tan10度

两角和与差的公式

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1

2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C

(α－β)

)

cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C

(α＋β)

)

sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S

(α－β)

)

sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S

(α＋β)

)

tan(α－β)＝

tanα－tanβ

1＋tanαtanβ

(T

(α－β)

)

tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

(T

(α＋β)

)

2．二倍角公式

sin2α＝2sin_αcos_α；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan2α＝

2tanα

1－tan2α

.

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变

形用等．如T

(α±β)

可变形为

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)，

tanαtanβ＝1－

tanα＋tanβ

tan(α＋β)

＝

tanα－tanβ

tan(α－β)

－1.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)

(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)

(3)公式tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任

意角α，β都成立．(×)

(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)

(5)设sin2α＝－sinα，α∈(

π

2

，π)，则tan2α＝3.(√)

3

1．(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝

10

2

，则tan2α等于()

C．－

3

4

D．－

4

3

答案C

解析∵sinα＋2cosα＝

10

2

，

∴sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝

5

2

.

化简得：4sin2α＝－3cos2α，

∴tan2α＝

sin2α

cos2α

＝－

3

4

.故选C.

2．若

sinα＋cosα

sinα－cosα

＝

1

2

，则tan2α等于()

A．－

3

4

C．－

4

3

答案B

解析由

sinα＋cosα

sinα－cosα

＝

1

2

，等式左边分子、分母同除cosα得，

tanα＋1

tanα－1

＝

1

2

，解得tanα＝－

3，

则tan2α＝

2tanα

1－tan2α

＝

3

4

.

3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan









θ＋

π

4

＝

1

2

，则sinθ＋cosθ＝________.

答案－

10

5

解析∵tan









θ＋

π

4

＝

1

2

，∴tanθ＝－

1

3

，

即









3sinθ＝－cosθ，

sin2θ＋cos2θ＝1，

且θ为第二象限角，

解得sinθ＝

10

10

，cosθ＝－

310

10

.

∴sinθ＋cosθ＝－

10

5

.

4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．

答案1

4

解析∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)

＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ

＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，

∴f(x)的最大值为1.

题型一三角函数公式的基本应用

例1(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()

A．－3B．－1

C．1D．3

(2)若0<α<

π

2

，－

π

2

<β<0，cos(

π

4

＋α)＝

1

3

，

cos(

π

4

－

β

2

)＝

3

3

，则cos(α＋

β

2

)等于()

B．－

3

3

D．－

6

9

答案(1)A(2)C

解析(1)由根与系数的关系可知

tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.

∴tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝

3

1－2

＝－3.

故选A.

(2)cos(α＋

β

2

)

＝cos[(

π

4

＋α)－(

π

4

－

β

2

)]

＝cos(

π

4

＋α)cos(

π

4

－

β

2

)＋sin(

π

4

＋α)sin(

π

4

－

β

2

)．

∵0<α<

π

2

，

则

π

4

<

π

4

＋α<

3π

4

，

5

∴sin(

π

4

＋α)＝

22

3

.

又－

π

2

<β<0，

则

π

4

<

π

4

－

β

2

<

π

2

，

则sin(

π

4

－

β

2

)＝

6

3

.

故cos(α＋

β

2

)＝

1

3

×

3

3

＋

22

3

×

6

3

＝

53

9

.故选C.

思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、

差、倍、互补、互余等关系．

(1)若α∈(

π

2

，π)，tan(α＋

π

4

)＝

1

7

，则sinα等于()

C．－

3

5

D．－

4

5

(2)计算：

1＋cos20°

2sin20°

－sin10°(

1

tan5°

－tan5°)＝________.

答案(1)A(2)

3

2

解析(1)∵tan(α＋

π

4

)＝

tanα＋1

1－tanα

＝

1

7

，

∴tanα＝－

3

4

＝

sinα

cosα

，

∴cosα＝－

4

3

sinα.

又∵sin2α＋cos2α＝1，

∴sin2α＝

9

25

.

又∵α∈(

π

2

，π)，∴sinα＝

3

5

.

(2)原式＝

2cos210°

4sin10°cos10°

－sin10°·

cos25°－sin25°

sin5°cos5°

＝

cos10°

2sin10°

－

sin20°

sin10°

＝

cos10°－2sin20°

2sin10°

＝

cos10°－2sin(30°－10°)

2sin10°

6

＝

cos10°－2sin30°cos10°＋2cos30°sin10°

2sin10°

＝

3

2

.

题型二三角函数公式的灵活应用

例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为()

(2)化简：

2cos4x－2cos2x＋

1

2

2tan(

π

4

－x)sin2(

π

4

＋x)

＝________.

(3)求值：

cos15°＋sin15°

cos15°－sin15°

＝________.

答案(1)B(2)

1

2

cos2x(3)3

解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)

＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝

2

2

.故选B.

(2)原式＝

1

2

(4cos4x－4cos2x＋1)

2×sin(

π

4

－x)

cos(

π

4

－x)

·cos2(

π

4

－x)

＝

(2cos2x－1)2

4sin(

π

4

－x)cos(

π

4

－x)

＝

cos22x

2sin(

π

2

－2x)

＝

cos22x

2cos2x

＝

1

2

cos2x.

(3)原式＝

1＋tan15°

1－tan15°

＝

tan45°＋tan15°

1－tan45°tan15°

＝tan(45°＋15°)＝3.

思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用

及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公

式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．

(1)已知α∈(0，π)，化简：

(1＋sinα＋cosα)·(cos

α

2

－sin

α

2

)

2＋2cosα

＝________.

(2)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan

A

2

＋tan

C

2

＋3tan

A

2

tan

C

2

的值为

7

________．

答案(1)cosα(2)3

解析(1)原式＝

(2cos2

α

2

＋2sin

α

2

cos

α

2

)·(cos

α

2

－sin

α

2

)

4cos2

α

2

.

因为α∈(0，π)，所以cos

α

2

>0，

所以原式＝

(2cos2

α

2

＋2sin

α

2

cos

α

2

)·(cos

α

2

－sin

α

2

)

2cos

α

2

＝(cos

α

2

＋sin

α

2

)·(cos

α

2

－sin

α

2

)＝cos2

α

2

－sin2

α

2

＝cosα.

(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝

2π

3

，

A＋C

2

＝

π

3

，tan

A＋C

2

＝3，

所以tan

A

2

＋tan

C

2

＋3tan

A

2

tan

C

2

＝tan









A

2

＋

C

2







1－tan

A

2

tan

C

2

＋3tan

A

2

tan

C

2

＝3









1－tan

A

2

tan

C

2

＋3tan

A

2

tan

C

2

＝3.

题型三三角函数公式运用中角的变换

例3(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

3

5

，tan(α－β)＝－

1

3

.则sin(α－β)＝________，cosβ

＝________.

(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin2α＝

2

3

，则cos2







α＋

π

4

等于()

答案(1)－

10

10

9

50

10(2)A

解析(1)∵α，β∈(0，

π

2

)，从而－

π

2

<α－β<

π

2

.

又∵tan(α－β)＝－

1

3

<0，

∴－

π

2

<α－β<0.

∴sin(α－β)＝－

10

10

，cos(α－β)＝

310

10

.

8

∵α为锐角，sinα＝

3

5

，∴cosα＝

4

5

.

∴cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝

4

5

×

310

10

＋

3

5

×(－

10

10

)＝

910

50

.

(2)因为cos2







α＋

π

4

＝

1＋cos2









α＋

π

4

2

＝

1＋cos









2α＋

π

2

2

＝

1－sin2α

2

，

所以cos2







α＋

π

4

＝

1－sin2α

2

＝

1－

2

3

2

＝

1

6

，选A.

思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已

知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知

角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式

把“所求角”变成“已知角”．

2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝

α＋β

2

－

α－β

2

，α＝

α＋β

2

＋

α－β

2

，

α－β

2

＝(α＋

β

2

)－(

α

2

＋β)等．

(1)设α、β都是锐角，且cosα＝

5

5

，sin(α＋β)＝

3

5

，则cosβ等于()

或

25

5

或

5

25

(2)已知cos(α－

π

6

)＋sinα＝

4

5

3，则sin(α＋

7π

6

)的值是________．

答案(1)A(2)－

4

5

解析(1)依题意得sinα＝1－cos2α＝

25

5

，

cos(α＋β)＝±1－sin2(α＋β)＝±

4

5

.

又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．

因为

4

5

>

5

5

>－

4

5

，

9

所以cos(α＋β)＝－

4

5

.

于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝－

4

5

×

5

5

＋

3

5

×

25

5

＝

25

25

.

(2)∵cos(α－

π

6

)＋sinα＝

4

5

3，

∴

3

2

cosα＋

3

2

sinα＝

4

5

3，

3(

1

2

cosα＋

3

2

sinα)＝

4

5

3，

3sin(

π

6

＋α)＝

4

5

3，

∴sin(

π

6

＋α)＝

4

5

，

∴sin(α＋

7π

6

)＝－sin(

π

6

＋α)＝－

4

5

.

高考中的三角函数求值、化简问题

典例：(1)若tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则

2cos2

θ

2

－sinθ－1

2sin(θ＋

π

4

)

＝________.

(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，且tanα＝

1＋sinβ

cosβ

，则()

A．3α－β＝

π

2

B．2α－β＝

π

2

C．3α＋β＝

π

2

D．2α＋β＝

π

2

(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝

3

3

，则cos2α等于()

A．－

5

3

B．－

5

9

(4)(2012·重庆)

sin47°－sin17°cos30°

cos17°

等于()

A．－

3

2

B．－

1

2

思维点拨(1)注意和差公式的逆用及变形．

10

(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系．

(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系．

(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．

解析(1)原式＝

cosθ－sinθ

sinθ＋cosθ

＝

1－tanθ

1＋tanθ

，

又tan2θ＝

2tanθ

1－tan2θ

＝－22，即2tan2θ－tanθ－2＝0，

解得tanθ＝－

1

2

或tanθ＝2.

∵π<2θ<2π，∴

π

2

<θ<π.∴tanθ＝－

1

2

，

故原式＝

1＋

1

2

1－

1

2

＝3＋22.

(2)由tanα＝

1＋sinβ

cosβ

得

sinα

cosα

＝

1＋sinβ

cosβ

，

即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，

∴sin(α－β)＝cosα＝sin(

π

2

－α)．

∵α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)，

∴α－β∈(－

π

2

，

π

2

)，

π

2

－α∈(0，

π

2

)，

∴由sin(α－β)＝sin(

π

2

－α)，得α－β＝

π

2

－α，

∴2α－β＝

π

2

.

(3)方法一∵sinα＋cosα＝

3

3

，∴(sinα＋cosα)2＝

1

3

，

∴2sinαcosα＝－

2

3

，即sin2α＝－

2

3

.

又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝

3

3

>0，

∴2kπ＋

π

2

<α<2kπ＋

3

4

π(k∈Z)，

∴4kπ＋π<2α<4kπ＋

3

2

π(k∈Z)，

∴2α为第三象限角，

11

∴cos2α＝－1－sin22α＝－

5

3

.

方法二由sinα＋cosα＝

3

3

两边平方得1＋2sinαcosα＝

1

3

，

∴2sinαcosα＝－

2

3

.

∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，

∴sinα－cosα＝(sinα－cosα)2

＝1－2sinαcosα＝

15

3

.

由









sinα＋cosα＝

3

3

，

sinα－cosα＝

15

3

，

得









sinα＝

3＋15

6

，

cosα＝

3－15

6

.

∴cos2α＝2cos2α－1＝－

5

3

.

(4)原式＝

sin(30°＋17°)－sin17°cos30°

cos17°

＝

sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°

cos17°

＝

sin30°cos17°

cos17°

＝sin30°＝

1

2

.

答案(1)3＋22(2)B(3)A(4)C

温馨提醒(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求

值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．

方法与技巧

1．巧用公式变形：

和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝

1＋cos2α

2

，sin2α＝

1－cos2α

2

，

配方变形：1±sinα＝









sin

α

2

±cos

α

2

2，

1＋cosα＝2cos2

α

2

，1－cosα＝2sin2

α

2

.

12

2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要

尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽

可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函

数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

失误与防范

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、

降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．

2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝

2

2

所对应的角α＋β不是唯一的．

3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.

A组专项基础训练

(时间：30分钟)

1．已知tan(α＋β)＝

2

5

，tan









β－

π

4

＝

1

4

，那么tan









α＋

π

4

等于()

答案C

解析因为α＋

π

4

＋β－

π

4

＝α＋β，

所以α＋

π

4

＝(α＋β)－









β－

π

4

，所以

tan









α＋

π

4

＝tan









(α＋β)－









β－

π

4

＝

tan(α＋β)－tan









β－

π

4

1＋tan(α＋β)tan









β－

π

4

＝

3

22

.

2．若θ∈[

π

4

，

π

2

]，sin2θ＝

37

8

，则sinθ等于()

答案D

解析由sin2θ＝

3

8

7和sin2θ＋cos2θ＝1得

(sinθ＋cosθ)2＝

37

8

＋1＝(

3＋7

4

)2，

13

又θ∈[

π

4

，

π

2

]，∴sinθ＋cosθ＝

3＋7

4

.

同理，sinθ－cosθ＝

3－7

4

，∴sinθ＝

3

4

.

3．已知tanα＝4，则

1＋cos2α＋8sin2α

sin2α

的值为()

A．43

C．4

答案B

解析

1＋cos2α＋8sin2α

sin2α

＝

2cos2α＋8sin2α

2sinαcosα

，

∵tanα＝4，∴cosα≠0，分子、分母都除以cos2α得

2＋8tan2α

2tanα

＝

65

4

.

4．(2013·重庆)4cos50°－tan40°等于()

D．22－1

答案C

解析4cos50°－tan40°＝

4sin40°cos40°－sin40°

cos40°

＝

2sin80°－sin40°

cos40°

＝

2sin(50°＋30°)－sin40°

cos40°

＝

3sin50°＋cos50°－sin40°

cos40°

＝

3sin50°

cos40°

＝3.

5．已知cos(x－

π

6

)＝－

3

3

，则cosx＋cos(x－

π

3

)的值是()

A．－

23

3

B．±

23

3

C．－1D．±1

答案C

解析cosx＋cos(x－

π

3

)＝cosx＋

1

2

cosx＋

3

2

sinx＝

3

2

cosx＋

3

2

sinx＝3(

3

2

cosx＋

1

2

sinx)＝3

cos(x－

π

6

)＝－1.

6．

sin250°

1＋sin10°

＝________.

答案

1

2

解析

sin250°

1＋sin10°

＝

1－cos100°

2(1＋sin10°)

14

＝

1－cos(90°＋10°)

2(1＋sin10°)

＝

1＋sin10°

2(1＋sin10°)

＝

1

2

.

7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.

答案1

解析根据已知条件：

cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，

cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，

即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.

又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ>0，

∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.

12°－3,(4cos212°－2)sin12°)＝________.

答案－43

解析原式＝

3sin12°

cos12°

－3

2(2cos212°－1)sin12°

＝

23











1

2

sin12°－

3

2

cos12°

cos12°

2cos24°sin12°

＝

23sin(－48°)

2cos24°sin12°cos12°

＝

－23sin48°

sin24°cos24°

＝

－23sin48°

1

2

sin48°

＝－43.

9．已知

1＋sinα

1－sinα

－

1－sinα

1＋sinα

＝－2tanα，试确定使等式成立的α的取值集合．

解因为

1＋sinα

1－sinα

－

1－sinα

1＋sinα

＝

(1＋sinα)2

cos2α

－

(1－sinα)2

cos2α

＝

|1＋sinα|

|cosα|

－

|1－sinα|

|cosα|

＝

1＋sinα－1＋sinα

|cosα|

＝

2sinα

|cosα|

，

所以

2sinα

|cosα|

＝－2tanα＝－

2sinα

cosα

.

15

所以sinα＝0或|cosα|＝－cosα>0.

故α的取值集合为{α|α＝kπ或2kπ＋

π

2

<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋

3π

2

，k∈Z}．

10．已知α∈









π

2

，π

，且sin

α

2

＋cos

α

2

＝

6

2

.

(1)求cosα的值；

(2)若sin(α－β)＝－

3

5

，β∈









π

2

，π

，求cosβ的值．

解(1)因为sin

α

2

＋cos

α

2

＝

6

2

，

两边同时平方，得sinα＝

1

2

.

又

π

2

<α<π，所以cosα＝－

3

2

.

(2)因为

π

2

<α<π，

π

2

<β<π，

所以－π<－β<－

π

2

，故－

π

2

<α－β<

π

2

.

又sin(α－β)＝－

3

5

，得cos(α－β)＝

4

5

.

cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝－

3

2

×

4

5

＋

1

2

×









－

3

5

＝－

43＋3

10

.

B组专项能力提升

(时间：25分钟)

11．已知tan(α＋

π

4

)＝

1

2

，且－

π

2

<α<0，则

2sin2α＋sin2α

cos(α－

π

4

)

等于()

A．－

25

5

B．－

35

10

C．－

310

10

答案A

解析由tan(α＋

π

4

)＝

tanα＋1

1－tanα

＝

1

2

，得tanα＝－

1

3

.

又－

π

2

<α<0，所以sinα＝－

10

10

.

故

2sin2α＋sin2α

cos(α－

π

4

)

＝

2sinα(sinα＋cosα)

2

2

(sinα＋cosα)

＝22sinα

16

＝－

25

5

.

12．若α∈









0，

π

2

，且sin2α＋cos2α＝

1

4

，则tanα的值等于()

答案D

解析∵α∈









0，

π

2

，且sin2α＋cos2α＝

1

4

，

∴sin2α＋cos2α－sin2α＝

1

4

，∴cos2α＝

1

4

，

∴cosα＝

1

2

或－

1

2

(舍去)，

∴α＝

π

3

，∴tanα＝3.

13．若tanθ＝

1

2

，θ∈(0，

π

4

)，则sin(2θ＋

π

4

)＝________.

答案

72

10

解析因为sin2θ＝

2sinθcosθ

sin2θ＋cos2θ

＝

2tanθ

tan2θ＋1

＝

4

5

，

又由θ∈(0，

π

4

)，得2θ∈(0，

π

2

)，

所以cos2θ＝1－sin22θ＝

3

5

，

所以sin(2θ＋

π

4

)

＝sin2θcos

π

4

＋cos2θsin

π

4

＝

4

5

×

2

2

＋

3

5

×

2

2

＝

72

10

.

14．已知函数f(x)＝sin









x＋

7π

4

＋cos









x－

3π

4

，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期和最小值；

(2)已知cos(β－α)＝

4

5

，cos(β＋α)＝－

4

5

，0<α<β≤

π

2

，求证：[f(β)]2－2＝0.

(1)解∵f(x)＝sin









x＋

7π

4

－2π

＋cos









x－

π

4

－

π

2

＝sin









x－

π

4

＋sin









x－

π

4

＝2sin









x－

π

4

，

∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.

(2)证明由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝

4

5

，

17

cosβcosα－sinβsinα＝－

4

5

，

两式相加得2cosβcosα＝0，

∵0<α<β≤

π

2

，∴β＝

π

2

，

∴[f(β)]2－2＝4sin2

π

4

－2＝0.

15．已知f(x)＝(1＋

1

tanx

)sin2x－2sin(x＋

π

4

)·sin(x－

π

4

)．

(1)若tanα＝2，求f(α)的值；

(2)若x∈[

π

12

，

π

2

]，求f(x)的取值范围．

解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin









x＋

π

4

·

cos









x＋

π

4

＝

1－cos2x

2

＋

1

2

sin2x＋sin









2x＋

π

2

＝

1

2

＋

1

2

(sin2x－cos2x)＋cos2x

＝

1

2

(sin2x＋cos2x)＋

1

2

.

由tanα＝2，得sin2α＝

2sinαcosα

sin2α＋cos2α

＝

2tanα

tan2α＋1

＝

4

5

.

cos2α＝

cos2α－sin2α

sin2α＋cos2α

＝

1－tan2α

1＋tan2α

＝－

3

5

.

所以，f(α)＝

1

2

(sin2α＋cos2α)＋

1

2

＝

3

5

.

(2)由(1)得f(x)＝

1

2

(sin2x＋cos2x)＋

1

2

＝

2

2

sin









2x＋

π

4

＋

1

2

.

由x∈









π

12

，

π

2

，得

5π

12

≤2x＋

π

4

≤

5π

4

.

所以－

2

2

≤sin









2x＋

π

4

≤1,0≤f(x)≤

2＋1

2

，

所以f(x)的取值范围是













0，

2＋1

2

.