1的倍数

第一章倍数与因数

一倍数与因数

1.倍数与因数的概念

如果整数a能被自然数b整除，那么a就叫做b的倍数，就b叫做a的因数，也称为因数。

（1是所有非0自然数最小的因数;一个数最少有一个因数）

因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。如：a是b的倍数，反过来b就是a的

因数，因此，描述描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数）

只有在乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。如5×0.8=4

不能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数。

5×0.8=45×8=40

↓↓↓↓↓↓

因数因数积因数因数倍数（整数）

4是0.8的5倍，但不能说4是0.8的倍数。

2.一个数因数的求法

利用因数的概念，a×b=c,a和b都是c的因数，找出所有两个数相乘等于c的数。

例：18的因数有哪几个？

解：1×18=182×9=183×6=18

18的因数有1、2、3、6、9、18

总结：一个数的因数是有限的；最小的因数是1；最大的因数是它本身。

3.一个数的倍数的求法

求一个数的倍数，可以用这个数分别去乘非0自然数1,2,3，4……

总结：一个数的倍数是无限的；最小倍数是它本身；没有最大倍数。

二2、5、3的倍数的特征

1.2的倍数的特征

个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

2.5的倍数的特征

各位上0、5的数，都是5的倍数。（任意5个连续自然数，它们的和一定是5的倍数）

①一个奇数加上5，一定是2的倍数。

②能同时被2，5整除的最小数是10，符合这三个条件的最大三位数是990，最小四位数

是1000

3.3的倍数的特征

如果一个数的各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（3个连续的自然数

所组成的数是3的倍数，123,234,345,456.567……）

既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是多少？（120）

4.9倍数的特征

如果一个数的各位上的数字的和是9数，这个数就是9倍数。

三质数和合数

1.质数的概念

一个数，除了1和本身以外，再也没有别的因数，这个数叫做质数，又叫素数。(质数

只有两个因数)

①例如：2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数（最小的质数是2，最大的质数是

无穷大）

②除了2以外的所有质数都是奇数。

③所有的奇数都是质数。（×）（15是合数）

2.合数的概念

一个数，除了1和本身以外，还有别的因数，这个数叫做合数。（合数有3个或3个以

上的因数）

①例如：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20……都是合数（最小的合数是4，

最大的合数无穷大）

②所有的合数都是偶数。（×）（9、15是合数，但也是奇数）

③1不是质数也不是合数。

四分解质因数

1.认识质因数

①如果一个数的因数是质数，那么，这个因数叫做该数的一个质因数。（如果一个

质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数）

②每一个合数，都能表示为质因数的积的形式。

2.什么是分解质因数

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

3.分解质因数的方法及注意事项

①短除法：把368分解质因数

2∣＿368

2∣184

2∣92

2∣46

23

368=2×2×2×2×23

③注意事项：a.连乘式中不能出现合数，必须都是质数。

b.连乘式中不能出现1，因为1不是质数。

c.合数用质数连乘的形式表示，不能写成乘法算式。应将合数写在等式的

左边，分解出的质因数写在等式的右边。【如2×2×3=12（×）】

d.只写短式，不写出质因数的连乘的横式是错误的，因为短除式是分解质

因数的手段，分解质因数的目的就是把合数写成质因数连乘的形式。

非0自然数中除了质数以外都是合数。（×）【1既不是质数也不是合数】

五数的组成

数：整数、小数、分数、自然数

自然数：像0、1、2、3、4、5、6、……这样的数就是自然数。【0和正整数】

整数：正整数、0、负整数（0既不是正数，也不是负数）[包括负数和自然数]

正整数：①质数与合数

②奇数与偶数（奇数：在数学上，我们把不能被2整除的数叫

做奇数，又称单数。

偶数：在数学上，我们把能被2整除的数叫做

偶数，又称双数。【0是偶数，能被2整

除】

偶+偶=偶偶-偶=偶奇+奇=偶

奇-奇=偶偶+奇=奇

③因数与倍数

④最小公倍数

⑤最大公约数

0表示数位：如101,0表示十位

表示起点：如跑到上的0米处表示跑道的起点

表示没有：如盘子中没有水果，可用0表示

表示分界：如数轴上的0

负整数：在正整数前面加“-”号（负号）的整数

小数：纯小数和带小数或有限小数和无限小数（无限循环小数和无限不循环小

数）

分数：表现形式带分数和假分数

基本性质：通分和约分

意义：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数

百分数意义：表示一个数是另一个数的百分之几

表示倍比关系：百分数表示两个数量之间的倍比关系

○整除与除尽

整除与除尽的区别在于商有没有小数。【整除的商不能有小数】

第二章平面图形（图形的面积）

一平行四边形（不稳定性，易变性）

概念：两组对边分别平行的四边形

性质：对边相等；对角相等；邻角的和是180度；对角线互相平分。

周长公式：C=(a+b)×2

面积【转换为长方形】公式：S=a×h(a为底，h为高)

二三角形

概念：由三条线段首尾顺次连结所围成的图形。它的内角和为180度。

分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分为不等边三角行、等腰三角形、等边三角行【等腰三角形底边上的高、

中线及顶角平分线三者重合。等边三角形的三条边相等；三个角相

等；三条边上的高相等；任意一条边上的高、中线及对角平分线三

者重合。】

性质：两边之和大于第三边

两条之差小于第三边

内角和为180度。三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和。

具有稳定性，不易变形

面积S=ah÷2(1/2底×高)

三梯形

分类：等腰梯形性质：在等腰梯形中，同一底上的两个底角相等；对角线相等。

等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中线的直线。

直角梯形：有个一角是直角的梯形。或者说，有一腰垂直于底的梯形。

两个相同的梯形能组成一个平行四边形，两个相同的直角梯形能组

成一个长方形或正方形。

梯形的面积公式：S=(a+b)×h÷2[（上底+下底）×高÷2]

四正方形

性质：是特殊的平行四边形，也是特殊的长方形，它具有平行四边形、长方形的全

部性质。

正方形有四条对称轴，即两条对角线和每组对边终点的连线。

正方形的周长公式：C=4a(边长+边长+边长+边长)

正方形的面积公式：S=a×a

五长方形

性质：长方形是特殊的平行四边，且四个角都是直角、对角线相等。

长方形对边中点的连线是它的对称轴。

长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

长方形的周长公式：C=2a+2b(2边长+2宽)

长方形的面积公式：S=a×b(长×宽)

六正方体

定义：长、宽、高相等的长方体

1.表面积公式

S表=6×a×a（a为边长）

2.体积公式

V体积=a×a×a

=S×h

七长方体

定义：每个面都是长方形（有时有两个相对面是正方形）的六面体

1.表面积

S表=2（ab+bh+ah）[长×宽+长×高+宽×高]

2.体积

V体积=abh(长×宽×高)

八正方体、长方体的比较

正方体是一种特殊的长方体

相同点不同点

面棱顶点面的形状面积棱长

长

方

体

6

个

12

条

8

个

6个面都是长方

形（特殊情况有

两个相对的面

是正方形

相对的面

的面积相

等

每一组相

互平行的

四条棱的

长度相等

正

方

体

6

个

12

条

8

个

6个面都是正方

形

6个面的

面积相等

12条棱

的长度都

相等

九体积单位的进率

1.常用的体积单位

立方米、立方分米、立方厘米

2.体积单位的进率

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米

3.体积单位名数的变换

体积单位名数的变换由高级单位化为低级单位乘进率1000，由低级单位化为高级单位

的名数除进率1000。

4.长度单位、面积单位和体积单位表

进率单位间的比较

单位

名称

相邻两个

单位间的

进率

备注

长

度

米

分米

厘米

10

必须把单

位统一起

来才能计

算

面

积

平方米

平方分米

平方厘米

100

体

积

立方米

立方分米

立方厘米

1000

5.容积和容积单位

①容积的意义和计算

容器能装的量叫容积，计算容积的方法与计算体积的方法相同。

②常用的容积单位

升、毫升

1L=1000ml

③容积单位与体积单位的关系

1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

要计算长方体、政法提、圆柱体、圆锥体的木材、钢材、油桶及小麦等物体

的质量，首先要计算出物体的体积，再利用下面的公式计算。

物体的质量=单位体积的质量×体积

第三章分数

一分数的意义

1.分数的定义

把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。如1∕2

2.分数与除法的区别

除法是一种运算，而分数是一个数。

二真分数和假分数

1.真分数（分子比分母小的分数叫真分数，真分数都小于1）

2.假分数（分子比分母大或者和分母相等的分数叫假分数，假分数大于1或等于1）

3.带分数（有一个整数除0以外和一个真分数合成的数，叫带分数）

三分数的基本性质

1.分数的分子和分母同时乘以或者同时除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

2.分数的分子扩大或缩小若干份，分母不变，则分数的值也扩大或缩小相同的倍数。

3.分数的分母扩大或缩小若干份，分子不变，则分数的值也缩小或扩大相同的倍数。

四约分

（一）公因数

1.最大公因数

公约数：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数。

最大公因数：几个公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

例如：18和24的公因数

18的因数有1、2、3、6、9、18

24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24

它们的公因数是1、2、3、6

它们的最大公因数是6

2.公因数与最大公因数的关系

①当两数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数，同时也是其他公因数的

倍数。

②当两数不是倍数关系时，它们的最大公因数是其他公因数的倍数。

③当两数只有公因数1时，它们的最大公因数也是1。（8和9它们的公因数只有1,1

是它们的最大公因数）

3.用短除法求几个数的最大公因数

例如：求54和72的最大公因数

2∣5472

3∣2736

3∣912

34

将短除式左边的数相乘，就是54和72的最大公因数

∴（54，72）=2×3×3=18【不能把它们的积也乘进去了】

（二）约分

1.最简分数的意义

分数和分母只有公因数1，像这样的分数叫最简分数。即分子、分母是互质数

的分数。

2.什么是约分

根据分数的基本性质，把一个分数化成和它值相等，但分子、分母都比较小的

分数的过程，叫约分。

3.约分的方法

①逐次约分的方法

②一次约分的方法（用分子和分母的最大公因数分别去除分子和分母）

③口算约分的方法

4.在约分过程中易产生的错误

①分子分母没有同时除以同一个数

②在约分的过程中应注意一些特殊的公因数。

③如果约分的结果是假分数应化成带分数或整数。

（三）通分

1.分数大小的判断

①分母相同的分数，分子大的分数大

②分子相同的分数，分母小的分数大

2.通分的定义

是指把异分母分数分别化成和原来分数值相等的同分母分数叫做通分

3.什么是公倍数和最小公倍数

公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。

最小公倍数：公倍数中除0外最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

4.用短除法求两个数的最小的公倍数

例：求[18,30]的最小公倍数

公有的质因数←2∣1830

公有的质因数←3∣915

35

此3为18独有↙↘此5为30独有

∴[18,30]=2×3×3×5=90

用公有的质因数乘各个数独有的质因数所得的积就是两个数的最小公倍数。

☆两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于这两个数的乘积。也就是说，求两个

数的最小公倍数，可以先求出两个数的最大公因数，再利用两个数的最大公因数

去除这两个数的积，所得的商就是两个数的最小公倍数。

例：求6901和5459的最小公倍数

用短除法求出两个数的最大公因数是103,6901×5459=37672559，37672559

÷103=365753，所以最小公倍数是365753。

（四）分数和小数的互换

1.分数和小数的互换的意义

①是为了便于比较和计算

②分数与小数在数学意义上有十分接近的地方

2.分数化为有限小数的规律

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，这个最简

分数就能化成有限小数；否则这个最简分数就不能化成有限小数。如：

分数能化成有限小数分数不能化成有限小数

1/2,3/4,9/10,7/20,99/100,……1/3,5/6,4/35,7/30,……

分母中不含有2和5以外的质因数分母中含有2和5以外的质因数

☆3.无限循环小数化成分数

五、分数的加法和减法

（一）同分母分数加、减法

1.同分母分数加、减法的意义

①分数加法是把两个分数合并成一个分数的运算。

②分数减法是已知两个分数的和以及其中一个分数，求另一个分数的运算。

3.同分母分数加、减法的计算法则

同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减，并把所得数化为最简。

4.计算结果能约分的一定要约成最简分数，结果是假分数的要化成带分数或整数。

5.做减法时，分子想减等于0，求得的分数就等于0.

6.计算同分母分数加、减法要注意的几个问题

①计算时应注意，分母不变，分子相加、减。

②计算同分母分数加、减法，对得数要进行处理。

（二）异分母分数加、减法

1.异分母分数加、减法，要先通分

2.计算结果能约分的一定要约成最简分数，结果是假分数的要化成带分数或整数。

3.如果遇到被减数是带分数的要化成假分数进行计算。

（三）分数加减法的混合运算

1.分数加减混合运算的计算法则

(1)从左到右计算

（2）同分母分数加减混合运算，只把分子相加减，分母不变。

（3）异分母分数加减混合运算，先通分，再按同分母分数加减法的法则计算。

（4）带分数加减混合运算，把整数和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

2.分数加减混合运算的顺序

（1）不带括号的分数加减混合运算的顺序

（2）带括号的分数加减混合运算的顺序，先算括号里的运算，再算括号外的运算。

3.根据分母的特点灵活选择计算方法

4.整数的加法交换律、结合律对分数同样适用

5.分数加减混合运算中的技巧

（1）一道题中有加有减，可以调换加数、减数的位置（即连同数字和运算符号任意

调换位置），其结果不变。

（2）分母为互质数的两个分数相加、减，用分母相乘的积作为分母，分子与分母交

叉相乘再相加、减的结果作为分子。