1
圆的切线证明与面积弧长半径计算（含解析）
一、综合题（共
22
题；共
225
分）
1.
如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点
作于点
.
（
1
）判断与的位置关系，并证明你的结论；
（
2
）若的半径为，，求阴影部分的面积
.
2.
如图，
AB
是圆
O
的弦，
C
是圆
O
外一点，，
CO
交
AB
于点
P
，交圆
O
于点
D
，且
CP
＝
CB
．
（
1
）判断直线
BC
与圆
O
的位置关系，并说明理由；
（
2
）若
∠A
＝
30°
，
OP
＝
1
，求图中阴影部分的面积．
3.
如图，在中，，以为直径的分别交于点，点
F
在的
延长线上，连接．
（
1
）求证：直线是的切线；
（
2
）若，求的面积．
4.
如图，直线
MN
与
O
相切于点
M
，
ME=EF
且
EF//MN
．
2
（
1
）求
cos∠E
的值：
（
2
）若
O
的半径为
2
．求图中阴影部分的面积．
5.
如图，
△ABC
中，
∠ACB
＝
90°
，
∠BAC
的平分线交
BC
于点
O
，以点
O
为圆心，
OC
长为半径作圆
.
（
1
）求证：
AB
是
⊙O
的切线；
（
2
）若
∠B
＝
30°
，
BC
＝
12
，求阴影部分面积
.
6.
如图，在
△ABC
中，
AC
＝
BC
，以
BC
为直径的半圆
O
交
AB
于点
D
，过点
D
作半圆
O
的切线，交
AC
于点
E
．
（
1
）求证：
∠ACB
＝
2∠ADE
；
（
2
）若
DE
＝
3
，
AE
＝，求的长．
7.
如图，
M
是的半径的中点，弦于点
M
，过点
C
作交的延长线
于点
D
，连接．
3
（
1
）求的值；
（
2
）求证：是的切线．
8.
如图，
AB
与
⊙O
相切于点
B
，
AO
交
⊙O
于点
C
，
AO
的延长线交
⊙O
于点
D
，
E
是上不
与
B
，
D
重合的点，
sinA
＝．
（
1
）求
∠DEB
的度数；
（
2
）若
⊙O
的半径为
2
，点
F
在
AB
的延长线上，且
BF
＝
2
，求证：
DF
与
⊙O
相切．
9.
如图，
⊙O
是的外接圆，
AB
是
⊙O
的直径，点
D
是上一点，且＝，
AD
交
BC
于
点
E
，延长
BC
到
F
，使
AF
＝
AE.
（
1
）求证：
AF
是
⊙O
的切线；
（
2
）若
EF
＝
12
，
AC
＝
8
，求
⊙O
的半径
.
10.
如图，
AB
是
⊙O
的直径，点
C
是
⊙O
上一点，过点
C
作
⊙O
的切线交
AB
的延长线于点
D
，过点
D
作
DE⊥AD
交
AC
的延长线于点
E.
4
（
1
）求证：
DC
＝
DE
；
（
2
）若
BD
＝
1
，
DE
＝
3
，求
⊙O
的半径
.
11.
如图，是的直径，点
P
在的延长线上，切于点，垂足为
D
，连
接．
（
1
）求证：；
（
2
）若，求的半径．
12.
如图，
AB
是
⊙O
的直径，
C
为
⊙O
上一点，
M
是半径
OB
上动点（不与
O
、
B
重合），过点
M
作
EM⊥AB
，
交
BC
于点
D
，交
AC
的延长线于点
E
，点
F
为
ED
的中点，连接
FC.
（
1
）求证：
FC
为
⊙O
的切线；
（
2
）当
M
为
OB
的中点时，若
CE
＝
8
，
CF
＝
5
，求
⊙O
的半径长
.
13.
如图，在
△ABC
中，
AB=AC
，以
AB
为直径的
⊙O
交
BC
于点
D
，过点
D
作
⊙O
的切线
DE
，交
AC
于点
E
，
CA
的延长线交
⊙O
于点
F
。
（
1
）求证：
DE⊥AC
。
（
2
）若
DE+EA=8
，
AF=16
。求
⊙O
的半径。
14.
如图，
AB
是
⊙O
的直径，延长
AB
到点
P
，过点
P
作
⊙O
的切线
PC
，
C
为切点，连接
AC
和
BC.
5
（
1
）求证：；
（
2
）当
BP
＝
AB
时，求
∠P
的度数
.
15.
如图，
△ABC
中，
AB
＝
AC.
以
AB
为直径的
⊙O
与
BC
相交于点
D.
与
CA
的延长线相交于点
E
，过点
D
作
DF⊥AC
于点
F.
（
1
）求证：
DF
是
⊙O
的切线；
（
2
）若
AC
＝
3AE
，
AH⊥AB
交
BC
于
H
，求
tan∠AHB
的值
.
16.
如图，
△ABC
中，
AB=AC
，以
AB
为直径的
⊙O
与
BC
相交于点
D
，与
CA
的延长线相交于点
E
，过点
D
作
DF⊥AC
于点
F.
（
1
）试说明
DF
是
⊙O
的切线；
（
2
）若
AC=3AE
，求
tanC.
17.
如图，在中，，以为直径作，点为上一点，过作
交于，交过点的切线于点
.
6
（
1
）求证：；
（
2
）若，，求的值
.
18.
如图，在
△ABC
中，点
D
是
AC
边上一点，以
AD
为直径的
⊙O
与边
BC
切于点
E
，且
AB
＝
BE.
（
1
）求证：
AB
是
⊙O
的切线；
（
2
）若
BE
＝
3
，
BC
＝
7
，求
⊙O
的半径长；
（
3
）求证：＝
CD•CA.
19.
如图，在以
AG
为直径的半圆
C
中，
∠ACB
＝
90°
，且
BC
＝
AC
＝
6
，
D
为半圆上的一动点
.
（
1
）当
BD
＝
2
时，试判断直线
BD
与半圆
C
的位置关系，并说明理由
.
（
2
）当
∠BCD
＝
50°
时，求的长
.
（结果保留
π
）
20.
已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点
.
与交于点，点为的延长线上一点，且
.
（
1
）求证：是的切线；
（
2
）求证：
.
21.
如图，在
Rt△ABC
中，
∠ACB
＝
90º
，
AO
是
△ABC
的角平分线
.
以
O
为圆心，
OC
为半径作
⊙O.
7
（
1
）求证：
AB
是
⊙O
的切线
.
（
2
）已知
AO
交
⊙O
于点
E
，延长
AO
交
⊙O
于点
D
，
tan∠ADC
＝，求的值
.
22.
如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点
在上，满足
.
（
1
）求证：是的切线；
（
2
）若，，求线段的长
.
8
答案解析部分
一、综合题
1.
【答案】（
1
）相切，
证明：如图，连，，
是的直径，
，
又，
是的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
是的切线
.
（
2
）解：，，
，
，
连接，则，
，
.
【解析】【分析】（
1
）连接
OD
，
AD
，利用直径所对的圆周角等于
90°
可证得
AD⊥BC
，再证明
OD
是
△ABC
的中位线，利用三角形的中位线定理可证得
OD∥AC
，由此可证得
OD⊥DF
，利用切线的判定定理可证得
结论；
（
2
）利用三角形的内角和定理可求出
∠DAC
，利用圆周角定理求出
∠BOE
的度数，连接
OE
，可求出
∠AOE
的度数，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积
.
9
2.
【答案】（
1
）解：
CB
与
⊙O
相切，
理由：连接
OB
，
∵OA
＝
OB
，
∴∠OAB
＝
∠OBA
，
∵CP
＝
CB
，
∴∠CPB
＝
∠CBP
，
∵∠CPB
＝
∠APO
，
∴∠CBP
＝
∠APO
，
在
Rt△AOP
中，
∵∠A+∠APO
＝
90°
，
∴∠OBA+∠CBP
＝
90°
，
即：
∠OBC
＝
90°
，
∴OB⊥CB
，
∴CB
与
⊙O
相切；
（
2
）解：
∵∠A
＝
30°
，
∠AOP
＝
90°
，
∴∠APO
＝
60°
，
∴∠BPD
＝
∠APO
＝
60°
，
∵PC
＝
CB
，
∴△PBC
是等边三角形，
∴∠PCB
＝
∠CBP
＝
60°
，
∴∠OBP
＝
∠POB
＝
30°
，
∴OP
＝
PB
＝
PC
＝
1
，
∴BC
＝
1
，
∴OB
＝，
∴
图中阴影部分的面积＝
S△OBC﹣
S扇形OBD
＝
×1×
﹣．
【解析】【分析】（
1
）先求出
∠OAB
＝
∠OBA
，再求出
∠OBC
＝
90°
，最后证明求解即可；
（
2
）先求出
△PBC
是等边三角形，再利用勾股定理求出
OB
的值，最后求面积即可。
3.
【答案】（
1
）解：连接
AE
，如图所示：
10
∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠AEB=90°
，
∴∠BAE+∠ABE=90°
，
∵AB=AC
，
∴2∠BAE=∠CAB
，
∵∠BAC=2∠CBF
，
∴∠BAE=∠CBF
，
∴∠CBF+∠ABE=90°
，
即
∠ABF=90°
，
∵AB
是
⊙O
的直径，
∴
直线
BF
是
⊙O
的切线；
（
2
）解：
∵OA=CF=3
，
∴AC=AB=2OA=6
，
AF=AC+CF=9
，
∴CF=AF
，
∵∠ABF=90°
，
∴
，
∴△BCF
的面积
=△ABF
的面积
=
．
【解析】【分析】（
1
）连接
AE
，根据圆周角定理得出
∠AEB=90°
，由
AB=AC
，利用等腰三角形三线合
一的性质得出
2∠BAE=∠CAB
，由
∠BAC=2∠CBF
，可得
∠BAE=∠CBF
，从而得出
∠CBF+∠ABE=
∠BAE+∠ABE=90°
，即
∠ABF=90°
，根据切线的判定定理即证；
（
2
）求出
AC=AB=2OA=6
，
AF=AC+CF=9
，从而得出
CF=AF
，利用勾股定理求出
BF
的长，由
△BCF
的面积
=△ABF
的面积，利用三角形的面积公式计算即可
.
4.
【答案】（
1
）解：如图，连接
MF
，连接
MO
，并延长
MO
交
EF
于
H
，
11
∵MN
与
⊙O
相切，
∴MH⊥MN
，
∵MN∥EF
，
∴MH⊥EF
，
∴HE=HF
，
∴ME=MF
，
∵ME=EF
，
∴ME=EF=MF
，
∴△MEF
为等边三角形，
∴∠E=60°
，
∴cos∠E=cos60°=
．
（
2
）解：如图，连接
OM
，
OE
，过
O
作
OA⊥EM
，
由（
1
）知
△MEF
为等边三角形，
∴∠EOM=120°
，
∴∠AEO=30°
，
∵OE=2
，
∴OA=1
，
∴
，
∴EM=
，
∴
，
∴
阴影部分面积
=
．
12
【解析】【分析】（
1
）连接
MF
，连接
MO
，并延长
MO
交
EF
于
H
，判断出
△MEF
为等边三角形即可求出
cos∠E
；
（
2
）连接
OM
，
OE
，过
O
作
OA⊥EM
，根据圆周角和圆心角的关系可得到
∠EOM=120°
和
∠AEO=30°
，进而
可求出
OA
和
EM
，然后根据阴影部分面积
=
计算即可．
5.
【答案】（
1
）证明：过
O
作
OD⊥AB
于
D
，如图所示：
∵∠ACB
＝
90°
，
∴OC⊥AC
，
∵OA
平分
∠BAC
，
∴OD
＝
OC
，
∵OC
为
⊙O
的半径，
∴OD
为
⊙O
的半径，
∴AB
是
⊙O
的切线
（
2
）解：
∵OD⊥AB
，
∴∠ODB
＝
90°
，
∵∠B
＝
30°
，
∠ACB
＝
90°
，
∴OB
＝
2OD
，
AC
＝
BC
＝
4
，
∵OC
＝
OD
，
BC
＝
12
，
∴BC
＝
3OC
＝
12
，
∴OD
＝
OC
＝
4
，
∵∠BOD
＝
90°
﹣
30°
＝
60°
，
∴∠COD
＝
120°
，
由（
1
）得：
AB
是
⊙O
的切线，
OC⊥AC
，
∴AC
为
⊙O
的切线，
∴AD
＝
AC
＝
4
，
∴
阴影部分面积＝
△AOC
的面积
+△AOD
的面积﹣扇形
OCD
的面积
＝
×4×4+×4×4
﹣
13
＝
16
﹣
【解析】【分析】（
1
）过
O
作
OD⊥AB
于
D
，根据角平分线的性质得出
OD=OC
，根据切线的判定定理
即证；
（
2
）根据
30°
直角三角形的性质求出
OB
＝
2OD
，
AC
＝
BC
＝
4
，从而得出
BC
＝
3OC
＝
12
，求
出
OD
＝
OC
＝
4
，
∠COD=120°
，根据切线长定理得出
AD
＝
AC
＝
4
，由阴影部分面积＝
△AOC
的面
积
+△AOD
的面积﹣扇形
OCD
的面积，根据三角形的面积公式及扇形的面积公式计算即可
.
6.
【答案】（
1
）证明：连接
OD
，
CD
，
∵DE
是圆
O
的切线，
∴∠ODE=90°
，
∴∠ODC+∠EDC=90°
∵BC
是直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°
，
∴∠ADE+∠EDC=90°
，
∴∠ADE=∠ODC
，
∵AC=BC
，
∴∠ACB=2∠DCO
，
∵OD=OC
，
∴∠ODC=∠DCO=∠ADE
∴∠ACB=2∠ADE.
（
2
）解：在
Rt△ADE
中
.
∴AD=2AE,
∴∠ADE=30°
，
∠A=∠B=∠ODB=60°
，
∴∠DOC=∠B+∠ODB=60°+60°=120°
，
△ABC
是等边三角形，
∴BC=AB
∵AC=BC
，
CD⊥AB
，
14
∴AB=2AD=,
∴
∴
的长为
.
【解析】【分析】（
1
）连接
OD
，
CD
，利用切线的性质可证得
∠ODC+∠EDC=90°
；利用圆周角定理可推
出
∠ADE+∠EDC=90°
，即可得到
∠ADE=∠ODC
，利用等腰三角形的性质可证得
∠ACB=2∠DCO
，
∠ODC=∠DCO=∠ADE
，由此可证得结论
.
（
2
）利用勾股定理求出
AD
的长；可得到
AD=2AE
；再证明
∠DOC=120°
，
△ABC
是等边三角形，再求出
OC
的长；然后利用弧长公式可求出弧
CD
的长
.
7.
【答案】（
1
）解：如图，连接，
∵
弦于点
M
，是半径，
∴
点
M
是的中点．
又
∵
点
M
是的中点，
∴
四边形是平行四边形．
∵
，
∴
四边形是菱形．
∴
．
∴
是等边三角形，
∴
；
（
2
）证明：由（
1
）知，四边形是菱形，是等边三角形．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，
∴
．
∴
是的切线．
15
【解析】【分析】（
1
）如图，连接，证明四边形是菱形，利用菱形的性质和圆的性质
推知是等边三角形，则；
（
2
）由（
1
）得出，再得出，
证明即可．
8.
【答案】（
1
）解：连接
OB
，如图，
∵AB
与
⊙O
相切于点
B
，
∴∠ABO
＝
90°
，
∵sinA
＝，
∴∠A
＝
30°
，
∴∠BOD
＝
∠ABO
＋
∠A
＝
120°
，
∴∠BED
＝
∠BOD
＝
60°
；
（
2
）证明：连接
OF
，
OB
，
∵AB
是切线，
∴∠OBF
＝
90°
，
∵BF
＝
2
，
OB
＝
2
，
∴tan∠BOF==
，
∴∠BOF
＝
60°
，
∵∠BOD
＝
120°
，
∴∠BOF
＝
∠DOF
＝
60°
，
在
△BOF
和
△DOF
中，
16
，
∴△BOF≌△DOF
（
SAS
），
∴∠OBF
＝
∠ODF
＝
90°
，
∴DF
与
⊙O
相切．
【解析】【分析】（
1
）连接
OB
，由切线求出
∠ABO
的度数，再由三家函数求出
∠A
，由三角形的外角求
得
∠BOD
，最后由圆周角与圆心角的关系求解即可；
（
2
）连接
OF
，
OB
，证明
△BOF≌△DOF
，得到
∠OBF
＝
∠ODF
＝
90°
，便可得出结论。
9.
【答案】（
1
）证明：
∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠ACB=90°
，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵
＝，
∴∠CAD=∠ABC
，
∵∠ECA=∠ACB
，
∴△CAE∽△CBA
，
∴∠CAB=∠CEA
，
∵AF
＝
AE
，
AC⊥EF
，
∴∠CAE=∠FAC
，
CE=CF
，
∵∠FAB=∠FAC+∠CAB=∠EAC+∠CEA=180°-∠ACE=90°
，
∴AF
是
⊙O
的切线；
（
2
）解：
∵CE=CF=
，
AC=8
，
在
Rt△ACE
中，由勾股定理得，
由（
1
）得
△CAE∽△CBA
，
∴
，即，
解得，
∴OA=OB=.
【解析】【分析】
(1)
根据圆周角定理可得
∠ACB=∠ACF=90°
，根据等弧所对的圆周角相等得出
∠CAD
=∠ABC
，从而判断出
△CAE∽△CBA
，根据相似三角形的对应角相等得出
∠CAB=∠CEA
，根据
等腰三角形的性质得到
∠FAC=∠EAC
，求得
∠CAE=∠ABF
，得到
∠ABF=∠CAF
，推得
∠FAB=90°
，根据切线
的判定定理即可得证；
(2)
根据等腰三角形的性质得到
CF=EF=6
，在
Rt△ACE
中，由勾股定理得到
AE=10
，再根据相似三角
形的性质列出比例式求解即可得到结果
.
17
10.
【答案】（
1
）证明：连接
BC
，
OC
，
∵CD
是
⊙O
的切线，
∴OC⊥CD
，
∴∠OCB
＋
∠DCB
＝
90°
，
∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠ACB
＝
90°
，
∴∠ACO
＋
∠OCB
＝
90°
，
∴∠ACO
＝
∠DCB
，
∵OA
＝
OC
，
∴∠A
＝
∠ACO
，
∴∠A
＝
∠DCB
，
∵DE⊥AD
，
∴∠A
＋
∠E
＝
∠A
＋
∠ABC
＝
90°
，
∴∠ABC
＝
∠E
，
∵∠ABC
＝
∠CDB
＋
∠DCB
，
∠DCE
＝
∠A
＋
∠CDB
，
∴∠DCE
＝
∠ABC
，
∴∠DCE
＝
∠E
，
∴CD
＝
DE
；
（
2
）解：
∵∠BCD
＝
∠A
，
∠CDB
＝
∠ADC
，
∴△BCD∽△CAD
，
∴
，
∵BD
＝
1
，
DC
＝
DE
＝
3
，
∴
，
∴AD
＝
9
，
∴AB
＝
AD
﹣
BD
＝
8
，
∴⊙O
的半径为
4.
【解析】【分析】（
1
）连接
BC
，
OC
，利用切线的性质可证得
OC⊥CD
，可得到
∠OCB
＋
∠DCB
＝
90°
；再
利用圆周角定理可得
∠ACB=90°
，利用余角的性质可证得
∠ACO
＝
∠DCB
，利用等腰三角形的性质去证明
18
∠A
＝
∠DCB
；然后利用垂直的定义及三角形的外角的性质可推出
∠DCE=∠E
，利用等角对等边，可证得结
论
.
（
2
）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得
△BCD∽△CAD
；再利用相似三角形的对应边成比
例可求出
AD
的长；然后根据
AB=AD-BD
，代入计算求出
AB
的长
.
11.
【答案】（
1
）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
．
，
（
2
）解：设半径为
x
，则，．
在中，由勾股定理得，
，
解得，
的半径为
3
．
【解析】【分析】（
1
）先求出
∠PCO=∠D
，再求出
CO//BD
，最后求解即可；
（
2
）根据，求出，即可作答。
12.
【答案】（
1
）证明：如图，连接
OC
，
19
∵OB
＝
OC
，
∴∠OBC
＝
∠OCB
，
∵EM⊥AB
，
∴∠BME
＝
90°
，
∴∠OBC
＋
∠BDM
＝
90°
，
∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠ACB
＝
∠ECD
＝
90°
，
∵F
是
DE
的中点，
∴FC
＝
FD
，
∠FCD
＝
∠FDC
，
∵∠FDC
＝
∠BDM
，
∴∠OCB
＋
∠FCD
＝
90°
，
∴OC⊥FC
，
∴FC
是
⊙O
的切线；
（
2
）解：
∵AB
是
⊙O
的直径，
∴∠ACB
＝
90°
，
∴∠BCE
＝
90°
，
∴∠FCE
＋
∠DCF
＝
90°
，
∵∠CDF
＋
∠E
＝
90°
，
∠DCF
＝
∠CDF
，
∴∠E
＝
∠FCE
，
∴CF
＝
EF
＝
5
，
∴DF
＝
CF
＝
5
，
∴CD
＝，
∴tan∠CDE=
，
∵∠BDM
＝
∠CDE
，
∴tan∠BDM
＝，
设
⊙O
的半径为
R
，则
BM=
，
20
∴DM=
，
连接
OF
，
∵
，
∴
，
解得：
.
【解析】【分析】（
1
）连接
OC
，由等腰三角形的性质得出
∠OBC
＝
∠OCB
，根据直角三角形的性质
可得
FC=FD
，从而得出
∠FCD
＝
∠FDC
从而得出
∠OCB
＋
∠FCD=∠OBC+∠FDC=90°
，即得
∠FCO=90°
，根据切线的判定定理即证；
（
2
）根据圆周角定理得出
∠ACB
＝
90°
，从而求出
∠E
＝
∠FCE
，利用等角对等边可得
CF
＝
EF=DF
＝
5
，在
Rt△ECD
中，利用勾股定理求出
CD=8
，从而求出
tan∠CDE=
，即得
tan∠BDM
＝，
设
⊙O
的半径为
R
，则
BM=
，可求出
DM=
，连接
OF
，由
，建立关于
R
的方程，解出
R
值即可
.
13.
【答案】（
1
）证明：
∵OB
＝
OD
，
∴∠ABC
＝
∠ODB
，
∵AB
＝
AC
，
∴∠ABC
＝
∠ACB
，
∴∠ODB
＝
∠ACB
，
∴OD∥AC
．
∵DE⊥AC
，
OD
是半径，
∴DE⊥OD.
（
2
）解：如图，过点
O
作
OH⊥AF
于点
H
，连接
OD
，
21
则
∠ODE
＝
∠DEH
＝
∠OHE
＝
90°
，
∴
四边形
ODEH
是矩形，
∴OD
＝
EH
，
OH
＝
DE
．
∴AH
＝
AF
＝
8
，
设
AE
＝
x
，
∵DE
＋
AE
＝
8
，
∴OH
＝
DE
＝
8−x
，
OA
＝
OD
＝
HE
＝
AH
＋
AE
＝
8
＋
x
，
在
Rt△AOH
中，
AH2＋
OH2＝
OA2，
∴82＋（
8−x
）2＝（
8
＋
x
）2，
解得：
x
＝
2
，
∴OA
＝
8
＋
2
＝
10
．
∴⊙O
的半径为
10
．
【解析】【分析】（
1
）利用等腰三角形的性质去证明
∠ODB
＝
∠ACB
，利用平行线的判定定理可证得
OD∥AC
；然后证明
DE⊥OD
，利用切线的判定定理，可证得结论
.
(2
）过点
O
作
OH⊥AF
于点
H
，连接
OD
，易证四边形
ODEH
是矩形，利用矩形的性质可证得
OD
＝
EH
，
OH
＝
DE
，利用垂径定理求出
AH
的长，设
AE
＝
x
，可表示出
OH
，
OA
的长；在
Rt△AOH
中，利用勾股定理建
立关于
x
的方程，解方程求出
x
的值，可得到
OA
的长
.
14.
【答案】（
1
）证明：连接
OC
，如图：
∵AB
是直径，
∴∠ACB
＝
90°
，
∵PC
是切线，
∴∠PCO
＝
90°
，
∴∠PCO
＝
∠ACB
＝
90°
，
∵OA
＝
OC
，
∴∠A
＝
∠ACO
，
∴∠A
＝
∠PCB
，
∵∠P
＝
∠P
，
22
∴△APC∽△CPB
；
（
2
）解：
∵
，，
∴BP
＝
OB
，
∴B
是
OP
中点，
∵△OCP
是直角三角形，
∴
，
∴△OBC
是等边三角形，
∴∠COB
＝
60°
，
∴∠P
＝
30°.
【解析】【分析】（
1
）连接
CO
，根据直径所对的圆周角是直角，结合切线的性质，根据同角的余角相等
推出
∠A=∠PCB
，又知
∠P
为公共角，则可证明
△APC∽△CPB
；
（
2
）由于
OA=OB
，结合
BP
＝
AB
，则可推出
CB=OB=BP
，从而得出
△OCP
是等边三角形，则知
∠COB
为
60°
，即可求出
∠P.
15.
【答案】（
1
）证明：连接
OD
，
∵OB
＝
OD
，
∴∠OBD
＝
∠ODB
，
∵AB
＝
AC
，
∴∠OBD
＝
∠C
，
∴∠ODB
＝
∠C
，
∴OD∥AC
，
∵DF⊥AC
，
∴OD⊥DF
，点
D
在
⊙O
上，
∴DF
是
⊙O
的切线
（
2
）解：连接
BE
，
∵AB
是直径，
∴∠AEB
＝
90°
，
23
∵AB
＝
AC
，
AC
＝
3AE
，
∴AB
＝
3AE
，
CE
＝
4AE
，
∠ABC
＝
∠C
，
∴BE
＝＝
2AE
，
在
Rt△BEC
中，
tan∠C
＝＝
.
∴tan
，
∵AH⊥AB
，
∴∠BAH
＝
90°
，
设
AH
＝
a
，
AB
＝
2a
，
∴tan∠AHB
＝＝＝
【解析】【分析】（
1
）连接
OD
，根据等腰三角形的性质得出
∠ODB
＝
∠C
，可得
OD∥AC
，由
DF⊥AC
，
可证
OD⊥DF
，根据切线的判定定理即证结论；
（
2
）连接
BE
，由
AB
是直径，可得
∠AEB
＝
90°
，由
AB
＝
ACAC
＝
3AE
，可得
AB
＝
3AE
，
CE
＝
4AE
，
∠ABC
＝
∠C
，利用勾股定理求出
BE=2AE
，根据
tan∠C
＝＝
=tan∠ABC
，可设
AH
＝
a
，
AB
＝
2a
，根据
tan∠AHB
＝即可
求值
.
16.
【答案】（
1
）解：连接
OD
，
∵OB=OD
，
∴∠B=∠ODB
，
∵AB=AC
，
∴∠B=∠C
，
∴∠ODB=∠C
，
∴OD∥AC
，
∵DF⊥AC
，
∴OD⊥DF
，
∴DF
是
⊙O
的切线
24
（
2
）解：连接
BE
，
∵AB
是直径，
∴∠AEB=90°
，
∵AB=AC
，
AC=3AE
，
∴AB=3AE
，
CE=4AE
，
∴BE=
，
在
RT△BEC
中，
tanC=.
【解析】【分析】（
1
）连接
OD
，利用等腰三角形的性质可证得
∠B=∠ODB
，
∠B=∠C
，可推出
∠ODB=∠C
，
利用平行线的判定定理可得到
OD∥AC
，结合已知条件可证得
OD⊥DF
，然后根据切线的判定定理可证得
结论
.
（
2
）连接
BE
，利用圆周角定理可证得
∠AEB=90°
，再利用勾股定理表示出
BE
的长，然后利用锐角三角函
数的定义可求出
tanC
的值
.
17.
【答案】（
1
）证明：连接，
∵CE
是
⊙O
的切线，
∴
，
，
又，，
，
，
，
；
（
2
）解：作于，于，
25
∴
，
设，，
∵
，
∴
，，
在
Rt△BDF
中，，
即，
，
设，，
则，，，，，
∵BD=BM=
，
∠OMB=∠FDB=90
，
∠OBM=∠FBD
，
∴△OBM△FBD(ASA)
，
∴OB=BF=
，
，
∵
，，
∴DF∥CH
，
∴
，
，
，
在四边形
CODE
中，
∠OCE=∠ODE=90
，
∴∠CED+∠COD=180
，
又
∵∠AOC+∠COD=180
，
∴∠CED=∠AOC
，
.
26
【解析】【分析】
(1)
连接
OC
，由切线的性质和圆周角定理，结合等腰三角形的性质证出
∠BCE=∠EFC
，根
据等角对等边即可得出结果；
(2)
作
CH⊥AB
于
H
，
OM⊥BC
于
M
，设
CF=DF=a,BD=b
，则可得出
BC=2b
，
BF=2b-a,
在
Rt△BDF
中，由勾股定理得到
b=a
，再设
a=3x,b=4x
，则
BF=5x,BC=8x,BM=4x
，结合
DF∥CH
，利用平行线
分线段成比例定理以及锐角三角函数的定义求解即可
.
18.
【答案】（
1
）证明：连接
OB
、
OE
，如图所示：
在
△ABO
和
△EBO
中，
，
∴△ABO≌△EBO
（
SSS
），
∴∠BAO
＝
∠BEO
，
∵⊙O
与边
BC
切于点
E
，
∴OE⊥BC
，
∴∠BEO
＝
∠BAO
＝
90°
，
即
AB⊥AD
，
∴AB
是
⊙O
的切线；
（
2
）解：
∵BE
＝
3
，
BC
＝
7
，
∴AB
＝
BE
＝
3
，
CE
＝
4
，
∵AB⊥AD
，
∴AC
＝＝＝
2
，
∵OE⊥BC
，
∴∠OEC
＝
∠BAC
＝
90°
，
∠ECO
＝
∠ACB
，
∴△CEO∽△CAB
，
∴
，
即，
27
解得：
OE
＝，
∴⊙O
的半径长为
.
（
3
）证明：连接
AE
，
DE
，
∵AD
是
⊙O
的直径，
∴∠AED
＝
90°
，
∴∠AEB
＋
∠DEC
＝
90°
，
∵BA
是
⊙O
的切线，
∴∠BAC
＝
90°
，
∴∠BAE
＋
∠EAD
＝
90°
，
∵AB
＝
BE
，
∴∠BAE
＝
∠BEA
，
∴∠DEC
＝
∠EAD
，
∴△EDC∽△AEC
，
∴
，
∴
＝
CD•CA.
【解析】【分析】（
1
）连接
OB
、
OE.
因为
OA
和
OE
都是半径，所以，
OA=OE.
又因为
AB
＝
BE
，
OB=OB
，
可得
△ABO≡△EBO
（
SSS
）
.
所以
∠BAO=∠BEO.
因为
BC
是
⊙O
的切线，所以
OE⊥BC
，所以
∠BEO=∠BAO=90°
，
所以
AB
是
⊙O
的切线
.
（
2
）由题意可知，
AB
＝
BE
＝
3
，
AB
＝
BE
＝
3
；因为
BC=7
，所以
CE
＝
4.
在
Rt△ABC
中，由勾股定
理，可得
AC=.
根据
∠OEC
＝
∠BAC
＝
90°
和
∠ECO
＝
∠ACB
，可知
△CEO∽△CAB
，所以，
代入数值可得，
OE=.
（
3
）连接
AE
，
DE.
因为
AD
是直径，所以
∠AED=90°
，所以
∠AEB+∠CED=90°.
因为
AB
是
⊙O
的切
线，所以
∠BAE+∠CAE=90°.
因为
AB
＝
BE
，所以
∠AEB=∠BAE
，所以
∠CED=∠CAE.
因为
∠C=∠C
，
所以
△EDC∽△AEC
，所以，即＝
CD•CA.
19.
【答案】（
1
）解：直线
BD
与圆
C
相切
.
理由如下：
∵BC=AC=6
，
28
∴
又
CD=AC
，
∴
∴BC2-CD2=36-12=24
，
∵BD=2
，
∴BD2=24
，
∴BC2-CD2=BD2，
∴∠BDC=90°
，
∴
线
BD
与圆
C
相切；
（
2
）解：
∵∠ACB
＝
90°
，
∠BCD
＝
50°
，
∴
，
又，
∴
的长
=.
【解析】【分析】（
1
）通过计算可得
BC2-CD2=BD2，于是根据勾股定理的逆定理可得
∠BDC=90°
，再由
圆的切线的判定定理即可判断求解；
（
2
）由角的构成可求得
∠ACD
的度数，然后根据弧长公式
L=
计算即可求解
.
20.
【答案】（
1
）证明：
∵
，
又
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即，
∴
，
∴
是的切线
（
2
）证明：连接，如图所示：
∵
，
29
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
【解析】【分析】（
1
）由圆周角定理和已知条件证出
∠ODB
＝
∠ABC
，再证出
∠ABC
＋
∠DBF
＝
90°
，即
∠OBD
＝
90°
，即可得出
BD
是
⊙O
的切线；
（
2
）连接
AC
，由垂径定理得出，得出
∠CAE
＝
∠ECB
，再由公共角
∠CEA
＝
∠HEC
，证明
△CEH∽△AEC
，得出对应边成比例，即可得出结论
.
21.
【答案】（
1
）证明：过点
O
作
OF⊥AB
，
∵∠ACB=90°
，
∴OC⊥AC
，
又
∵OA
是
∠CAB
的角平分线，
∴OF=OC
，
∴AB
是
⊙O
的切线
.
（
2
）解：连接
CE
，
∵DE
是
⊙O
的直径，
∴∠ECD=90°
，
∴tanD=
，
∵OC=OD
，
∴∠OCD=∠ADC
，
又
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=90°+∠ADC
，
∠ACD=∠ACO+∠OCD=90°+∠OCD=90°+∠ADC
，
∴∠AEC=∠ACD
，
∵∠CAE=∠CAD
，
∴△AEC∽△ACD
，
30
∴
；
【解析】【分析】（
1
）过点
O
作
OF⊥AB
，利用角平分线的性质可证得
OF=OC
，再根据
OC⊥AC
，可证得
AB
是圆
O
的切线；
（
2
）连接
CE
，利用直径所对的圆周角等于
90°
可证得
∠ECD=90°
，利用锐角三角函数的定义可得到
CE
与
CD
的比值，再证明
∠AEC=∠ACD
，由此可得到
△AEC∽△ACD
，利用相似三角形的对应边成比例，可求出
AE
与
AC
的比值
.
22.
【答案】（
1
）证明：连接
OB
，如图，
∵AD
是
⊙O
的直径，
∴∠ABD=90°
，
∴∠A+∠ADB=90°
，
∵OA=OB
，
∴∠A=∠OBA
，
∵∠CBE=∠ADB
，
∴∠OBA+∠CBE=90°
，
∴∠OBC=180°-90°=90°
，
∴BC⊥OB
，
∴BC
是
⊙O
的切线
（
2
）解：
∵AD
是
⊙O
的直径，
∴∠ABD=90°
，
∴∠A=60°
，
∵OE⊥AD
，
∴∠AOE=90°
，
∴∠E=30°
，
∵∠CBE=30°
，
∴∠CBE=∠E=30°
，
∴CE=CB
，
∴∠BCO=60°
，
31
在中
∴BC=OB=
，
∴CE=
【解析】【分析】（
1
）连接
OB
，根据圆周角定理得到
∠ABD
＝
90°
，再根据等腰三角形的性质和已知条件
证出
∠OBC
＝
90°
，然后由圆的切线的判定可求解；
（
2
）根据圆周角定理得到
∠ABD
＝
90°
，则
∠A
＝
60°
，
∠E
＝
30°
，根据等腰三角形的性质得到
CE
＝
CB
，由
三角形外角的性质得到
∠BCO
＝
60°
，解直角三角形即可求解．
本文发布于:2022-11-14 10:37:04，感谢您对本站的认可！
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