．150°

4．（5分）函数𝑓(𝑥)=

𝑥⋅𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥+2

的图象大致为（）

A．

B．

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C．

D．

5．（5分）已知圆x2+y2

＝1与抛物线y

2

＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交

于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于（）

A．

√

5

2

B．

√

2

5

C．

5

√

2

2

D．

2

√

5

5

6．（5分）从甲地到乙地共有A、B、C、D四条路线可走，走路线A堵车的概率为0.08，走

路线B堵车的概率为0.1，走路线C堵车的概率为0.12，走路线D堵车的概率为0.04，

若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（）

A．0.034B．0.065C．0.085D．0.34

7．（5分）已知a＝log

3

2，b＝log

5

4，c＝0.75，则a，b，c的大小关系是（）

A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a

8．（5分）已知正三棱柱的高等于1，且球O与所有棱都相切，则球O的体积为（）

A．

𝜋

6

B．

4

√

3𝜋

27

C．

4𝜋

3

D．

4

√

3𝜋

3

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）下列关于函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝑥+

𝜋

3

)的说法正确的是（）

A．在区间[−

5𝜋

6

，

𝜋

6

]上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于点（

𝜋

6

，0）中心对称

D．图象关于直线𝑥=−

5𝜋

6

轴对称

（多选）10．（5分）等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若S

2

+a

9

＝3，则下列选项一定正确的

是（）

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A．S

7

＝7B．S

10

＝10C．a

4

＝1D．a

2

+a

6

＝2

（多选）11．（5分）已知函数𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑎𝑥

2

+𝑙𝑛𝑥，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切

线，则a的值可以是（）

A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3

（多选）12．（5分）东汉末年的数学家赵爽在《周骳算经》中利用一副“弦图”，根据面积

关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它由四个全等的直角三角

形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角

三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC，对于图2，下列结论正

确的是（）

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B．若BB′＝3，sin∠ABB′=

5√3

14

，则A′B′＝2

C．若AB＝2A′B′，则AB′=

√

5BB′

D．若A′是AB′的中点，则三角形ABC的面积是三角形A′B′C′面积的7倍

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2

），若P（ξ＞3）＝P（ξ＜1），则μ＝．

14．（5分）若cos（α﹣β）=

√5

5

，α+β=

3𝜋

4

，且−

𝜋

2

＜α﹣β＜0，则cos2α的值为．

15．（5分）已知双曲线C：

𝑥2

𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，点A

在双曲线的渐近线上，线段AF

1

的中点M在y轴上，且△AMF

2

为等边三角形，则双曲

线的离心率等于．

16．（5分）已知长方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

，AB＝BC＝1，AA

1

＝2，在A

1

B上取一点M，在

B

1

C上取一点N，使得直线MN∥平面A

1

ACC

1

，则线段MN的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知{a

n

}是公差不为0的等差数列，满足a

3

＝3，且a

2

，a

4

，a

8

成等比数列．

（1）求数列{a

n

}的通项公式a

n

；

（2）设𝑏

𝑛

=

1

𝑎

𝑛

⋅𝑎

𝑛+2

，求数列{b

n

}的前n项和T

n

．

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18．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcosC＝（2a﹣

c）cosB．

（1）求B；

（2）如图，若a＝b，在△ABC外取点D，且AD＝4，CD＝2．求四边形ABCD面积的

最大值．

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19．（12分）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责

任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何

有序节约用电．某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，

每户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标

准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费．随机抽取了100户居民月均用电量情况，

已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0，50），[50，100），…，[400，

450]分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）．

（1）求直方图中m的值；

（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量

标准x（千瓦时）的值；

（3）在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千

瓦时）的有X户居民，求X的分布列．

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20．（12分）如图，四边形ABCD和CDEF都是正方形，且平面ABCD⊥平面CDEF，M、

N分别是BC、CD的中点，点P在线段DE上．

（1）求证：AN⊥PM；

（2）若二面角P﹣MN﹣A的大小为45°，求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

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21．（12分）已知椭圆C：

𝑥2

𝑎2

+

𝑦2

𝑏2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F

1

、F

2

，离心率等

于

√

6

3

，点P在y轴正半轴上，△PF

1

F

2

为直角三角形且面积等于2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，当点A关于y轴的对称

点在直线PB上时，直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．

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22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

为y＝5x﹣5．

（1）求a，b的值；

（2）若x

1

，x

2

是两个正数，且f（x

1

）+f（x

2

）≥x

1

+x

2

，证明：x

1

+x

2

＞1．

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2022年广东省东莞市东华高级中学高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（）

A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}

【解答】解：由N中不等式解得：﹣1≤x≤2，即N＝[﹣1，2]，

∵M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴M∩N＝{﹣1，0，1，2}，

故选：D．

2．（5分）复数z=

𝑖+1

𝑖

在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解答】解：z=

𝑖+1

𝑖

=

(1+𝑖)𝑖

𝑖⋅𝑖

=1﹣i，

故复数z=

𝑖+1

𝑖

在复平面内所对应的点位于第四象限，

故选：D．

3．（5分）已知向量|𝑎

→

|=|𝑏

→

|，𝑏

→

⋅(𝑎

→

−

1

2

𝑏

→

)=0，则𝑎

→

与𝑏

→

的夹角为（）

A．30°B．60°C．90°D．150°

【解答】解：设𝑎

→

与𝑏

→

的夹角为θ，

因为|𝑎

→

|=|𝑏

→

|，𝑏

→

⋅(𝑎

→

−

1

2

𝑏

→

)=0，

所以𝑎

→

⋅𝑏

→

−

1

2

𝑏

→

2=0，

所以cosθ=

𝑎

→

⋅𝑏

→

|𝑎

→

||𝑏

→

|

=

1

2

𝑏

→

2

|𝑏

→

|

2

=

1

2

，

由0≤θ≤π可得θ＝60°．

故选：B．

4．（5分）函数𝑓(𝑥)=

𝑥⋅𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥+2

的图象大致为（）

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A．

B．

C．

D．

【解答】解：∵𝑓(𝑥)=

𝑥⋅𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥+2

，

∴𝑓(−𝑥)=

(−𝑥)⋅𝑠𝑖𝑛(−𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝑥+2

=

𝑥⋅𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥+2

，即f（x）＝f（﹣x），

∴f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故BD错误，

𝑓(

𝜋

4

)＞0，故C错误，A正确，

故选：A．

5．（5分）已知圆x2+y2

＝1与抛物线y

2

＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交

于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于（）

A．

√

5

2

B．

√

2

5

C．

5

√

2

2

D．

2

√

5

5

【解答】解：圆x

2+y2

＝1与抛物线y

2

＝2px（p＞0）交于A、B两点，与抛物线的准线交

于C、D两点，易得C（−

𝑃

2

，

√

1−

𝑝2

4

），则A（

𝑃

2

，

√

1−

𝑝2

4

），

将A点坐标代入y

2

＝2px得1−

𝑝2

4

=2p×

𝑝

2

，p＞0解得p=

2√5

5

，

故选：D．

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6．（5分）从甲地到乙地共有A、B、C、D四条路线可走，走路线A堵车的概率为0.08，走

路线B堵车的概率为0.1，走路线C堵车的概率为0.12，走路线D堵车的概率为0.04，

若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（）

A．0.034B．0.065C．0.085D．0.34

【解答】解：走线路A堵车的概率为

1

4

×0.08，同理，走线路B堵车的概率为

1

4

×0.1，走

线路C堵车的概率为

1

4

×0.12，

走D线路堵车的概率为

1

4

×0.04，

所以堵车的总概率为：

1

4

×（0.08+0.1+0.12+0.04）＝0.085．

故选：C．

7．（5分）已知a＝log

3

2，b＝log

5

4，c＝0.75，则a，b，c的大小关系是（）

A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a

【解答】解：因为4

4

＞5

3

，所以4log

5

4＞3，

即log

5

4＞

3

4

=0.75，

因为2

4

＜3

3

，所以4log

3

2＜3，

即log

3

4＜

3

4

=0.75，

所以b＝log

5

4＞c＝0.75＞a＝log

3

2，

即a＜c＜b．

故选：A．

8．（5分）已知正三棱柱的高等于1，且球O与所有棱都相切，则球O的体积为（）

A．

𝜋

6

B．

4

√

3𝜋

27

C．

4𝜋

3

D．

4

√

3𝜋

3

【解答】解：如图，正三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的高等于1，

设上底面中心为O

1

，下底面中心为G，连接O

1

G，

则球O的球心O在O

1

G的中点上，设球O切棱AA

1

于F，切棱BC于E，

则F、E分别为所在棱的中点，设底面边长为a，则OF＝AG=

√3

3

𝑎，

GE=

√3

6

𝑎，又OG=

1

2

，∴OE=

√

1

4

+

𝑎2

12

，

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∴

√

3

3

𝑎=

√1

4

+

𝑎2

12

，解得a＝1．

则球O的半径为R=

√3

3

，球的体积V=

4

3

𝜋×(

√3

3

)3=

4√3𝜋

27

．

故选：B．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）下列关于函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝑥+

𝜋

3

)的说法正确的是（）

A．在区间[−

5𝜋

6

，

𝜋

6

]上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于点（

𝜋

6

，0）中心对称

D．图象关于直线𝑥=−

5𝜋

6

轴对称

【解答】解：对于A，令2kπ−

𝜋

2

≤x+

𝜋

3

≤2kπ+

𝜋

2

，解得2kπ−

5𝜋

6

≤x≤2kπ+

𝜋

6

，k∈Z，显

然[−

5𝜋

6

，

𝜋

6

]满足上述关系式，故正确；

对于B，可得该函数的最小正周期为T=

2𝜋

1

=2π，故错误；

对于C，令x+

𝜋

3

=kπ，k∈Z，解得x＝kπ−

𝜋

3

，k∈Z，令

𝜋

6

=kπ−

𝜋

3

，解得k=

1

2

∉Z，故错误；

对于D，f（−

5𝜋

6

）＝sin（−

5𝜋

6

+

𝜋

3

）＝﹣sin

𝜋

2

=−1，故正确．

故选：AD．

（多选）10．（5分）等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若S

2

+a

9

＝3，则下列选项一定正确的

是（）

A．S

7

＝7B．S

10

＝10C．a

4

＝1D．a

2

+a

6

＝2

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【解答】解：等差数列{a

n

}中，S

2

+a

9

＝3，

所以3a

1

+9d＝3，即a

1

+3d＝a

4

＝1，C正确；a

2

+a

6

＝2a

4

＝2，D正确；

则S

7

=

7(𝑎

1

+𝑎

7

)

2

=7a

4

＝7，A正确；

S

10

＝5（a

1

+a

10

）＝5（2a

1

+9d）＝5（2a

1

+6d+3d）＝10+15d，是否为10不确定，B错误．

故选：ACD．

（多选）11．（5分）已知函数𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑎𝑥

2

+𝑙𝑛𝑥，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切

线，则a的值可以是（）

A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3

【解答】解：由𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑎𝑥

2

+𝑙𝑛𝑥，得f′（x）＝x+

1

𝑥

+

𝑎

2

≥2

√

𝑥⋅

1

𝑥

+

𝑎

2

=2+

𝑎

2

（x＞0），

当且仅当𝑥=

1

𝑥

，即x＝1时等号成立，

f（x）的图象存在两条相互垂直的切线的充要条件是f′（x）

min

＜0，

即2+

𝑎

2

＜0，解得a＜﹣4．

结合选项可得，a的值可以是﹣6和﹣5．

故选：AB．

（多选）12．（5分）东汉末年的数学家赵爽在《周骳算经》中利用一副“弦图”，根据面积

关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它由四个全等的直角三角

形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角

三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC，对于图2，下列结论正

确的是（）

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B．若BB′＝3，sin∠ABB′=

5√3

14

，则A′B′＝2

C．若AB＝2A′B′，则AB′=

√

5BB′

D．若A′是AB′的中点，则三角形ABC的面积是三角形A′B′C′面积的7倍

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【解答】解：对于A选项：根据对称性AA′＝BB′，所以BB′＜AB′，

所以A选项正确；

对于B选项：在△ABB′中，𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐵′=

5√3

14

，而∠AB′B＝120°，所以𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝐵′=

𝑠𝑖𝑛(60°−∠𝐴𝐵𝐵′)=

3√3

14

，

由正弦定理得

𝐵𝐵′

𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝐵′

=

𝐴𝐵′

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐵′

，解得AB′＝5，

又因为AA′＝BB′＝3，所以A′B′＝AB′﹣AA′＝2，

所以B正确；

对于C选项：不妨设AB＝2A′B′＝2，AA′＝x，由余弦定理可得AB

2

＝BB′

2+AB′2

﹣2BB′•AB′cos120°，

解得𝑥=

√5−1

2

，所以

𝐴𝐵′

𝐵𝐵′

=

1+𝑥

𝑥

=

√

5+1

√

5−1

，

故C选项不正确；

对于D选项：若A′是AB′的中点，𝑆

△𝐴𝐵𝐵′

=

1

2

×𝐵𝐵′×𝐴𝐵′𝑠𝑖𝑛120°=B′C′×A′B′

sin60°＝2S△A′B′C′

所以S

△ABC

＝7S

△A′B′C′

，

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2

），若P（ξ＞3）＝P（ξ＜1），则μ＝

2．

【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ

2

），

又∵P（ξ＞3）＝P（ξ＜1），

∴𝜇=

1+3

2

=2．

故答案为：2．

14．（5分）若cos（α﹣β）=

√5

5

，α+β=

3𝜋

4

，且−

𝜋

2

＜α﹣β＜0，则cos2α的值为

√

10

10

．

【解答】解：因为cos（α﹣β）=

√5

5

，−

𝜋

2

＜α﹣β＜0，

所以sin（α﹣β）=−√1−𝑐𝑜𝑠2(𝛼−𝛽)=−

√

1−(

√5

5

)2=−

2√5

5

，

所以cos2α＝cos[（α+β）+（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β）sin（α﹣β）

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＝cos

3𝜋

4

×

√

5

5

−sin

3𝜋

4

×（−

2√5

5

）=−

√2

2

×

√5

5

−

√2

2

×（−

2√5

5

）=

√10

10

．

故答案为：

√

10

10

．

15．（5分）已知双曲线C：

𝑥2

𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，点A

在双曲线的渐近线上，线段AF

1

的中点M在y轴上，且△AMF

2

为等边三角形，则双曲

线的离心率等于

√

21

3

．

【解答】解：因为线段AF

1

的中点M在y轴上，所以AF

2

⊥x，故A（c，

𝑏𝑐

𝑎

）或A（c，

−

𝑏𝑐

𝑎

），

根据对称性，不妨取A（c，

𝑏𝑐

𝑎

），

因为AF

2

⊥x，△AMF

2

为等边三角形，所以∠AF

1

F

2

＝30°，

则tan∠AF

1

F

2

=

𝑏𝑐

𝑎

2𝑐

=

𝑏

2𝑎

=

√3

3

，所以

𝑏

𝑎

=

2

√

3

3

，

所以双曲线的离心率为e=

√

1+(

𝑏

𝑎

)2=

√

1+

12

9

=

√21

3

，

故答案为：

√

21

3

．

16．（5分）已知长方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

，AB＝BC＝1，AA

1

＝2，在A

1

B上取一点M，在

B

1

C上取一点N，使得直线MN∥平面A

1

ACC

1

，则线段MN的最小值为

2

3

．

【解答】解：作MM

1

⊥AB于点M

1

，作NN

1

⊥BC于点N

1

，

∵线段MN平行于对角面A

1

ACC

1

，∴M

1

N

1

∥AC．

设BM

1

＝BN

1

＝x，则MM

1

＝2x，NN

1

＝2﹣2x，

在直角梯形MNN

1

M

1

中，

𝑀𝑁2=(

√

2𝑥)2+（2﹣4x）2

＝18（x−

4

9

）

2+

4

9

，

∴当x=

4

9

时，MN的最小值为

2

3

．

故答案为：

2

3

．

第18页共24页

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知{a

n

}是公差不为0的等差数列，满足a

3

＝3，且a

2

，a

4

，a

8

成等比数列．

（1）求数列{a

n

}的通项公式a

n

；

（2）设𝑏

𝑛

=

1

𝑎

𝑛

⋅𝑎

𝑛+2

，求数列{b

n

}的前n项和T

n

．

【解答】解：（1）{a

n

}是公差不为0的等差数列，设等差数列{a

n

}的公差为d，

满足a

3

＝3，a

3

＝a

1

+2d＝3，

又∵a

2

，a

4

，a

8

成等比数列．

∴a

4

2

＝a

2

a

8

，

即（a

1

+3d）2

＝（a

1

+d）（a

1

+7d），解得：d＝1，a

1

＝1

∴a

n

＝1+1×（n﹣1）＝n；

（2）𝑏

𝑛

=

1

𝑎

𝑛

⋅𝑎

𝑛+2

=

1

𝑛(𝑛+2)

=

1

2

(

1

𝑛

−

1

𝑛+2

)，

数列{b

n

}的前n项和T

n

=

1

2

(1−

1

3

+

1

2

−

1

4

+

1

3

−

1

5

+⋅⋅⋅+

1

𝑛

−

1

𝑛+2

)

=

1

2

（1+

1

2

−

1

𝑛+1

−

1

𝑛+2

）=

3

4

−

2𝑛+3

2(𝑛+1)(𝑛+2)

．

18．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcosC＝（2a﹣

c）cosB．

（1）求B；

（2）如图，若a＝b，在△ABC外取点D，且AD＝4，CD＝2．求四边形ABCD面积的

最大值．

第19页共24页

【解答】解：（1）由正弦定理知，

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴

=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵

=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶

，

∵（2a﹣c）cosB＝bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，

即2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，

∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，

∵B∈（0，π），∴B=

𝜋

3

．

（2）由（1）知，B=

𝜋

3

，

∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，

在△ACD中，由余弦定理知，AC

2

＝AD

2+CD2

﹣2AD•CDcosD＝16+4﹣2×4×2cosD＝20

﹣16cosD，

而S

△ACD

=

1

2

AD•CDsinD=

1

2

×4×2sinD＝4sinD，

S△ABC

=

1

2

AB•BCsinB=

1

2

AC2

•sin

𝜋

3

=5

√

3−4

√

3cosD，

∴四边形ABCD的面积S＝S

△ACD

+S

△ABC

＝5

√

3−4

√

3cosD+4sinD＝5

√

3+8sin（D−

𝜋

3

），

∵D∈（0，π），∴D−

𝜋

3

∈（−

𝜋

3

，

2𝜋

3

），

∴当D−

𝜋

3

=

𝜋

2

即D=

5𝜋

6

时，S取得最大值，为5

√

3+8，

故四边形ABCD面积的最大值为5

√

3+8．

19．（12分）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责

任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何

有序节约用电．某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，

每户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标

准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费．随机抽取了100户居民月均用电量情况，

已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0，50），[50，100），…，[400，

第20页共24页

450]分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）．

（1）求直方图中m的值；

（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量

标准x（千瓦时）的值；

（3）在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千

瓦时）的有X户居民，求X的分布列．

【解答】解：（1）由频率分布直方图得：

（0.0008+0.0016+m+0.0040+0.0052+m+0.0012+0.0008+0.0004）×50＝1．

解得m＝0.0030．

（2）[0，250）的频率为（0.0008+0.0016+0.003+0.004+0.0052）×50＝0.73，

[250，300）的频率为0.003×50＝0.15，

∵该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，

∴估计每月的用电量标准x＝250+

0.85−0.73

0.15

×50=290．

（3）用电量不小于350（千瓦时）的居民样本有：100×（0.0008+0.0004）×50＝6户，

其中不小于400（千瓦时）的有100×0.0004×50＝2户，

从中随机抽取4户，其中不小于400（千瓦时）的有X户居民，X的可能取值为0，1，2，

P（X＝0）=

𝐶

4

2

𝐶

6

2

=

6

15

=

2

5

，

P（X＝1）=

𝐶

2

1

𝐶

4

1

𝐶

6

2

=

8

15

，

P（X＝2）=

𝐶

2

2

𝐶

6

2

=

1

15

．

第21页共24页

∴X的分布列为：

X012

P

2

5

8

15

1

15

20．（12分）如图，四边形ABCD和CDEF都是正方形，且平面ABCD⊥平面CDEF，M、

N分别是BC、CD的中点，点P在线段DE上．

（1）求证：AN⊥PM；

（2）若二面角P﹣MN﹣A的大小为45°，求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：因为四边形ABCD和CDEF都是正方形，

所以AD⊥DC且ED⊥CD，

又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，

所以ED⊥平面ABCD，

故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD和CDEF的边长为2，又M、N分别是BC、CD的中点，

则A（2，0，0），N（0，1，0），M（1，2，0），

因为点P在线段DE上，

设P（0，0，a），a＞0，

所以𝐴𝑁

→

=(−2，1，0)，𝑃𝑀

→

=(1，2，−𝑎)，

所以𝐴𝑁

→

⋅𝑃𝑀

→

=−2+2+0=0，

故AN⊥PM；

（2）解：由（1）可知，𝑁𝑀

→

=(1，1，0)，

设平面PMN的法向量为𝑛

→

=(𝑥，𝑦，𝑧)，

第22页共24页

则{

𝑛

→

⋅𝑃𝑀

→

=𝑥+2𝑦−𝑎𝑧=0

𝑛

→

⋅𝑁𝑀

→

=𝑥+𝑦=0

，

令y＝a，则x＝﹣a，z＝1，

故𝑛

→

=(−𝑎，𝑎，1)，

又平面MNA的一个法向量为𝑚

→

=(0，0，1)，

因为二面角P﹣MN﹣A的大小为45°，

所以|𝑐𝑜𝑠＜𝑛

→

，𝑚

→

＞|=

|𝑛

→

⋅𝑚

→

|

|𝑛

→

||𝑚

→

|

=

1

√𝑎2+𝑎2+1×1

=𝑐𝑜𝑠45°=

√2

2

，

解得a=

√2

2

，

所以𝑛

→

=(−

√2

2

，

√2

2

，1)，

则|𝑐𝑜𝑠＜𝐴𝑁

→

，𝑛

→

＞|=

|𝐴𝑁

→

⋅𝑛

→

|

|𝐴𝑁

→

||𝑛

→

|

=

3√2

2

√4+1×√2

=

3√5

10

，

所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为

3

√

5

10

．

21．（12分）已知椭圆C：

𝑥2

𝑎2

+

𝑦2

𝑏2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F

1

、F

2

，离心率等

于

√

6

3

，点P在y轴正半轴上，△PF

1

F

2

为直角三角形且面积等于2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，当点A关于y轴的对称

点在直线PB上时，直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．

【解答】解：（1）设P（0，m），m＞0，

因为△PF

1

F

2

为直角三角形且面积等于2，

则m＝c，

第23页共24页

所以

1

2

⋅2𝑐⋅𝑐=𝑐2=2，解得𝑐=

√

2，

又椭圆的离心率等于

√

6

3

，

所以𝑒=

𝑐

𝑎

=

√2

𝑎

=

√6

3

，解得𝑎=

√

3，

故b

2

＝a

2

﹣c

2

＝1，

所以椭圆的标准方程为

𝑥2

3

+𝑦2=1；

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y＝kx+n，设A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

），𝑃(0，

√

2)，

设点A关于y轴的对称点为C（﹣x

1

，y

1

），

联立方程组{

𝑦=𝑘𝑥+𝑛

𝑥2

3

+𝑦2=1

，可得（1+3k

2

）x

2+6knx+3n2

﹣3＝0，

所以𝑥

1

+𝑥

2

=−

6𝑘𝑛

1+3𝑘

2

，𝑥

1

𝑥

2

=

3𝑛2−3

1+3𝑘

2

，

因为直线PB的方程为𝑦=

𝑦

2

−√2

𝑥

2

𝑥+

√

2，且点C在直线PB上，

所以𝑦

1

=−

𝑦

2

−√2

𝑥

2

𝑥

1

+

√

2，

则(𝑘𝑥

1

+𝑛)𝑥

2

=−(𝑘𝑥

2

+𝑛−

√

2)𝑥

1

+

√

2𝑥

2

，

所以2𝑘𝑥

1

𝑥

2

+(𝑛−

√

2)(𝑥

1

+𝑥

2

)=0，

则2𝑘⋅

3𝑛2−3

1+3𝑘

2

+(𝑛−

√

2)⋅

−6𝑘𝑛

1+3𝑘

2

=0，

故−𝑘+

√

2𝑘𝑛=0，

因为k≠0，

所以𝑛=

√2

2

，

则直线l的方程为𝑦=𝑘𝑥+

√2

2

，

所以直线l恒过定点(0，

√2

2

)．

22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

为y＝5x﹣5．

（1）求a，b的值；

（2）若x

1

，x

2

是两个正数，且f（x

1

）+f（x

2

）≥x

1

+x

2

，证明：x

1

+x

2

＞1．

【解答】解：（1）𝑓′(𝑥)=

1

𝑥

+2𝑎𝑥(𝑥＞0)，

第24页共24页

因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝5x﹣5，

所以{

𝑓′(1)=5

𝑓(1)=0

，即{

1+2𝑎=5，

𝑎+𝑏=0，

解得a＝2，b＝﹣2，

所以a＝2，b＝﹣2，

证明：（2）由（1）知f（x）＝lnx+2x

2

﹣2，

又g（x）＝f（x）﹣x＝lnx+2x

2

﹣x﹣2（x＞0），

所以𝑔′(𝑥)=

1

𝑥

+4𝑥−1≥2

√

1

𝑥

⋅4𝑥−1=3＞0，

所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，

因为x

1

，x

2

是两个正数，且f（x

1

）+f（x

2

）≥x

1

+x

2

，

所以g（x

1

）+g（x

2

）≥0，

不妨设x

1

≤x

2

，

当𝑥

1

＞

1

2

时，命题x

1

+x

2

＞1显然成立，得证．

当0＜𝑥

1

≤

1

2

时，令𝐹(𝑥)=𝑔(𝑥)+𝑔(1−𝑥)，(0＜𝑥≤

1

2

)

所以𝐹′(𝑥)=

1

𝑥

+4𝑥−1−

1

1−𝑥

+4𝑥−3=

(1−2𝑥)

3

𝑥(1−𝑥)

，

所以当𝑥∈(0，

1

2

]时，1﹣2x≥0，1﹣x＞0，故F′（x）≥0，

所以函数F（x）在𝑥∈(0，

1

2

]上单调递增，

所以𝐹(𝑥)≤𝐹(

1

2

)=−2𝑙𝑛2−4＜0，即g（x）+g（1﹣x）＜0，

所以g（x

1

）＜﹣g（1﹣x

1

），

因为g（x

1

）≥﹣g（x

2

），所以﹣g（x

2

）≤g（x

1

）＜﹣g（1﹣x

1

）

所以g（x

2

）＞g（1﹣x

1

），

因为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以x

2

＞1﹣x

1

，即x

1

+x

2

＞1．

综上，x

1

+x

2

＞1，证毕．