三角形三边的关系

三角形的三边关系

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一．选择题（共10小题）

1．（2017?舟山）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值

可以是（）

A．4B．5C．6D．9

【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞

第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符

合条件的．

【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．

因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．

4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，

故选：C．

【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就

是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

2．（2017?淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是

（）

A．14B．10C．3D．2

【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判

断．

【解答】解：设第三边为x，

则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，

所以符合条件的整数为10，

故选B．

【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于

第三边，属于基础题，中考常考题型．

3．（2017?扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可

能是（）

A．6B．7C．11D．12

3

【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范

围，据此求出答案．

【解答】解：设第三边的长为x，

∵三角形两边的长分别是2和4，

∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．

则三角形的周长：8＜C＜12，

C选项11符合题意，

故选C．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三

边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

4．（2017?金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）

A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，10

【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．

【解答】解：∵5+6＜12，

∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形

两边之和大于第三边是解题的关键．

5．（2017?柳北区校级模拟）三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c

为边可组成三角形（）

A．1个B．3个C．5个D．无数个

【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样

就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c的值．从而确定三

角形的个数．

【解答】解：根据三角形的三边关系知c的取值范围是：2＜c＜8，

又c的值为整数，

因而c的值可以是：3、4、5、6、7共5个数，

4

因而由a、b、c为边可组成5个三角形．

故选：C．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解本题的关键是确定出c的值．

6．（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣

b|的结果为（）

A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0

【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对

值符号，合并同类项即可．

【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，

∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，

∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）

=0．

故选D．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三

边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

7．（2017?崇安区一模）如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中

AB=12，BC=14，CD=18，DA=24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为

（）

A．24B．26C．32D．36

【分析】若两个端点的距离最大，则此时这个框架的形状为三角形，可根据三

条线段的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即

可．

【解答】解：已知AB=12，BC=14，CD=18，DA=24；

5

①选12+14、18、24作为三角形，则三边长26、18、24；26﹣24＜18＜

26+24，能构成三角形，此时两个端点间的最长距离为26；

②选12、14+18、24作为三角形，则三边长为12、32、24；32﹣24＜12＜

32+24，能构成三角形，此时两个端点间的最大距离为32；

③选12、14、18+24作为三角形，则三边长为12、14、42；12＜42﹣14，不能

构成三角形．

故选：C．

【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角

度后三角形木框的组合方法是解答的关键．

8．（2017春?薛城区期末）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小林在

池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=7米，则A、B间的距离不可能是

（）

A．4米B．9米C．15米D．18米

【分析】根据三角形的三边关系定理得到3＜AB＜17，根据AB的范围判断即

可．

【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：

10﹣7＜AB＜10+7，

即：3＜AB＜17，

∴AB的值在3和17之间．

故选D．

【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三

角形的三边关系定理是解此题的关键．题型较好．

9．（2017春?秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞

b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）

6

A．3b＜L＜3aB．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+bD．3a﹣b＜L＜

3a+b

【分析】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形

的周长l的取值范围即可．

【解答】解：设第三边长x．

根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．

∴这个三角形的周长m的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜

2a+2b．

故选B．

【点评】考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大

于第三边，任意两边之差小于第三边．

10．（2017春?宜兴市期中）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣

c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）

A．0B．2a+2b+2cC．4aD．2b﹣2c

【分析】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整

式的加减法的运算方法，求出结果是多少即可．

【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|

=（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）

=a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c

=0

故选：A．

【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，

要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．

二．填空题（共8小题）

11．（2017春?弥勒市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长

x的取值范围是3＜x＜9．

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【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小

于第三边，即可得出第三边的取值范围．

【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3和6，

∴第三边长的取值范围是：6﹣3=3＜第三边＜6+3=9．

即：3＜x＜9，

故答案为：3＜x＜9．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的

两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．

12．（2017春?宜兴市期末）已知三角形的三边长分别为3，8，x，若x的值为

偶数，则满足条件的x的值有3个．

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第

三边的取值范围，然后根据第三边长为偶数求出第三边的长，即可判断能够组

成三角形的个数．

【解答】解：∵3+8=11，8﹣3=5，

∴5＜x＜11，

∵x为偶数，

∴x可以是6或8或10，

∴满足条件的三角形共有3个．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系，求出第三边长的取值范围是解

题的关键．

13．（2017春?大丰市期中）若三角形的两边长为3和5，第三边长是偶数，则

第三边长可以是4或6．

【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜

8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．

【解答】解：由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，

∵第三边长为偶数，

8

∴第三边长是4或6．

故答案为：4或6．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决

此类问题的关键．

14．（2017春?常熟市期末）已知一个三角形的两边长分别是2和5，第三边是

奇数，则这个三角形的周长是12．

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三

边．即可求解．

【解答】解：第三边的取值范围是大于3而小于7，又第三边是奇数，故第三

边只有是5，则周长是12．

【点评】注意三角形的三边关系，还要注意奇数这一条件．

15．（2017春?诸城市期末）已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣

5|+|x﹣13|=8．

【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝

对值符号求解即可．

【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，

∴6＜x＜12，

∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，

∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三边关系确定

x的取值范围，从而确定绝对值内的代数式的符号，难度不大．

16．（2016秋?南漳县期末）长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成

三角形，有2种选法．

【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．

9

【解答】解：每三根组合，有11，7，5；11，7，3；11，5，3；7，5，3四种

情况．

根据三角形的三边关系，得其中的11，7，3；11，5，3不能组成三角形．

能够组成三角形的有2种选法，它们分别是11，7，5；7，5，3．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意：任意两边之和大于第三

边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符

合条件的保留下来，不符合的舍去．

17．（2016秋?龙口市期中）在平坦的草地上有A、B、C三个小球，正好可作

为三角形的三个顶点，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则

B球和C球的距离x的取值范围为2米＜x＜4米．

【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行判

断．

【解答】解：∵1+3=4，3﹣1=2，

∴2＜x＜4．

故答案为：2米＜x＜4米

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，已知三角形的两边，则第

三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．

18．（2016春?江阴市校级月考）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）

cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是1＜x≤12．

【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即

可．

【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它

的周长不超过39cm，

∴，

解得1＜x≤12．

故答案为：1＜x≤12．

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【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三

边关系．

三．解答题（共8小题）

19．（2017春?盐都区月考）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，

（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是3或5或7；

（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．

【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；

（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答

案．

【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，

∴1＜DC＜9；

∵CD的长为奇数，

∴CD的值为3或5或7；

故答案为：3或5或7；

（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，

∴∠AEC=55°，

又∵∠A=55°，

∴∠C=70°．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度

数是解题关键．

20．（2016秋?阳新县校级期中）已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、

b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．

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【分析】根据算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为

0，可得a、b的值，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

可得答案．

【解答】解：∵（a﹣6）2+|b﹣8|=0，

∴a﹣6=0，b﹣8=0，

∴a=6，b=8，

b﹣a＜c＜a+b，

这个三角形的最长边c，

c＞b=8，

8＜c＜14．

【点评】本题考查了算术平方根，算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平

方根与绝对值同时为0是解题关键．

21．（2016秋?麻城市月考）如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC

＞（AB+BC+CA）

【分析】在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两

边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．

【解答】证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，

同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．

∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，

∴OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．

【点评】本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之

和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

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22．（2016春?乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，

（1）求CD的取值范围；

（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．

【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；

（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答

案．

【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，

∴1＜DC＜9；

（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，

∴∠AEC=55°，

又∵∠A=55°，

∴∠C=70°．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度

数是解题关键．

23．（2016秋?新城区校级期中）如果a、b、c是△ABC的三边，满足（b﹣

3）2+|c﹣4|=0，a为奇数，求△ABC的周长．

【分析】先根据非负数的性质求出b，c的长，再由三角形的三边关系得出a的

值，进而可得出结论．

【解答】解：∵（b﹣3）2≥0，|c﹣4|≥0且（b﹣3）2+|c﹣4|=0，

∴（b﹣3）2=0|c﹣4|=0，

∴b=3，c=4．

∵4﹣3＜a＜4+3且a为奇数，

∴a=3或5．

当a=3时，△ABC的周长是3+4+3=10；

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当a=5时，△ABC的周长是3+4+5=12．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，

两边差小于第三边是解答此题的关键．

24．（2014秋?邢台校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．

（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，试判断△ABC的形状；

（2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．

【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；

（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．

【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，

∴a﹣b=0，b﹣c=0，

∴a=b=c，

∴△ABC是等边三角形；

（2）∵a=5，b=2，且c为整数，

∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，

∴c=4，5，6，

∴当c=4时，△ABC周长的最小值=5+2+4=11；

当c=6时，△ABC周长的最大值=5+2+6=13．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，

两边差小于第三边是解答此题的关键．

25．（2013秋?株洲县校级期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7

分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．

（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．

（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元

╱分米，问至少需要多少钱购买材料（忽略接头）

【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．

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（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元╱分米，可求其所需钱数．

【解答】解：（1）三角形的第三边x满足：7﹣3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因

为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三

角形木框共有3种．

（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），

∴51×8=408（元）．

答：至少需要408元购买材料．

【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意

两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

26．小兵在用长度为10cm，45cm和50cm的三根木条钉一个三角形，不小心

将50cm的一根折断了，之后就怎么也钉不成一个三角形木架．

（1）最长的木条至少折断了多少厘米

（2）如果最长的木条折断了25cm，你怎样通过截木条的方法钉成一个小三角

形

【分析】（1）根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的

两边差小于第三边求解即可；

（2）根据三边关系确定第三边的长，然后确定折去的木条的长度即可．

【解答】解：（1）∵两根木条的长为10cm、45cm，

∴若第三根木条的长x满足45﹣10＜x＜45+10，

即：35＜x＜55，

∵第三根木条为50cm，

50﹣35=15cm，

∴最长的木条至少折断了15厘米；

（2）如果折去了25cm，则还剩25cm，要想钉成一个三角形架可以将45cm长

的木条折去大于10cm小于30cm的一部分．

【点评】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是确定第三边的取值范围，

难度不大．