实际问题与一元一次不等式

实际问题与一元一次不等式

一、知识归纳

列不等式解应用题的方法和列一元一次方程解应用题基本上相同，简单地分为：

设、找、列、解、答五个步骤：

（1）设：弄清题意和题目中的数量关系，一般用字母（x、y）表示题目中的未

知数；

（2）找：找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系；

（3）列：根据这个不等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出不等式（组）；

（4）解：解这个所列出的不等式（组），求出未知数的解集；

（5）答：写出答案．

这五步的关键是“列”，难点是“找”．

列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和

技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等量关系，因此，根据问题情境，

抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重

要．

注意列不等式解应用题常常以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等

字眼来体现问题中的不等关系.建立不等式，要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

二、例题讲解

例1、（1）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价120％的价格才能出售，

但为了获得更多利润，他以高于进价80％的价格标价，若你想买下标价为360元的

这种商品，最多降价________，商店老板才能出售（）

A．80元B．100元

C．120元D．160元

（2）九年级的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗

一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每

人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（）

A．至多6人B．至少6人

C．至多5人D．至少5人

（3）现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，

乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少安排（）

A．4辆B．5辆

C．6辆D．7辆

答案：（1）C（2）B（3）C

例2、在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共25道题，每题都给出4个答案，

其中只有一个正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选倒

扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少应选对多少道题?

提示：

答对题的得分与答错题扣分的差大于或等于60分是本题的基本不等关系．

解：

设他应选对x道题，则

4x－(25－x)×2≥60

∵x为整数，

∴至少应选对19道题．

例3、叶靓家开了一个副食店，她今天帮妈妈到批发市场去批饮料，批发市场的老板

问：“你今天要批多少箱饮料呢？”叶靓回答：“我根据上次销售情况，这次进货一

半要可乐，四分之一进鲜橙汁，七分之一进水蜜桃汁，剩下不足6箱进葡萄汁．”老

板算了一算，很快便按要求发货，你能从叶靓的回答中算出这次总共进货多少箱吗？

（批发市场只能整箱批发）

解：

设这次共进饮料x箱，依题意得：

解这个不等式，得0＜x＜56，

又∵x、、、都是正整数，

∴x=28．

答：这次共进饮料28箱．

例4、某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后，共获利6万元，其进价和售

价如下表：(注：获利=售价－进价)

AB

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

(1)该商场购进A、B两种商品各多少件?

(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进

A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若

两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为

每件多少元？

答案：

（1）设购进A、B两种商品分别为x件、y件，则

解得

∴A商品每件200件，B商品120件．

（2）设B商品的售价为a元，则

120(a－1000)＋(1380－1200)×2×200≥81600，

a≥1080，

∴B种商品最低售价为每件1080元．

例5、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种

机器供选择．其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预

算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．

甲乙

价格（万元/台）75

每台日产量（个）10060

(1)按该公司要求可以有几种购买方案?

(2)若该公司购进6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应

选择哪种购买方案?

解：

（1）设购买甲种机器x台，购买乙种机器（6－x）台，

7x＋5(6－x)≤34,

x≤2,

因为x为非负整数，所以x=0,1,2.

所以有三种购买方案．

（2）设日生产能力为W个，则

W=100x＋60(6－x)=360＋40x≥380

x≥0.5,所以x=1或2．

当x=1时，7＋5×5=32万元，

x=2时，7×2＋5×4=34万元．

所以为了节约资金应选择购买1台甲种机器，5台乙种机器．

一、填空题

1、小明用100元去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，

那么小明最多能买_________支钢笔．

2、某人10点10分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以

3千米/小时的速度走了5分钟，然后改乘公汽，问公汽每小时至少走_________千米

才能不误当次火车．

显示答案

二、选择题

3、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于商品积压，商店准备

打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打（）

A．6折B．7折

C．8折D．9折

4、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板

的一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端．这时，爸爸的那

一端仍然着地．请你猜猜小芳的体重应小于（）

A．49千克B．50千克

C．24千克D．25千克

5、有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣

椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排________人

种茄子（）

A．2B．3

C．4D．5

6、七年级(1)班外出郊游合影留念，每人交0.70元，已知一张彩色底片0.68元，扩

印一张0.50元，每人分一张，在将收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学

最少有（）

A．2个B．3个

C．4个D．5个

三、综合题

7、一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错(或不答)一题扣

5分．设小明同学在这次竞赛中答对x道题．

(1)根据所给条件，完成下表：

答题情况答对答错（或不答）

题数x

每题分值10－5

得分10x

(2)若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题?

显示答案

8、电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起

降价后以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售款总量超过55万元，这批

计算机最少有多少台?

显示答案

9、小明到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人，a>8)，

就站到A队后，过了2分钟，他发现A队每分钟有4人买饭离开，B队每分钟有6人

买饭离开，且B队后面每分钟增加5人．

(1)此时，若小明继续在A队，则他到达A窗口的时间是多少?(用含a的代数式

表示)

(2)此时，若小明迅速从A队转移到B队，且买饭所花时间比在A队少，求a的

取值范围．(不考虑其他因素)

显示答案

10、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，

其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费用如下表：经预算，该企业购买设备的资

金不高于105万元．

（1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；

（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水

费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，

10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

显示答案

答案：1、132、133、B4、D5、C6、C7、（1）略（2）16

8、解：设这批计算机x台，则

5500×60＋5000(x－60)>550000

x>104

又∵x为整数，

∴x≥105，

故至少为105台．

9、答案：（1）（2）a>20

10、解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台．

12x＋10（10－x）≤105，

解得x≤2.5．

∵x取非负整数，∴x可取0，1，2．

有三种购买方案：购A型0台、B型10台；

A型1台，B型9台；A型2台，B型8台．

（2）240x＋200（10－x）≥2040，

解得x≥1，

所以x为1或2．

当x=1时，购买资金为：12×1＋10×9=102（万元）；

当x=2时，购买资金为12×2＋10×8=104（万元），

所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．

（3）10年企业自己处理污水的总资金为：

102＋10×10=202（万元），

若将污水排到污水厂处理：

2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）．

节约资金：244.8－202=42.8（万元）．

课外拓展

例1、已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c=5和2a＋b－3c=1，若m=3a＋b－7c，

求m的最小值和最大值.

分析：

解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示m，通过解不等式组，

确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最小值和最大值.

解：

联立方程组∴m=3c－2

例2、求中的数字x、y、z.

分析：从估算值的大小，建立关于x的不等式组入手.

解：

即19<10x＋5<27.

解得：1.4

∴整数x=2

所以y=1，z=4

答：所x，y，z的值分别为2，1，4.

中考解析

例1、（新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，

每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x（张）满

足的不等式为___________．

解析：

印刷费用不超过1200元，

所以50+0.3x≤1200．

答案：50+0.3x≤1200．

例2、（泸州）关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是__________．

解析：

解关于x的方程，

移项kx-2x=1

合并（k-2）x=1

方程有解时，k-2≠0，

所以方程的解为．

因为方程的解为正实数，

所以k-2＞0，得k＞2．故k的取值范围是k＞2．

例3、(济南)自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响．为

落实“保民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的

月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖

励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数)．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工

资情况信息：

职工甲乙

月销售件数（件）200180

月工资（元）18001700

(1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额

各是多少元？

(2)若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产

品？

解析：

(1)设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元．

由题意得

解这个方程组得

答：

职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．

（2）设该公司职工丙六月份销售z件产品，

由题意得800+5z≥2000，

解这个不等式得：z≥240．

答：该公司职工丙六月份至少销售240件产品．