三角形的认识

认识三角形

1．三角形有关的概念

1三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,组成三角形的线段叫做三

角形的边,相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角简称三角形的角．

2三角形的表示

三角形用符号“△”表示,顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC”;

如图7-4一l,三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边：AB、BC、AC;有三个角：A、B、C．

△ABC的三边用cba,,表示时,A所对的边BC用

a

表示．B所对的边AC用b表示．C所对的边AB用c

表示．

2．三角形的分类











是钝角）钝角三角形（有一个角

是直角）直角三角形（有一个角

是锐角）锐角三角形（三个角都

形

角

三

注意：根据角的大小来识别三角形的形状时,一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角,则三角形是锐角三

角形；若最大角是直角,则三角形直角三角形；若最大角是钝角,则三角形钝角三角形．

3．三角形中边的关系

1三角形的任意两边之和大于第三边；

2三角形的任意两边之差小于第三边

如图7-4-1中,cbabacabcbcaacbcba,,;,,;

注意：在任意给定的三条线段中,当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时,才能组成三角形;

例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3+4>6,所以这三条线段能组成三角形．

又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4<8,所以这三条线段不能组成三角形．

4．三角形的三种主要线段

1高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段,叫做三角形的高;

如图7-4-2,AD是△ABC的高,可表示为ADBC或ADC=90°或

ADB=90°;

2中线：在三角形中,连接顶点和它对边中点的线段,叫做三角形的中线;

如图7-4-3,AE是△ABC的中线,表示为BE=EC或BE=

2

1

BC或BC=2EC.

3角平分线：在三角形中,一个内角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角

平分线,一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段．

如图7-4-4,AF是ABC的角平分线,可表示为CAFBAF或BACBAF

2

1

或CAFBAC2.

一个三角形中三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在直线交于一点;

5．三角形的高、角平分线、中线的画法

1三角形高的画法,如图7-4-5．

注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．

②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7-4-5甲,

③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7-4-5乙,

④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7-4-5丙．

2三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来,就得到三角形一边上的中线．

3三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同,可以用量角器;

防错档案：画钝角三角形的高容易出错,要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．

6．面积法解题

例如：如图7-4-6,在△ABC

中,AB=AC,AC边上的高BD=10,求

AB边上的高CE的长．

解析：由三角形面积公式有：

ACBDABCES

ABC



2

1

2

1

因为AB=AC,BD=10,

所以CE=BD=10.

名题诠释

例题1如图7-4-7,点D是△ABC的边BC上的一点,点E在AD上．

1图中共有____个三角形；

2以.AC为边的三角形是____；

3以BDE为内角的三角形是____.

解析1AD的左右两侧各有3个三角形,分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD,左右两侧组合

又形成2个以BC为边的三角

形,它们是△ABC、△EBC.故共有8个三角形．2以AC为边的三角形有3个,它们是△.ACE、△ACD、△ACB.3以

BDE为内角的三角形有2个,它们是△EBD、△ABD．

答案182△ACE、△ACD、△ACB3△EBD、△ABD

点评数三角形要注意选择恰当的顺序,做到不重不漏,注意最容易漏掉的是最大的三角形．

例题2下列三角形分别是什么三角形

1已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；

2已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；

3已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；

4已知一个三角形的周长为16cm,有两边的长分别是6cm和4cm.

解析确定三角形的形状,应紧扣定义．

答案1锐角三角形,因为三角形内角和为180°,而两个内角分别是50°和60°,所以第三个内角是70°,即这个三角

形是锐角三角形．

2直角三角形,同理．

3钝角三角形,同理．

4等腰三角形．因为第三条边的长为16-6-4=6cm．

点评应全面考虑三角形的边和角的条件,再根据定义判别．

例题3下列长度的三条线段能组成三角形的是．

、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cm

C.5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm

解析因为1+2<3.5,所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形

因为4+5=9,所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形；

因为5+8<15,所以5cm、8cm、15cm的三条线段不能构成三角形；

因为8+8>9,所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形．

答案D

点评三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系,即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验

较小的两边之和是否大于最大边．

例题4甲地离学校4km,乙地离学校lkm．记甲、乙两地之间的距离

为dkm,则d的取值为．

A.3B.5C.3或5D．3≤d≤5

解析本题应分两种情况讨论：1甲、乙两地与学校在一条直线上；2甲、乙两地与学校

不在同一条直线上,则构成三角形,可利用三角形三边关系解题．

答案D

例题5如图7-4-8,在△ABC中,1=2,G为AD的中点,延长BG交AC于E．F为

AB上一点,CFAD于H,下面判断正确的有．

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的

中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平

分线和高线．

A.l个B．2个C.3个D．4个

解析由1=2知AD平分BAE．但AD不是△ABE内的线段,故①错,AD应是△ABC的角平分线；同理,BE经

过△ABD的边AD的中点G,但BE不是△ABD中的线段,故②不正确,正确的说法应是BG是△ABD边AD上的中线；

由于CHAD于H,故CH是△ACD边AD上的高,故③正确；AH平分FAC并且在△ACF内,故AH是△ACF的

角平分线,同理AH也是△ACF的高,故④正确．

答案B

点评三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段,在三角形的内部,后者是射线,可以无限延伸．

例题6在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分,求三角形各边的长,

解析中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分,要分类讨论：1当腰长小于底边时,AB+AD=12,如图7-4-9

①；2当腰长大于底边时,AB+AD=15,如图7-4-9②．

答案设AB=

x

,则有：AD=DC=x

2

1

．

1若AB+AD=12,即

x

+x

2

1

=12,

x

=8．

AB=AC=8,DC=4,故BC=15-4=11.

此时AB+AC>BC,

所以三角形三边长分别为8cm,8cm,llcm.

2若AB+.4D=15,即

x

+x

2

1

=15,

x

=10．

即AB=AC=10,DC=5,

故BC=12-5=7．显然,此时三角形存在,

所以三角形三边长分别为l0cm,l0cm,7cm．

综上所述,此三角形的三边长分别为8cm,8cm．llcm或l0cm,l0cm,7cm．

例题7如图7-4-10,是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE,其中画法错误的是____________

解析甲图错在把三自形的高线与AC边的垂线定义相混淆,把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一

特征,画出的BE与AC不垂直；丙图错在没有过点B画AC的垂线,故不是高；丁图错在没有向点B的对边画垂线．

答案甲、乙、丙、丁

例题8如图7—4-11,在△ABC中,AB=AC,AC边上高BD=10,P为边BC上任意一点,PMAB,PNAC,垂足分别为

M,N．求PM+PN的值．

解析连接AP后,PM、PN就转化为△APB和△APC的高,从而由面积法可求得PM+PN的值．

答案连接AP,由图7-4-11可知：

ABCACPABP

SSS



,

即BDACPNACPMAB

2

1

2

1

2

1

因为AB=AC,BD=10,

所以PM+PN=BD=10.

速效基础演练

1如图7-4-12,图中三角形的个数共有．

A1个B．2个C.3个D．4个

2三角形两边的长分别为lcm和4cru,第三边的长是一个偶数,则第三边的长是________,这个三角形是___________三

角形

3如图7-4-13．

1ADBC,垂足为D,则AD是___________的高,_______=_______=90°；

2若AE平分BAC,交BC于E点,AE叫___________的角平分线,BAE=_______=

2

1

________;

3若AF=FC,则△ABC的中线是_________;

4若BC=GH=HF．则AG是________的中线,AH是_________的中线;

4如图7-4-14,在△ABC中,C=90°,D、E为AC上的两点,且AE=DE,CBD=EBC

2

1

,

则下列说法中不正确的是．

A．BC是△ABE的高

B．BE是△ABD的中线

C．BD足△EBC的角平分线

D．DBCEBDABE

5如图7-4-15,哪一个图表示AD为△ABC的高

6如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是．

A．15B．16C．8D．7

7下列长度的三条线段,能组成三角形的是．

,2cm,3cm

B.2cm,3cm,6cm

C.4cm,6cm,8cm

D.5cm,6cm,12cm

8如图7-4-16,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测

得OA=15米,OB=10米,A、B间的距离不可能是．

A．5米B．10米C．15米D．20米

9如图7-4-17,在△ABC中,1画出C的平分线CD；2画出AC边上的中线BM；

3画出△ABM的边BM上的高AH

.

10如图7-4-18．△ABC是周长为18cm的等边三角

形,D是BC上一点,△ABD的周长比△ADC的周长多2cm,求BD、DC的长;

11等腰三角形的周长为30,一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分,试求腰长．

12已知如图7-4-19,在△ABC中,BE平分ABC,交AC于点E,DE∥BC,EF∥AB,分别交AB、BC于点D、F,则BE

是DEF的平分线吗请说明理由．

13在△ABC中,C=90°,BC=6,AC=8,AB=10,求边AB上的高．

知能提升突破

1如图7-4-20,在△ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE上的中点,且

ABC

S



=42cm,

求阴影部分的面积

阴

S;

2如图7-4-21,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,P为BC延长线上的一

点,ABPM,ACPN,垂足分别为M、N．试问PM、PN与BD之间有何关系

3某木材市场上木棒规格和价格如下表：

规格1m2m3m4m5m6m

价格

元/根1

小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用,现有两根长度为3m和5m的木棒,还需要到

某木材市场上购买一根．问：

1有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择

2选择哪一种规格的木棒最省钱