向量积右手法则

.

.

c

b

a

θ

高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探

讨

在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表

示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，

能够提升对向量的理解，方便问题的解决。

1.叉乘的定义【1】

要确定一个向量，需要知道它的模和方向。

如图1，对于给定的向量

a

和b，规定向量

bac，满足：

（1）模：babac,sin

（2）方向：向量

c

的方向垂直于向量

a

和

b（向量

a

和b构成的平面），且符合右手定则：

用右手的食指表示向量

a

的方向，然后手指朝着

手心的方向摆动角度)0(到向量b的

方向，大拇指所指的方向就是向量

c

的方向。

这里的也就是ba,。

这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数

量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。

给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。

2.叉乘的性质

（1）显然有0aa

（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即abba，这是

因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则

一定要将手倒过来才能满足0，也就使得积向量反向。

（3）易得对数乘的结合律，即a

b)()(baba

（4）可以证明分配律：cbcacba)(或cabacba)(

3.叉乘的几何意义

如图2，在平面上取点,,baOBOAO，作

bababa,sin，由三角形面积

公式sin

2

1

abS可知ba表示以OBOA,为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是

图1

.

.

k

j

i

z

y

x

O

以OBOA,为两边的平行四边形的面积。

C

B

A

O

OB

OA

即

OABCOAB

SS

△

2ba

4.叉乘的坐标表示

将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标

系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。

要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出

发。给定一组单位正交基底kji,,，为满足运算要求，应使kji,,符

合

右手定则，即建立一个右手系，如图3。这样一来就有

ikj

jki

kji







ijk

jik

kij







从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。

可设

),,(),,,(

321321321321

bbbbbbaaaaaakjibkjia

则ba)()(

321321

kjikjibbbaaa

由向量叉乘的分配律可知，

),,(

)()()

)()()(

2

2

231332123121

231332123121

(

babababababa

bababababab

a

babababababa

babababababa









kji

ijikjk

jkikkjijkiji原式

即),,(),,(),,(

2

321321bababababababbbaaa

这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。

5.叉乘的实际应用

（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了

极大简化。

【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行

四边形的面积。

【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出

ACAB和

的夹角，再用

sin

2

1

abS等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求ACAB，即为所求面

积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。

图2

图3

.

.

【解答】)1,0,1(AB，)1,3,4(AC

43

433)5(3

)3,5,3(

222







ABCD

S

ACAB

ACAB

（2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。【2】

如图4，对于给定的直线l和点C，可在l上取点

BA,，则

AB

ACAB

ABC



),(d

这是因为

ACAB

表示平行四边形ABCD的面积，又等于),(dABCAB•，整理即

可得上式。

【例２】已知点A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点C到直线AB的距离

【解答】)1,0,1(AB，)1,3,4(AC

2

86

2

43

),(d

433)5(3

)3,5,3(

222











AB

ACAB

ABC

ACAB

ACAB

（3）求平面的法向量

由于向量叉乘运算bac中bcac且，由立体几何知识可知，如果选取一个平

面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就

可以作为平面的法向量。正是由于法向量在立体几何中的广

泛应用，这种方法也就可以大展身手。

【例3】ABCD为边长为4的正方形，GC平面

ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平

面EFG的距离。

【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应

利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离

公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF

的法向量。下面列出两种解法，以供比较。

【解法1】如图5，建立空间直角坐标系（坐标原点为

C），则A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（4，

2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）。设平面EFG的一个法向量为

0)2,4,2(),,()0,2,2(),,(),,,(••••zyxzyxGFEFzyxnnn则

(D)

C

B

A

图４

图５

F

E

D

B

A

G

x

z

y

.

.

11

11

2

11

2

),(d

)3,1,1(

3,11

33



•









n

n

n

BF

EFGB

zyx

zyx

，则令

【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.

11

11

2

114

8

),(d

)12,4,4

)2,4,2(),0,2,2(



•







n

n

n

BF

EFGB

GFEFEFG

GFEF

（的法向量为平面



６.叉乘的物理意义

正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物

理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，

下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为

例作简要说明。

如图6，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强

磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角。

由物理学规律可知sinBILF。

从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不

妨把I理解为矢量I，则sinsinIBLLIBF

。又F垂直于B和L所成的平面，

且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故)(BILF

这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结

合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。

总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的

视野，令人感受到数学的无穷魅力。

参考文献：

【１】/view/

【２】向量_-_向量叉乘_向量点乘.doc

来自/view/

（向东来）

图6

θ

I,L

B