向量平行垂直公式

向量的基本概念公式:

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字

母表示：a；

坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.

(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

单位向量：a

O

为单位向量｜a

O

｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ

1

，ｙ

1

)＝（ｘ

2

，ｙ

2

）













21

21

yy

xx

(6)相反向量：a=-b



b=-a



a+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥

b.平行向量也称为共线向量.

2.向量的运算

运算类型几何方法坐标方法运算性质

向量的

加法

1.平行四边形法则

2.三角形法则

1212

(,)abxxyy

abba

()()abcabc

ACBCAB

向量的

减法

三角形法则

1212

(,)abxxyy

()abab

ABBA,ABOAOB

数

乘

向

量

1.a

是一个向量,满

足:||||||aa

2.>0时,aa与同向;

<0时,aa与异向;

(,)axy

()()aa

()aaa

()abab

//abab

=0时,0a.

3．向量的夹角：

已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（001800）叫

做向量a与b的夹角。

4．两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos．

其中︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影．

5．向量的数量积的性质：

若a=（

11

,yx）,b=（

22

,yx）则e·a=a·e=︱a︱cos(e为单位向量);

a⊥ba·b=0

1212

0xxyy（a，b为非零向量）;︱a︱=22

11

aaxy•;

cos=

ab

ab

•

•

=1212

2222

1122

xxyy

xyxy





．

6．向量的数量积的运算律：

a·b=b·a;(a)·b=(a·b)=a·(b);(a＋b)·c=a·c+b·c．

7.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e

1

，e

2

是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，

有且仅有一对实数λ

1

，

λ

2

，使a＝λ

1

e

1

＋λ

2

e

2

.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b



a＝λb(b≠0)

x

1

y

2

－x

2

y

1

＝O.

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b



a·b＝O

x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝O.

(4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段

21

PP所成的比为λ，即PP

1

＝λ

2

PP，则



























.

1

,

1

21

21









yy

y

xx

x

(线段定比分点的坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式：

OP＝

2

1

（

1

OP＋

2

OP）或























.

2

,

2

21

21

yy

y

xx

x