湘郡未来实验学校学费

2022-2023

学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校九年级

（上）入学数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共

12

小题，共

36.0

分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

()

A.B.

C.D.

2.关于

𝑥

的方程𝑘𝑥2−4𝑥+4=0有实数根，

𝑘

的取值范围是

()

A.𝑘<1

且

𝑘≠0B.𝑘<1C.𝑘≤1

且

𝑘≠0D.𝑘≤1

3.某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是

𝑥

，经过两次降价后售价由

298

元

降到了

268

元，根据题意可列方程为

()

A.298(1−𝑥2)=268B.298(1+𝑥)2=268

C.298(1−2𝑥)=268D.298(1−𝑥)2=268

4.下列说法不正确的是

()

A.点

𝐴(−1,2)

在第二象限

B.点

𝑃(−2,−3)

到

𝑦

轴的距离为

2

C.若点

𝐴(𝑎−1,𝑎−2)

在

𝑥

轴上，则

𝑎=1

D.点

𝐴(−3,2)

关于原点的对称点

𝐴′

的坐标是

(3,−2)

5.将二次函数𝑦=(𝑥+1)2−2的图象向右平移

2

个单位长度，再向下平移

3

个单位长度得到的二

次函数解析式是

()

A.𝑦=(𝑥−1)2−5B.𝑦=(𝑥−1)2+1C.𝑦=(𝑥+3)2+1D.𝑦=(𝑥+3)2−5

6.如果二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑐的图象如图所示，那么一次函数

𝑦=𝑎𝑥+𝑐

的图象大致是

()

A.

B.

C.

D.

7.如图，点

𝑂

为矩形

𝐴𝐵𝐶𝐷

的对称中心，点

𝐸

从点

𝐴

出发沿

𝐴𝐵

向点

𝐵

运

动，移动到点

𝐵

停．延长

𝐸𝑂

交

𝐶𝐷

于点

𝐹

，则四边形

𝐴𝐸𝐶𝐹

形状的

变化依次为

()

A.平行四边形

→

菱形

→

平行四边形

→

矩形

B.平行四边形

→

菱形

→

正方形

→

矩形

C.平行四边形

→

正方形

→

平行四边形

→

矩形

D.平行四边形

→

正方形

→

菱形

→

矩形

8.如图，

△𝐴𝐵𝐶

中，

∠𝐵=35°

，

∠𝐵𝐴𝐶=70°

，将

△𝐴𝐵𝐶

绕点

𝐴

旋转逆

时针旋转

𝛼

度

(0<𝛼<180)

后得到

△𝐴𝐷𝐸

，点

𝐸

恰好落在

𝐵𝐶

上，则

𝛼=

()

A.30°

B.35°

C.40°

D.不能确定

9.如图，点

𝐴

，

𝐵

，

𝐶

都在

⊙𝑂

上，若

∠𝐴𝐶𝐵=36°

，则

∠𝑂𝐴𝐵=

()

A.18°

B.54°

C.36°

D.72°

10.如图，在平面直角坐标系

𝑥𝑂𝑦

中，点

𝐴

在

𝑥

轴负半轴上，点

𝐵

在

𝑦

轴

正半轴上，

⊙𝐷

经过

𝐴

，

𝐵

，

𝑂

，

𝐶

四点，

∠𝐴𝐶𝑂=120°

，

𝐴𝐵=4

，

则圆心点

𝐷

的坐标是

()

A.

(

√

3,1)

B.

(−

√

3,1)

C.

(−1,

√

3)

D.

(−2,2

√

3)

11.在平面直角坐标系内，已知点

𝐴(−1,0)

，点

𝐵(1,1)

都在直线

𝑦=1

2

𝑥+1

2

上，若抛物线𝑦=𝑎𝑥

2−

𝑥+1(𝑎≠0)

与线段

𝐴𝐵

有两个不同的交点，则

𝑎

的取值范围是

()

A.𝑎≤−2

成

𝑎≥1B.𝑎<

9

8

或

−2≤𝑎≤1

C.1≤𝑎<

9

8

或

𝑎≤−2D.−2≤𝑎<

9

8

12.抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交

𝑥

轴于

𝐴(−1,0)

，

𝐵(3,0)

，交

𝑦

轴的负半

轴于

𝐶

，顶点为

𝐷.

下列结论：

①2𝑎+𝑏=0

；

②2𝑐<3𝑏

；

③

当

𝑚≠1

时，𝑎+𝑏<𝑎𝑚2+𝑏𝑚；

④

当

△𝐴𝐵𝐷

是等腰直角三角形时，

则

𝑎=

1

2

；

⑤

当

△𝐴𝐵𝐶

是等腰三角形时，

𝑎

的值有

3

个．其中正确

的有个．

()

A.5B.4C.3D.2

二、填空题（本大题共

6

小题，共

18.0

分）

13.在平面直角坐标系中，点

(−2,5)

关于原点对称的点的坐标是

______

．

14.某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为

70

分，综合知识为

80

分，语言表达为

90

分，如果将这三项成绩按

4

：

3

：

3

计入总成绩，则他的总成绩为

______

分．

15.二次函数𝑦=−3𝑥2−2的顶点坐标为

______

．

16.如图，

𝑃𝐴

，

𝑃𝐵

与

⊙𝑂

相切于

𝐴

，

𝐵

两点，点

𝐶

在

⊙𝑂

上，若

∠𝐶=70°

，

则

∠𝑃=

______

°.

17.已知

𝑥

1

，

𝑥

2

是关于

𝑥

的一元二次方程𝑥

2+3𝑥+𝑚=0的两个实数根，且满足

𝑥

1

2+𝑥

2

2=𝑚2−6

，

则

𝑚

的值为

______

．

18.如图，在正方形

𝐴𝐵𝐶𝐷

中，点

𝑀

是

𝐴𝐵

上一动点，点

𝐸

是

𝐶𝑀

的

中点，

𝐴𝐸

绕点

𝐸

顺时针旋转

90°

得到

𝐸𝐹

，连接

𝐷𝐸

，

𝐷𝐹.

给出

结论：

①𝐷𝐸=𝐸𝐹

；

②∠𝐶𝐷𝐹=45°

；

③

若正方形的边长为

2

，则点

𝑀

在射线

𝐴𝐵

上运动时，

𝐶𝐹

有最小值

√

2.

其中结论正

确的是

______

．

三、解答题（本大题共

8

小题，共

66.0

分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.

(

本小题

6.0

分

)

已知：

𝑦

与

𝑥+2

成正比例，且当

𝑥=1

时，

𝑦=−6

．

(1)

求

𝑦

与

𝑥

之间的函数解析式；

(2)

若点

𝑀(𝑚,4)

在这个函数的图象上，求

𝑚

的值．

20.

(

本小题

8.0

分

)

解一元二次方程：

(1)2𝑥2−4𝑥−1=0；

(2)𝑥(𝑥−1)+3(𝑥−1)=0

．

21.

(

本小题

8.0

分

)

学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心

理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了

20

名学生的调查结果

(

满分为

100

分，分数用

𝑥

表示，共分成四组：

𝐴

：

𝑥<85

，

𝐵

：

85≤𝑥<90

，

𝐶

：

90≤𝑥<95

，

𝐷

：

95≤𝑥≤100)

进

行整理、描述和分析，当分数不低于

85

分说明心理健康，下面给出部分信息．

八年级随机抽取了

20

名学生的分数是：

72

，

80

，

81

，

82

，

86

，

88

，

90

，

90

，

91

，

92

，

92

，

92

，

93

，

93

，

95

，

95

，

96

，

96

，

97

，

99

．

九年级随机抽取了

20

名学生的分数中，

𝐴

、

𝐵

两组数据个数相等，

𝐵

、

𝐶

两组的数据是：

86

，

88

，

88

，

89

，

91

，

91

，

91

，

92

，

92

，

93

．

年级八年级九年级

平均数

9089.5

中位数

𝑎𝑏

健康率

80%𝑚%

根据以上信息，回答下列问题：

填空：

(1)𝑎=

______

，

𝑏=

______

；

𝑚=

______

．

(2)

若该校八年级有

800

名学生，九年级有

700

名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共

有多少人？

22.

(

本小题

8.0

分

)

如图，

𝑂

为矩形

𝐴𝐵𝐶𝐷

对角线

𝐴𝐶

的中点，

𝐸𝐹⊥𝐴𝐶

于点

𝑂

，交

𝐴𝐷

，

𝐵𝐶

于点

𝐸

，

𝐹

，连接

𝐴𝐹

，

𝐶𝐸

．

(1)

求证：四边形

𝐴𝐸𝐶𝐹

为菱形；

(2)

若

𝐴𝐵=2

，

𝐵𝐶=4

，求

𝐴𝐸

的长．

23.

(

本小题

8.0

分

)

某商家购进了

𝐴

，

𝐵

两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知

5

套

𝐴

型纪念品与

4

套

𝐵

型纪念品的价

钱一样，

2

套

𝐴

型纪念品与

1

套

𝐵

型纪念品共

260

元．

(1)

求

𝐴

，

𝐵

两种类型纪念品的进价；

(2)

该商家准备再购进一批

𝐴

，

𝐵

两种纪念品，以相同的售价全部售完．设售价为

𝑝

元

/

套，每

天

𝐴

型纪念品的销量为

𝑞

套，且

𝑞

与

𝑝

之间的关系满足

𝑞=−

1

2

𝑝+80.

问：如何确定售价才能使

每天

𝐴

型纪念品销售利润最大？

24.

(

本小题

8.0

分

)

如图，四边形

𝐴𝐵𝐶𝐷

是

⊙𝑂

的内接四边形，且对角线

𝐵𝐷

为直径，过点

𝐴

作

⊙𝑂

的切线

𝐴𝐸

，与

𝐶𝐷

的延长线交于点

𝐸

，已知

𝐷𝐴

平分

∠𝐵𝐷𝐸

．

(1)

求证：

𝐴𝐸⊥𝐷𝐸

；

(2)

若

⊙𝑂

的半径为

5

，

𝐶𝐷=6

，求

𝐴𝐷

的长．

25.

(

本小题

10.0

分

)

如图，已知正方形

𝑂𝐶𝐷𝐸

中，顶点

𝐸(1,0)

，抛物线

𝑦=

1

2

𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

经过点

𝐶

、点

𝐷

，与

𝑥

轴交

于

𝐴

、

𝐵

两点

(

点

𝐵

在点

𝐴

的右侧

)

，直线

𝑥=𝑡(𝑡≠0)

交

𝑥

轴于点

𝐹

．

(1)

求抛物线的解析式，且直接写出点

𝐴

、点

𝐵

的坐标；

(2)

若点

𝐺

是抛物线的对称轴上一动点，且使

𝐴𝐺+𝐶𝐺

最小，则

𝐺

点坐标为：

______

；

(3)

在直线

𝑥=𝑡(

第一象限部分

)

上找一点

𝑃

，使得以点

𝑃

、点

𝐵

、点

𝐹

为顶点的三角形与

△𝑂𝐵𝐶

全

等，请你直接写出点

𝑃

的坐标；

(4)

点

𝑀

是射线

𝐴𝐶

上一点，点

𝑁

为平面上一点，是否存在这样的点

𝑀

，使得以点

𝑂

、点

𝐴

、点

𝑀

、

点

𝑁

为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点

𝑁

的坐标；若不存在，请说明理由．

26.

(

本小题

10.0

分

)

在

𝑦

关于

𝑥

的函数中，对于实数

𝑎

，

𝑏

，当

𝑎≤𝑥≤𝑏

且

𝑏=𝑎+3

时，函数

𝑦

有最大值

𝑦

𝑚𝑎𝑥

，最小

值

𝑦

𝑚𝑖𝑛

，设

ℎ=𝑦

𝑚𝑎𝑥

−𝑦

𝑚𝑖𝑛

，则称

ℎ

为

𝑦

的“极差函数”

(

此函数为

ℎ

关于

𝑎

的函数

)

；特别的，

当

ℎ=𝑦

𝑚𝑎𝑥

−𝑦

𝑚𝑖𝑛

为一个常数

(

与

𝑎

无关

)

时，称

𝑦

有“极差常函数”．

(1)

判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应内画“

√

”，如果不是，请在对

应内画“

×

”．

()

①𝑦=2𝑥(

______

)

；

②𝑦=−2𝑥+2(

______

)

；

③𝑦=𝑥2(

______

).

(2)𝑦

关于

𝑥

的一次函数

𝑦=𝑝𝑥+𝑞

，它与两坐标轴围成的面积为

1

，且它有“极差常函数”

ℎ=

3

，求一次函数解析式；

(3)

若−1+

√

13

2

≤𝑎≤3

2

，当

𝑎≤𝑥≤𝑏(𝑏=𝑎+3)

时，写出函数𝑦=𝑎𝑥

2−𝑏𝑥+4的“极差函

数”

ℎ

；并求

4𝑎ℎ

的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

𝐴

【解析】解：

𝐴

、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；

B

、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；

C

、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；

D

、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；

故选：

𝐴

．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后

两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转

180°

，如

果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2.【答案】

𝐷

【解析】解：当

𝑘=0

时，

−4𝑥+4=0

，

解得：

𝑥=1

；

当

𝑘≠0

时，

∵

关于

𝑥

的方程𝑘𝑥2−4𝑥+4=0有实数根，

∴(−4)2−4×4𝑘≥0，

解得：

𝑘≤1

且

𝑘≠0

；

综上所述，

𝑘

的取值范围是

𝑘≤1

．

故选：

𝐷

．

分两种情况讨论：当

𝑘=0

时，当

𝑘≠0

时，即可求解．

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程𝑎𝑥

2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)，当

𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，方程有两个相等的实

数根；当𝛥=𝑏

2−4𝑎𝑐<0时，方程没有实数根是解题的关键．

3.【答案】

𝐷

【解析】解：根据题意得：298(1−𝑥)

2=268，

故选：

𝐷

．

根据降价后的价格

=

降价前的价格

(1−

降价的百分率

)

，则第一次降价后的价格是

298(1−𝑥)

，第

二次后的价格是298(1−𝑥)

2

，据此即可列方程求解．

此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为

𝑎

，平均增长率

为

𝑥

，增长的次数为

𝑛(

一般情况下为

2)

，增长后的量为

𝑏

，则有表达式

𝑎(1+𝑥)

𝑛=𝑏

，类似的还有

平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．

4.【答案】

𝐶

【解析】解：

𝐴.

点

𝐴(−1,2)

在第二象限，说法正确，故本选项不合题意；

B.

点

𝑃(−2,−3)

到

𝑦

轴的距离为

2

，说法正确，故本选项不合题意；

C.

若点

𝐴(𝑎−1,𝑎−2)

在

𝑥

轴上，则

𝑎=2

，原说法错误，故本选项符合题意；

D.

点

𝐴(−3,2)

关于原点的对称点

𝐴′

的坐标是

(3,−2)

，说法正确，故本选项不合题意；

故选：

𝐶

．

分别根据各个象限上的点的坐标特征、点的坐标的意义、

𝑥

轴上的点的纵坐标为

0

、关于原点的对

称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此逐一判断即可．

本题考查了点的坐标以及关于原点的对称点的坐标，掌握点的坐标的意义以及关于原点对称的点

的坐标变化规律是解答本题的关键．

5.【答案】

𝐴

【解析】解：将二次函数𝑦=(𝑥+1)

2−2的图象向右平移

2

个单位长度，再向下平移

3

个单位长度

得到的二次函数解析式是𝑦=(𝑥+1−2)

2−2−3，即𝑦=(𝑥−1)2−5．

故选：

𝐴

．

按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．

此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．

6.【答案】

𝐶

【解析】解：

∵

抛物线开口向下，与

𝑦

轴交于正半轴，

∴𝑎<0

，

𝑐>0

，

∴

一次函数

𝑦=𝑎𝑥+𝑐

的图象经过第一、二、四象限．

故选：

𝐶

．

先由抛物线的开口方向判断

𝑎

与

0

的关系，由抛物线与

𝑦

轴的交点判断

𝑐

与

0

的关系，再由一次函数

的性质解答．

本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：

二次函数𝑦=𝑎𝑥

2+𝑏𝑥+𝑐，当

𝑎<0

时，抛物线开口向下；抛物线与

𝑦

轴交于

(0,𝑐)

，当

𝑐>0

时，

与

𝑦

轴交于正半轴；当

𝑘<0

，

𝑏>0

时，一次函数

𝑦=𝑘𝑥+𝑏

的图象在一、二、四象限．

7.【答案】

𝐴

【解析】解：观察图形可知，四边形

𝐴𝐸𝐶𝐹

形状的变化依次为平行四边形

→

菱形

→

平行四边形

→

矩

形．

故选：

𝐴

．

根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形

𝐴𝐸𝐶𝐹

形状的变化情况：这个四边形先是平行

四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点

𝐴

与点

𝐵

重合时是矩形．

考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据

𝐸𝐹

与

𝐴𝐶

的位置关系

即可求解．

8.【答案】

𝐴

【解析】解：

∵∠𝐵=35°

，

∠𝐵𝐴𝐶=70°

，

∴∠𝐶=180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐶=75°

，

∵

将

△𝐴𝐵𝐶

绕点

𝐴

旋转逆时针旋转

𝛼

度

(0<𝛼<180)

后得到

△𝐴𝐷𝐸

，点

𝐸

恰好落在

𝐵𝐶

上，

∴𝐴𝐶=𝐴𝐸

，

∠𝐶𝐴𝐸=𝛼

，

∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐶=75°

，

∴∠𝐶𝐴𝐸=𝛼=180°−∠𝐴𝐸𝐶−∠𝐶=30°

，

故选：

𝐴

．

由三角形内角和求出

∠𝐶

，由旋转的性质可得

△𝐴𝐸𝐶

是等腰三角形，从而可得旋转角

𝛼

大小．

本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后对应边线段．

9.【答案】

𝐵

【解析】解：

∵∠𝐴𝐶𝐵=

1

2

∠𝐴𝑂𝐵

，

∠𝐴𝐶𝐵=36°

，

∴∠𝐴𝑂𝐵=2×∠𝐴𝐶𝐵=72°

．

∵𝑂𝐴=𝑂𝐵

，

∴△𝑂𝐴𝐵

是等腰三角形，

∵∠𝐴𝑂𝐵+∠𝑂𝐴𝐵+∠𝑂𝐵𝐴=180°

，

∴∠𝑂𝐴𝐵=1

2

(180°−∠𝐴𝑂𝐵)=54°

，

故选：

𝐵

．

利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到

∠𝐴𝑂𝐵

，再用等腰三角形的性质即可得

出结论．

本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的

关键．

10.【答案】

𝐵

【解析】解：

∵

四边形

𝐴𝐵𝑂𝐶

为圆的内接四边形，

∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐴𝐶𝑂=180°

，

∴∠𝐴𝐵𝑂=180°−120°=60°

，

∵∠𝐴𝑂𝐵=90°

，

∴𝐴𝐵

为

⊙𝐷

的直径，

∴𝐷

点为

𝐴𝐵

的中点，

在

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂

中，

∠𝐴𝐵𝑂=60°

，

∴𝑂𝐵=1

2

𝐴𝐵=2

，

∴𝑂𝐴=

√

3𝑂𝐵=2

√

3

∴𝐴(−2

√

3,0)

，

𝐵(0,2)

，

∴𝐷

点坐标为

(−

√

3,1)

．

故选：

𝐵

．

先利用圆内接四边形的性质得到

∠𝐴𝐵𝑂=60°

，再根据圆周角定理得到

𝐴𝐵

为

⊙𝐷

的直径，则

𝐷

点为

𝐴𝐵

的中点，接着利用含

30

度的直角三角形三边的关系得到

𝑂𝐵=2

，

𝑂𝐴=2

√

3

，所以

𝐴(−2

√

3,0)

，

𝐵(0,2)

，然后利用线段的中点坐标公式得到

𝐷

点坐标．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半．半圆

(

或直径

)

所对的圆周角是直角，

90°

的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标

与图形性质．

11.【答案】

𝐶

【解析】解：

∵

抛物线𝑦=𝑎𝑥

2−𝑥+1(𝑎≠0)与线段

𝐴𝐵

有两个不同的交点，

∴

令

1

2

𝑥+1

2

=𝑎𝑥2−𝑥+1

，则2𝑎𝑥2−3𝑥+1=0，

∴△=9−8𝑎>0

，

∴𝑎<9

8

．

①

当

𝑎<0

时，

此时函数的对称轴在

𝑦

轴左侧，

当抛物线过点

𝐴

时，为两个函数有两个交点的临界点，

将点

𝐴

的坐标代入抛物线表达式得：

𝑎+1+1=0

，

解得

𝑎=−2

，

故

𝑎≤−2

②

当

𝑎>0

时，

此时函数的对称轴在

𝑦

轴右侧，

当抛物线过点

𝐵

时，为两个函数有两个交点的临界点，

将点

𝐵

的坐标代入抛物线表达式得：

𝑎−1+1=1

，

解得

𝑎=1

，

即：

𝑎≥1

∴1≤𝑎<9

8

．

综上所述：

1≤𝑎<

9

8

或

𝑎≤−2

．

故选

C

．

12.【答案】

𝐶

【解析】

【分析】

根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与

𝑥

轴交于点

𝐴(−1,0)

、

𝐵(3,0)

，可知二次函数的对称

轴为

𝑥=

(−1)+3

2

=1

，即

−𝑏

2𝑎

=1

，可得

2𝑎

与

𝑏

的关系；将

𝐴

、

𝐵

两点代入可得

𝑐

、

𝑏

的关系；函数开

口向下，

𝑥=1

时取得最小值，可判断

③

；根据图象

𝐴𝐷=𝐵𝐷

，结合顶点坐标，判断

④

；由图象

知

𝐵𝐶≠𝐴𝐶

，从而可以判断

⑤

．

本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结

合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间

的关系．

【解答】

解：

①∵

二次函数与

𝑥

轴交于点

𝐴(−1,0)

、

𝐵(3,0)

．

∴

二次函数的对称轴为

𝑥=(−1)+3

2

=1

，即

−𝑏

2𝑎

=1

，

∴2𝑎+𝑏=0

．

故

①

正确；

②∵

二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与

𝑥

轴交于点

𝐴(−1,0)

、

𝐵(3,0)

．

∴𝑎−𝑏+𝑐=0

，

9𝑎+3𝑏+𝑐=0

．

又

∵𝑏=−2𝑎

．

∴3𝑏=−6𝑎

，

𝑎−(−2𝑎)+𝑐=0

．

∴3𝑏=−6𝑎

，

2𝑐=−6𝑎

．

∴2𝑐=3𝑏

．

故

②

错误；

③∵

抛物线开口向上，对称轴是

𝑥=1

．

∴𝑥=1

时，二次函数有最小值．

∴𝑚≠1

时，𝑎+𝑏+𝑐<𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐．

即𝑎+𝑏<𝑎𝑚

2+𝑏𝑚．

故

③

正确；

④∵𝐴𝐷=𝐵𝐷

，

𝐴𝐵=4

，

△𝐴𝐵𝐷

是等腰直角三角形．

∴𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=42

．

解得，𝐴𝐷

2=8．

设点

𝐷

坐标为

(1,𝑦)

．

则[1−(−1)]

2+𝑦2=𝐴𝐷2

．

解得

𝑦=±2

．

∵

点

𝐷

在

𝑥

轴下方．

∴

点

𝐷

为

(1,−2)

．

∵

二次函数的顶点

𝐷

为

(1,−2)

，过点

𝐴(−1,0)

．

设二次函数解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)

2−2．

∴0=𝑎(−1−1)2−2．

解得

𝑎=

1

2

．

故

④

正确；

⑤

由图象可得，

𝐴𝐶≠𝐵𝐶

．

故

△𝐴𝐵𝐶

是等腰三角形时，

𝑎

的值有

2

个．

(

故

⑤

错误

)

故

①③④

正确，

②⑤

错误．

故选

C

．

13.【答案】

(2,−5)

【解析】解：在平面直角坐标系中，点

(−2,5)

关于原点对称的点的坐标是

(2,−5)

．

故答案为：

(2,−5)

．

直接利用关于原点对称点的性质

(

关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数

)

得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．

14.【答案】

79

【解析】解：

70×

4

4+3+3

+80×3

4+3+3

+90×3

4+3+3

=79(

分

)

，

故答案为：

79

．

利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案．

本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．

15.【答案】

(0,−2)

【解析】解：

∵

二次函数𝑦=−3𝑥

2−2，

∴

抛物线的顶点坐标为

(0,−2)

．

故答案为：

(0,−2)

．

利用二次函数的顶点式，可确定顶点坐标．

本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可将解析式化成顶点式，也可以用顶点坐标公

式．

16.【答案】

40

【解析】解：连接

𝑂𝐴

、

𝑂𝐵

，

∵𝑃𝐴

、

𝑃𝐵

是

⊙𝑂

切线，

∴𝑃𝐴⊥𝑂𝐴

，

𝑃𝐵⊥𝑂𝐵

，

∴∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝐵𝑂=90°

，

∵∠𝑃+∠𝑃𝐴𝑂+∠𝐴𝑂𝐵+∠𝑃𝐵𝑂=360°

，

∴∠𝑃=180°−∠𝐴𝑂𝐵

，

∵∠𝐶=70°

，

∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐶=140°

，

∴∠𝑃=180°−140°=40°

，

故答案为：

40

．

连接

𝑂𝐴

、

𝑂𝐵

，根据切线的性质得到

∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝐵𝑂=90°

，进而得到

∠𝑃=180°−∠𝐴𝑂𝐵

，根据圆

周角定理得出

∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐴𝐶𝐵

，求出

∠𝐴𝑂𝐵

的度数．

本题考查了切线的性质、四边形内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键．

17.【答案】

−5

【解析】解：根据题意得𝛥=3

2−4𝑚≥0，

解得

𝑚≤

9

4

，

根据根与系数的关系得

𝑥

1

+𝑥

2

=−3

，

𝑥

1

𝑥

2

=𝑚

，

∵𝑥

1

2+𝑥

2

2=𝑚2−6

，

∴(𝑥

1

+𝑥

2

)2−2𝑥

1

𝑥

2

=𝑚2−6，

∴(−3)2−2𝑚=𝑚2−6，

整理得𝑚

2+2𝑚−15=0，

解得

𝑚

1

=−5

，

𝑚

2

=3

，

∵𝑚≤9

4

，

∴𝑚=−5

．

故答案为：

−5

．

先利用根的判别式的意义得到

𝑚≤

9

4

，再根据根与系数的关系得

𝑥

1

+𝑥

2

=−3

，

𝑥

1

𝑥

2

=𝑚

，接着利

用

𝑥

1

2+𝑥

2

2=𝑚2−6

得到(𝑥

1

+𝑥

2

)2−2𝑥

1

𝑥

2

=𝑚2−6，所以(−3)2−2𝑚=𝑚2−6，然后解

𝑚

的方

程．从而得到满足条件的

𝑚

的值．

本题考查了根与系数的关系：若

𝑥

1

，

𝑥

2

是一元二次方程𝑎𝑥

2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，

𝑥

1

+

𝑥

2

=−𝑏

𝑎

，

𝑥

1

𝑥

2

=𝑐

𝑎

．

18.【答案】

①②③

【解析】解：延长

𝐴𝐸

交

𝐷𝐶

的延长线于点

𝐻

，如图：

∵

点

𝐸

是

𝐶𝑀

的中点，

∴𝑀𝐸=𝐸𝐶

，

∵𝐴𝐵//𝐶𝐷

，

∴∠𝑀𝐴𝐸=∠𝐻

，

∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐻𝐶𝐸

，

∴△𝐴𝑀𝐸≌△𝐻𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)

，

∴𝐴𝐸=𝐸𝐻

，

又

∵∠𝐴𝐷𝐻=90°

，

∴𝐷𝐸=𝐴𝐸=𝐸𝐻

，

∵𝐴𝐸

绕点

𝐸

顺时针旋转

90°

得到

𝐸𝐹

，

∴𝐴𝐸=𝐸𝐹

，

∠𝐴𝐸𝐹=90°

，

∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐸𝐹

，故

①

正确；

∵𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐸𝐹

，

∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐸

，

∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐸𝐹𝐷

，

∵∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐸𝐷𝐹+∠𝐸𝐹𝐷=360°

，

∴2∠𝐴𝐷𝐸+2∠𝐸𝐷𝐹=270°

，

∴∠𝐴𝐷𝐹=135°

，

∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐹−∠𝐴𝐷𝐶=135°−90°=45°

，故

②

正确；

如图，连接

𝐹𝐶

，过点

𝐶

作

𝐶𝐹′⊥𝐷𝐹

于

𝐹′

，

∵∠𝐶𝐷𝐹=45°

，

∴

点

𝐹

在

𝐷𝐹

上运动，

∴

当

𝐶𝐹⊥𝐷𝐹

时，

𝐶𝐹

有最小值为

𝐶𝐹′

的长度，

∵𝐶𝐷=2

，

∠𝐶𝐷𝐹=45°

，

∴𝐶𝐹′=2

√

2

=

√

2

，即

𝐶𝐹

有最小值为

√

2

，故

③

正确，

故答案为：

①②③

．

延长

𝐴𝐸

交

𝐷𝐶

的延长线于点

𝐻

，由“

𝐴𝐴𝑆

”可证

△𝐴𝑀𝐸≌△𝐻𝐶𝐸

，可得

𝐴𝐸=𝐸𝐻

，由直角三角形的

性质可得

𝐴𝐸=𝐸𝐹=𝐸𝐻

，可判断

①

；由四边形内角和定理可求

2∠𝐴𝐷𝐸+2∠𝐸𝐷𝐹=270°

，可得

∠𝐴𝐷𝐹=135°

，可判断

②

；连接

𝐹𝐶

，过点

𝐶

作

𝐶𝐹′⊥𝐷𝐹

于

𝐹′

，由

∠𝐶𝐷𝐹=45°

，知点

𝐹

在

𝐷𝐹

上运动，

即得当

𝐶𝐹⊥𝐷𝐹

时，

𝐶𝐹

有最小值为

𝐶𝐹′

的长度，而

𝐶𝐹′=

√

2

，即

𝐶𝐹

有最小值为√

2

，可判断

③

正确．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握折

叠的性质，正确作辅助线，构造全等三角形．

19.【答案】解：

(1)

根据题意：设

𝑦=𝑘(𝑥+2)

，

把

𝑥=1

，

𝑦=−6

代入得：

−6=𝑘(1+2)

，

解得：

𝑘=−2

．

则

𝑦

与

𝑥

函数关系式为

𝑦=−2(𝑥+2)

，

即

𝑦=−2𝑥−4

；

(2)

把点

𝑀(𝑚,4)

代入

𝑦=−2𝑥−4

，

得：

4=−2𝑚−4

，

解得

𝑚=−4

．

【解析】

(1)

根据题意设出函数解析式，把当

𝑥=1

时，

𝑦=−6

代入解析式，便可求出未知数的值，

从而求出其解析式；

(2)

将点

𝑀(𝑚,4)

代入函数的解析式中，即可求得

𝑚

的值．

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数

法是解题的关键．

20.【答案】解：(1)2𝑥2−4𝑥−1=0，

𝑥2−2𝑥−1

2

=0

，

𝑥2−2𝑥+1=1+1

2

，

(𝑥−1)2=3

2

，

𝑥−1=±√

6

2

，

则

𝑥

1

=1−√

6

2

，

𝑥

2

=1−√

6

2

；

(2)𝑥(𝑥−1)+3(𝑥−1)=0

，

(𝑥+3)(𝑥−1)=0

，

𝑥+3=0

，

𝑥−1=0

，

则

𝑥

1

=−3

，

𝑥

2

=1

．

【解析】

(1)

移项、将二次项系数化为

1

，再利用配方法将方程的左边因式分解，继而得出两个关

于

𝑥

的一元一次方程，再进一步求解即可；

(2)

利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于

𝑥

的一元一次方程，再进一步求解

即可．

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

21.【答案】

929180

【解析】解：

(1)

八年级测试成绩的中位数

𝑎=

1

2

(92+92)=92

，

九年级测试成绩的中位数

𝑏=

1

2

×(91+91)=91

，

九年级测试成绩分数不低于

85

分的人数所占百分比为

16

20

×100%=80%

，

∴𝑚=80

，

故答案为：

92

；

91

；

80

；

(2)

估计这两个年级心理健康的学生一共有

800×80%+700×80%=1200(

人

)

．

答：估计这两个年级心理健康的学生一共有

1200

人．

(1)

根据中位数的定义可得

𝑎

、

𝑏

的值，先求出九年级测试成绩分数不低于

85

分的人数所占百分比

可得

𝑚

的值；

(2)

用总人数乘以样本中两个年级的健康率即可．

本题考查了中位数以及样本估计总体，掌握中位数的定义和样本估计总体的方法是解题的关键．

22.【答案】

(1)

证明：

∵

四边形

𝐴𝐵𝐶𝐷

是矩形，

∴𝐴𝐷//𝐵𝐶

，

∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐹𝑂

，

∵

点

𝑂

是矩形

𝐴𝐵𝐶𝐷

的对角线

𝐴𝐶

的中点，

∴𝐴𝑂=𝐶𝑂

，

∵∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹

，

∴△𝐹𝐶𝑂≌△𝐸𝐴𝑂(𝐴𝐴𝑆)

，

∴𝐶𝐹=𝐴𝐸

，

∵𝐴𝐷//𝐵𝐶

，

∴

四边形

𝐴𝐹𝐶𝐸

是平行四边形，

∵𝐴𝐶⊥𝐸𝐹

，

∴

四边形

𝐴𝐸𝐶𝐹

为菱形；

(2)

解：

∵

四边形

𝐴𝐹𝐶𝐸

是菱形，

∴𝐴𝐹=𝐴𝐸=𝐹𝐶

，

设

𝐵𝐹=𝑥

，则

𝐴𝐹=𝐹𝐶=4−𝑥

，

在

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹

中，

𝐴𝐵=2

，

根据勾股定理得，𝐴𝐵

2+𝐵𝐹2=𝐴𝐹2

，

即4+𝑥

2=(4−𝑥)2

，

解得：

𝑥=1.5

，

∴𝐵𝐹=1.5

，

∴𝐴𝐸=𝐹𝐶=4−1.5=2.5

．

【解析】

(1)

根据矩形的性质可知

𝐴𝐷//𝐵𝐶

，则

∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐹𝑂

，根据对顶角相等得到

∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹

，

再根据

𝐴𝑂=𝐶𝑂

，证得

△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹

，得出

𝑂𝐸=𝑂𝐹

判定平行四边形，由

𝐴𝐶⊥𝐸𝐹

可得结论；

(2)

根据

𝐴𝐶⊥𝐸𝐹

，推出四边形

𝐵𝐸𝐷𝐹

是菱形，得到

𝐴𝐹=𝐴𝐸=𝐹𝐶

，根据勾股定理即可得到答案．

本题考查了菱形的判定，矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩

形的性质：

①

平行四边形的性质矩形都具有；

②

角：矩形的四个角都是直角；

③

边：邻边垂直；

④

对角线：矩形的对角线相等．

23.【答案】解：

(1)

设

𝐴

种类型纪念品的进价是

𝑥

元，

𝐵

种类型纪念品的进价是

𝑦

元，

根据题意得：

{

5𝑥=4𝑦

2𝑥+𝑦=260

，

解得

{

𝑥=80

𝑦=100

，

∴𝐴

种类型纪念品每套的进价是

80

元，

𝐵

种类型纪念品每套的进价是

100

元；

(2)

设

𝐴

型纪念品每天的销售利润是

𝑤

元，

𝑤=(𝑝−80)(−1

2

𝑝+80)=−1

2

𝑝2+120𝑝−6400=−1

2

(𝑝−120)2+800

，

∴𝑝=120

时，

𝑤

取最大值，最大值是

800

元，

答：当售价为每套

120

元时，每天

𝐴

型纪念品的销售利润最大．

【解析】

(1)

设

𝐴

种类型纪念品的进价是

𝑥

元，

𝐵

种类型纪念品的进价是

𝑦

元，可得：

{

5𝑥=4𝑦

2𝑥+𝑦=260

，

即可解得

𝐴

种类型纪念品每套的进价是

80

元，

𝐵

种类型纪念品每套的进价是

100

元；

(2)

设

𝐴

型纪念品每天的销售利润是

𝑤

元，

𝑤=(𝑝−80)(−1

2

𝑝+80)=−1

2

𝑝2+120𝑝−6400=

−1

2

(𝑝−120)2+800

，由二次函数的性质得当售价为每套

120

元时，每天

𝐴

型纪念品的销售利润最

大．

本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．

24.【答案】

(1)

证明：连接

𝑂𝐴

，

∵𝐴𝐸

是

⊙𝑂

的切线，

∴∠𝑂𝐴𝐸=90°

，

∵𝑂𝐴=𝑂𝐷

，

∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐴

，

∵𝐷𝐴

平分

∠𝐵𝐷𝐸

，

∴∠𝑂𝐷𝐴=∠𝐴𝐷𝐸

，

∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝑂𝐴𝐷

，

∴𝑂𝐴//𝐶𝐸

，

∴∠𝐸=180°−∠𝑂𝐴𝐸=90°

，

∴𝐴𝐸⊥𝐷𝐸

；

(2)

解：过点

𝑂

作

𝑂𝐹⊥𝐷𝐶

，垂足为

𝐹

，

∴∠𝑂𝐹𝐷=90°

，

∵∠𝑂𝐴𝐸=∠𝐸=90°

，

∴

四边形

𝑂𝐴𝐸𝐹

是矩形，

∴𝑂𝐴=𝐸𝐹=5

，

𝐴𝐸=𝑂𝐹

，

∵𝑂𝐹⊥𝐶𝐷

，

∴𝐷𝐹=1

2

𝐶𝐷=3

，

∴𝐷𝐸=𝐸𝐹−𝐷𝐹=5−3=2

，

∴𝑂𝐹=√𝑂𝐷2−𝐷𝐹2=√52−32=4

，

∵𝐴𝐸=𝑂𝐹=4

，

∴𝐴𝐷=

√𝐴𝐸2+𝐷𝐸2=

√42+22=2

√

5

，

∴𝐴𝐷

的长为

2

√

5

．

【解析】

(1)

连接

𝑂𝐴

，根据切线的性质可得

∠𝑂𝐴𝐸=90°

，再利用角平分线和等腰三角形的性质可

得

𝐴𝑂//𝐷𝐸

，然后利用平行线的性质可得

∠𝐸=90°

，即可解答；

(2)

过点

𝑂

作

𝑂𝐹⊥𝐷𝐶

，垂足为

𝐹

，可得四边形

𝑂𝐴𝐸𝐹

是矩形，从而可得

𝑂𝐴=𝐸𝐹=5

，

𝐴𝐸=𝑂𝐹

，

然后先利用垂径定理求出

𝐷𝐹

的长，从而去除

𝐷𝐸

的长，再在

𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐹

中，利用勾股定理求出

𝑂𝐹

的

长，最后在

𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸

中，利用勾股定理进行计算即可解答．

本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，圆周角定理，根据题目的已知

条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

25.【答案】

(

1

2

,−3

4

)

【解析】解：

(1)∵

正方形

𝑂𝐶𝐷𝐸

中，顶点

𝐸(1,0)

，

∴𝐷(1,−1)

，

𝐶(0,−1)

，

∴{

𝑐=−1

1

2

+𝑏+𝑐=−1

，

解得

{

𝑏=−1

2

𝑐=−1

，

∴𝑦=1

2

𝑥2−1

2

𝑥−1

，

令

𝑦=0

，则

1

2

𝑥2−1

2

𝑥−1=0

，

解得

𝑥=2

或

𝑥=−1

，

∴𝐴(−1,0)

，

𝐵(2,0)

；

(2)∵𝑦=1

2

𝑥2−1

2

𝑥−1=1

2

(𝑥−1

2

)2−9

8

，

∴

抛物线的对称轴为

𝑥=1

2

，

∵𝐴

、

𝐵

关于对称轴对称，

∴𝐴𝐺=𝐵𝐺

，

∴𝐴𝐺+𝐶𝐺=𝐵𝐺+𝐶𝐺≥𝐵𝐶

，

∴

当

𝐵

、

𝐶

、

𝐺

三点共线时，

𝐴𝐺+𝐶𝐺

最小，

设直线

𝐵𝐶

的解析式为

𝑦=𝑘𝑥+𝑏

，

∴{

2𝑘+𝑏=0

𝑏=−1

，

解得

{

𝑘=−1

2

𝑏=−1

，

∴𝑦=−1

2

𝑥−1

，

∴𝐺(1

2

,−3

4

)

，

故答案为：

(

1

2

,−3

4

)

；

(3)∵𝐵(2,0)

，

𝐶(0,−1)

，

∴𝐵𝑂=2

，

𝑂𝐶=1

，

设

𝑃(𝑡,𝑚)

，

∴𝑃𝐹=𝑚

，

𝐵𝐹=|𝑡−2|

，

当

△𝑂𝐵𝐶≌△𝐹𝐵𝑃

时，

𝑂𝐵=𝐵𝐹

，

𝐶𝑂=𝐹𝑃

，

∴𝑚=1

，

|𝑡−2|=2

，

∴𝑡=4

或

𝑡=0(

舍

)

，

∴𝑃(4,1)

；

当

△𝑂𝐵𝐶≌△𝐹𝑃𝐵

时，

𝐵𝑂=𝐹𝑃

，

𝑂𝐶=𝐵𝐹

，

∴2=𝑚

，

|𝑡−2|=1

，

∴𝑡=3

或

𝑡=−1(

舍

)

，

∴𝑃(3,2)

；

综上所述：

𝑃

点坐标为

(4,1)

或

(3,2)

；

(4)

存在点

𝑀

，使得以点

𝑂

、点

𝐴

、点

𝑀

、点

𝑁

为顶点的四边形为菱形，理由如下：

设直线

𝐴𝐶

的解析式为

𝑦=𝑘𝑥+𝑏

，

∴{

−𝑘+𝑏=0

𝑏=−1

，

解得

{

𝑘=−1

𝑏=−1

，

∴𝑦=−𝑥−1

，

设

𝑀(𝑛,−𝑛−1)

，

𝑁(𝑥,𝑦)

，

∵𝑀

在射线

𝐴𝐶

上，

∴𝑛≥−1

，

①

当

𝑂𝐴

为菱形对角线时，

𝑂𝑀=𝐴𝑀

，

∴{

𝑛+𝑥=−1

𝑦−𝑛−1=0

𝑛2+(𝑛+1)2=2(𝑛+1)2

，

解得

{

𝑛=−1

2

𝑥=−1

2

𝑦=1

2

，

∴𝑁(−1

2

,1

2

)

；

②

当

𝑂𝑀

为菱形对角线时，

𝑂𝐴=𝐴𝑀

，

∴{

𝑛=−1+𝑥

𝑦=−𝑛−1

1=2(𝑛+1)2

，

解得

{

𝑛=√

2

2

−1

𝑥=√

2

2

𝑦=−√

2

2

或

{

𝑛=−√

2

2

−1

𝑥=−√

2

2

𝑦=√

2

2

(

舍

)

，

∴𝑁(√

2

2

,−√

2

2

)

；

③

当

𝑂𝑁

为菱形的对角线时，

𝐴𝑂=𝑂𝑀

，

∴{

𝑥=𝑛−1

𝑦=−𝑛−1

1=𝑛2+(𝑛+1)2

，

解得

{

𝑛=0

𝑥=−1

𝑦=−1

或

{

𝑛=−1

𝑥=−2

𝑦=0

(

舍

)

，

∴𝑁(−1,−1)

；

综上所述：

𝑁

点坐标为

(−

1

2

,1

2

)

或

(√

2

2

,−√

2

2

)

或

(−1,−1)

．

(1)

根据正方形的性质求出

𝐷(1,−1)

，

𝐶(0,−1)

，再由待定系数法求函数的解析式即可；

(2)

当

𝐵

、

𝐶

、

𝐺

三点共线时，

𝐴𝐺+𝐶𝐺

最小，求出直线

𝐵𝐶

的解析式，即可求

𝐺

点坐标；

(3)

设

𝑃(𝑡,𝑚)

，则

𝑃𝐹=𝑚

，

𝐵𝐹=|𝑡−2|

，当

△𝑂𝐵𝐶≌△𝐹𝐵𝑃

时，

𝑚=1

，

|𝑡−2|=2

，可得

𝑃(4,1)

；

当

△𝑂𝐵𝐶≌△𝐹𝑃𝐵

时，

𝐵𝑂=𝐹𝑃

，

𝑂𝐶=𝐵𝐹

，可得

𝑃(3,2)

；

(4)

求出直线

𝐴𝐶

的解析式为

𝑦=−𝑥−1

，设

𝑀(𝑛,−𝑛−1)

，

𝑁(𝑥,𝑦)

，分三种情况讨论：

①

当

𝑂𝐴

为

菱形对角线时，

𝑂𝑀=𝐴𝑀

，可得

𝑁(−

1

2

,1

2

)

；

②

当

𝑂𝑀

为菱形对角线时，

𝑂𝐴=𝐴𝑀

，可得

𝑁(√

2

2

,−√

2

2

)

；

③

当

𝑂𝑁

为菱形的对角线时，

𝐴𝑂=𝑂𝑀

，可得

𝑁(−1,−1)

．

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，轴对称求最短

距离，分类讨论是解题的关键．

26.【答案】

√√

×

【解析】解：

(1)①∵𝑦=2𝑥

是一次函数，且

𝑦

随

𝑥

值的增大而增大，

∴ℎ=2(𝑎+3)−2𝑎=6

，

∴𝑦=2𝑥

是“极差常函数”，

故答案为：

√

；

②∵𝑦=−2𝑥+2

是一次函数，且

𝑦

随

𝑥

值的增大而减小，

∴ℎ=−2𝑎+2−[−2(𝑎+3)+2]=6

，

∴𝑦=−2𝑥+2

是“极差常函数”，

故答案为：

√

；

∵𝑦=𝑥2

是二次函数，函数的对称轴为直线

𝑥=0

，

当

𝑎+3≤0

时，ℎ=𝑎

2−(𝑎+3)2=−9−6𝑎；

当

𝑎≥0

时，ℎ=(𝑎+3)

2−𝑎2=9+6𝑎；

∴𝑦=𝑥2

不是“极差常函数”，

故答案为：

×

；

(2)

当

𝑥=0

时，

𝑦=𝑞

，

∴

函数与

𝑦

轴的交点为

(0,𝑞)

，

当

𝑦=0

时，

𝑥=−𝑞

𝑝

，

∴

函数与

𝑥

轴的交点为

(−𝑞

𝑝

,0)

，

∴𝑆=1

2

×|𝑞|×|−𝑞

𝑝

|=1

，

∴𝑞2

|𝑝|

=2

，

当

𝑝>0

时，

ℎ=𝑝(𝑎+3)+𝑞−(𝑝𝑎+𝑞)=3

，

∴𝑝=1

，

∴𝑞=±

√

2

，

∴

函数的解析式为

𝑦=𝑥±

√

2

；

当

𝑝<0

时，

ℎ=𝑝𝑎+𝑞−[𝑝(𝑎+3)+𝑞]=3

，

∴𝑝=−1

，

∴𝑞=±

√

2

，

∴

函数的解析式为

𝑦=−𝑥±

√

2

；

综上所述：函数的解析式为

𝑦=𝑥±

√

2

或

𝑦=−𝑥±

√

2

；

(3)𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥+4=𝑎(𝑥−𝑏

2𝑎

)2+4−𝑏2

4𝑎

，

∴

函数的对称轴为直线

𝑥=𝑏

2𝑎

，

∵𝑏=𝑎+3

，

∴𝑥=𝑎+3

2𝑎

=1

2

+3

2𝑎

，

∵−1+

√

13

2

≤𝑎≤3

2

，

∴3

2

≤1

2

+3

2𝑎

≤3+

√

13

4

，

5+

√

13

4

≤𝑎+3≤9

2

，

∵𝑎>0

，

𝑎<1

2

+3

2𝑎

<𝑎+3

，

∴

当

𝑥=𝑎

时，

𝑦

有最大值𝑎2−𝑎(𝑎+3)+4，

当

𝑥=

𝑏

2𝑎

时，

𝑦

有最小值

4−

𝑏2

4𝑎

=4−(𝑎+3)2

4𝑎

，

∴ℎ=𝑎2−𝑎(𝑎+3)+4−4+(𝑎+3)2

4𝑎

=(𝑎−3)2

4

，

∴4𝑎ℎ=(𝑎−3)2

，

∴9

4

≤4𝑎ℎ≤31−7

√

13

4

．

(1)①

由一次函数的性质可知

ℎ=2(𝑎+3)−2𝑎=6

，则

𝑦=2𝑥

是“极差常函数”；

②

由一次函数的性质可知

ℎ=−2𝑎+2−[−2(𝑎+3)+2]=6

，则

𝑦=−2𝑥+2

是“极差常函数”；

③

由二次函数的性质可知，当

𝑎+3≤0

时，

ℎ=−9−6𝑎

不是常数，则𝑦=𝑥2

不是“极差常函数”，

(2)

根据一次函数的图象及性质可得

𝑞2

|𝑝|

=2

，再分两种情况讨论：当

𝑝>0

时，

ℎ=𝑝(𝑎+3)+𝑞−

(𝑝𝑎+𝑞)=3

；当

𝑝<0

时，

ℎ=𝑝𝑎+𝑞−[𝑝(𝑎+3)+𝑞]=3

；分别求出

𝑝

、

𝑞

的值即可求函数的解

析式；

(3)

函数的对称轴为直线

𝑥=1

2

+3

2𝑎

，由

𝑎

的范围确定

3

2

≤1

2

+3

2𝑎

≤3+

√

13

4

，

5+

√

13

4

≤𝑎+3≤9

2

，由此

可得当

𝑥=𝑎

时，

𝑦

有最大值𝑎

2−𝑎(𝑎+3)+4，当

𝑥=𝑏

2𝑎

时，

𝑦

有最小值

4−

(𝑎+3)2

4𝑎

，则

ℎ=

(𝑎−3)2

4

，

4𝑎ℎ=(𝑎−3)2

，再由

𝑎

的范围确定

4𝑎ℎ

的范围即可．

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将“极差函数”

与一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质结合解题是关键．