n分之一求和

数列中分奇偶数项求和问题

陕西省吴起县高级中学鲁俊

数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n进行分奇数和偶数情形的

讨论,举例说明如下：

一、相邻两项符号相异；

例1：求和：n1

n

Sn-3…（-1）（4）nN

解：当n为偶数时：S159134

2n



n

nnn

当n为奇数时：159134n3

2n

S（4-3）（4-）

n-1

nnnn

二、相邻两项之和为常数；

例2：已知数列{a

n

}中a

1

=2，a

n

+a

n+1

=1，S

n

为{a

n

}前n项和，求S

n

解：①当n为偶数时：12341nnn

Saaaaaa



…

12341

()()()1

22nn

nn

aaaaaa



…

②当n为奇数时：123451

()()()

nnn

Saaaaaaa



…

13

2

22

nn



三、相间两项之差为常数；

例3：已知数列{a

n

}中a

1

=1，a

2

=4，a

n

=a

n-2

+2（n≥3），S

n

为{a

n

}前n项和，求S

n

解：∵a

n

-a

n-2

=2（n≥3）

∴a

1

,a

3

,a

5

,…,a

2n-1

为等差数列；a

2

,a

4

,a

6

,…,a

2n

为等差数列

当n为奇数时：

1

1(1)2

2n

n

an



•

当n为偶数时：

4(1)22

2n

n

an•

即n∈N+时，

1(1)n

n

an







∴①n为奇数时：

1(1)

(123)21

22n

nnn

Snn



…

②n为偶数时：

(1)

(123)2

22n

nnn

Snn



…

四、相间两项之比为常数；

例4：已知a

n

，a

n+1

为方程2

1

()0

3

n

n

xCx

的两根n∈N+，a

1

=2，S

n

=C

1

+C

2

+…+C

n

，

求a

n

及S

2n

。

解：依题意：

1

1

()

3

n

nn

aa



•

∴2

1

3

n

n

a

a

其中

12

1

2,

6

aa

。

∴

13521

,,,...,

n

aaaa



为等比数列；

2462

,,,...,

n

aaaa为等比数列

∴①n为偶数时：

11

222

2

11111

()()()

36323

nnn

n

aa

②n为奇数时：

11

1

22

11

2()2()

33

nn

n

a





则有：

1

2

2

1

2()21()

3

11

()2()

23

{

n

n

n

nkkN

a

nkkN













而C

n

=a

n

+a

n+1

∴①n为奇数时，n+1为偶数：

111

222

1

111131

2()()()

32363

nnn

nnn

Caa







则：

13521

131

63

1

1

3

n

n

CCCC







（1-）

…

②n为偶数时，n+1为奇数：

222

1

11151

()2()()

23323

nnn

nnn

Caa





则：

于是：

2462

51

63

1

1

3

n

n

CCCC



（1-）

…

21234212

...

11

(1)(1)

13591

33

..(1)

11

6623

11

33

nnn

nn

n

Scccccc









