2017高考全国卷1

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将

试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按

以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x}，则

A．{|0}ABxxIB．ABRU

C．{|1}ABxxUD．ABI

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形

的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．

1

4

B．

π

8

C．

1

2

D．

π

4

3．设有下面四个命题

1

p：若复数z满足

1

z

R，则zR；

2

p：若复数z满足2zR，则zR；

3

p：若复数

12

,zz满足

12

zzR，则

12

zz；

4

p：若复数zR，则zR.

其中的真命题为

A．

13

,ppB．

14

,ppC．

23

,ppD．

24

,pp

4．记

n

S为等差数列{}

n

a的前

n

项和．若

45

24aa，

6

48S，则{}

n

a的公差为

A．1B．2C．4D．8

5．函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的

x

的取值范围

是

A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]

6．6

2

1

(1)(1)x

x

展开式中2x的系数为

A．15B．20C．30D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为

2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10B．12C．14D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．A>1000和n=n+1

B．A>1000和n=n+2

C．A1000和n=n+1

D．A1000和n=n+2

9．已知曲线C

1

：y=cosx，C

2

：y=sin(2x+

2π

3

)，则下面结论正确的是

A．把C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得

到曲线C

2

B．把C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，

得到曲线C

2

C．把C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得

到曲线C

2

D．把C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，

得到曲线C

2

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l

1

，l

2

，直线l

1

与C交于A、B两点，

直线l

2

与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16B．14C．12D．10

11．设xyz为正数，且235xyz，则

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数

学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，

1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，

21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件

的激活码是

A．440B．330C．220D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

14．设x，y满足约束条件

21

21

0

xy

xy

xy

















，则32zxy的最小值为.

15．已知双曲线C：

22

22

1

xy

ab

（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线

C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O

上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别

以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的

边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin

a

A

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDPo.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90APDo，求二面角A-PB-C的余弦值.

19

．（

12

分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16

个零件，并测量其

尺寸（单位：

cm

）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

2(,)N．

（

1

）假设生产状态正常，记

X

表示一天内抽取的

16

个零件中其尺寸在

(3,3)

之外的零件数，

求

(1)PX

及X的数学期望；

（

2

）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在

(3,3)

之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的

16

个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

16

1

1

9.97

16i

i

xx



，

1616

2222

11

11

()(16)0.212

1616ii

ii

sxxxx



，其中

i

x

为抽取

的第i个零件的尺寸，

1,2,,16i

．

用样本平均数x作为



的估计值

ˆ

，用样本标准差

s

作为



的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当

天的生产过程进行检查？剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)

之外的数据，用剩下的数据估计



和



（精确到

0.01

）．

附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则

(33)0.9974PZ

，

160.99740.9592，0.0080.09．

20.（12分）

已知椭圆C：

22

22

=1

xy

ab

（a>b>0），四点P

1

（1,1），P

2

（0,1），P

3

（–1，

3

2

），P

4

（1，

3

2

）中恰有

三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P

2

点且与C相交于A，B两点.若直线P

2

A与直线P

2

B的斜率的和为–1，证明：l过

定点.

21.（12分）

已知函数

)fx（

ae2

x+(a

﹣

2)ex﹣

x.

（

1

）讨论

()fx

的单调性；

（

2

）若

()fx

有两个零点，求

a

的取值范围

.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y















（θ为参数），直线l的参数方程为

4,

1,

xat

t

yt











（为参数）.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

2017年新课标1理数答案

1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A

13.2314.55.

23

3

16.415

17.解：（1）由题设得

21

sin

23sin

a

acB

A

，即

1

sin

23sin

a

cB

A

.

由正弦定理得

1sin

sinsin

23sin

A

CB

A

.

故

2

sinsin

3

BC.

（2）由题设及（1）得

1

coscossinsin,

2

BCBC，即

1

cos()

2

BC.

所以

2π

3

BC，故

π

3

A.

由题设得

21

sin

23sin

a

bcA

A

，即8bc.

由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc.

故ABC△的周长为

333

.

18.解：（1）由已知90BAPCDP，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F，

由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.

以F为坐标原点，FA

uuur

的方向为

x

轴正方向，

||AB

uuur

为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

由（1）及已知可得

2

(,0,0)

2

A，

2

(0,0,)

2

P，

2

(,1,0)

2

B，

2

(,1,0)

2

C.

所以

22

(,1,)

22

PC

uuur

，(2,0,0)CB

uuur

，

22

(,0,)

22

PA

uuur

，(0,1,0)AB

uuur

.

设(,,)xyzn是平面PCB的法向量，则

0

0

PC

CB















uuur

uuur

n

n

，即

22

0

22

20

xyz

x















，

可取(0,1,2)n.

设(,,)xyzm是平面PAB的法向量，则

0

0

PA

AB















uuur

uuur

m

m

，即

22

0

22

0

xz

y















，

可取(1,0,1)n.

则

3

cos,

||||3



<>

nm

nm

nm

，

所以二面角APBC的余弦值为

3

3

.

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

(3,3)之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)XB.因此

(1)1(0)10.99740.0408PXPX.

X的数学期望为160.00260.0416EX.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16

个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这

种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程

进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由9.97,0.212xs，得的估计值为

ˆ

9.97，



的估计值为

ˆ

0.212，由样本数据可以看出

有一个零件的尺寸在

ˆˆˆˆ

(3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为

1

(169.979.22)10.02

15

，因此的估计

值为10.02.

16

222

1

160.212169.971591.134

i

i

x



，剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方

差为22

1

(1591.1349.221510.02)0.008

15

，

因此



的估计值为

0.0080.09

.

20.（12分）解：

（1）由于

3

P

，

4

P

两点关于y轴对称，故由题设知C经过

3

P

，

4

P

两点.

又由

2222

1113

4abab



知，C不经过点P

1

，所以点P

2

在C上.

因此

2

22

1

1

13

1

4

b

ab



















，解得

2

2

4

1

a

b















.

故C的方程为

2

21

4

x

y

.

（2）设直线P

2

A与直线P

2

B的斜率分别为k

1

，k

2

，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t，且

||2t

，可得A，B的坐标分别为（t，

24

2

t

），（t，

24

2

t



）.

则

22

12

4242

1

22

tt

kk

tt



，得2t，不符合题设.

从而可设l：

ykxm

（1m）.将

ykxm

代入

2

21

4

x

y

得

222(41)8440kxkmxm

由题设可知22=16(41)0km.

设A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

），则x

1

+x

2

=

2

8

41

km

k





，x

1

x

2

=

2

2

44

41

m

k





.

而12

12

12

11yy

kk

xx





12

12

11kxmkxm

xx





1212

12

2(1)()kxxmxx

xx





.

由题设

12

1kk

，故

1212

(21)(1)()0kxxmxx

.

即

2

22

448

(21)(1)0

4141

mkm

km

kk







.

解得

1

2

m

k





.

当且仅当

1m

时，

0

，欲使l：

1

2

m

yxm





，即

1

1(2)

2

m

yx





，

所以l过定点（2，1）

21.解：（1）()fx的定义域为(,)，2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee



，

（ⅰ）若0a，则()0fx



，所以()fx在(,)单调递减.

（ⅱ）若0a，则由()0fx



得lnxa.

当(,ln)xa时，()0fx



；当(ln,)xa时，()0fx



，所以()fx在(,ln)a单调递减，

在(ln,)a单调递增.

（2）（ⅰ）若0a，由（1）知，()fx至多有一个零点.

（ⅱ）若0a，由（1）知，当lnxa时，()fx取得最小值，最小值为

1

(ln)1lnfaa

a

.

①当1a时，由于(ln)0fa，故()fx只有一个零点；

②当(1,)a时，由于

1

1ln0a

a

，即(ln)0fa，故()fx没有零点；

③当(0,1)a时，

1

1ln0a

a

，即(ln)0fa.

又422(2)e(2)e22e20faa，故()fx在(,ln)a有一个零点.

设正整数

0

n满足

0

3

ln(1)n

a

，则0000

0000

()e(e2)e20nnnnfnaannn.

由于

3

ln(1)lna

a

，因此()fx在(ln,)a有一个零点.

综上，

a

的取值范围为(0,1).

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）曲线C的普通方程为

2

21

9

x

y.

当1a时，直线l的普通方程为430xy.

由2

2

430

1

9

xy

x

y















解得

3

0

x

y











或

21

25

24

25

x

y



















.

从而C与l的交点坐标为(3,0)，

2124

(,)

2525

.

（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为

|3cos4sin4|

17

a

d



.

当4a时，d的最大值为

9

17

a

.由题设得

9

17

17

a

，所以8a；

当4a时，d的最大值为

1

17

a

.由题设得

1

17

17

a

，所以16a.

综上，8a或16a.、

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

解：（1）当1a时，不等式()()fxgx等价于2|1||1|40xxxx.①

当1x时，①式化为2340xx，无解；

当11x时，①式化为220xx，从而11x；

当1x时，①式化为240xx，从而

117

1

2

x



.

所以()()fxgx的解集为

117

{|1}

2

xx



.

（2）当[1,1]x时，()2gx.

所以()()fxgx的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx.

又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，所以(1)2f且(1)2f，得11a.

所以

a

的取值范围为[1,1].