深圳广播电视大学

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经济数学基础作业（四）

（一）填空题

1.函数

)1ln(

1

4)(





x

xxf的定义域为]4,2()2,1(.

2.函数2)1(3xy的驻点是

1x

，极值点是

1x

，它是极小值点.

3.设某商品的需求函数为2e10)(

p

pq，则需求弹性

p

E

2

p



4.行列式.

5.设线性方程组

bAX

，且

























0100

2310

6111

t

A，则

1t

时，方程组有

唯一解.

（二）单项选择题

1.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B）．

A．sinxB．exC．x2D．3-x

2.设，则))((xff（C）．

A．

x

1

B．

2

1

x

C．xD．2x

3.下列积分计算正确的是（A）．

A．B．

C．

0dsin1

1

xxx

-

D．

0)d(3

1

1

2xxx

-

4.设线性方程组bXA

nm





有无穷多解的充分必要条件是（D）．

A．mArAr)()(B．nAr)(C．nmD．nArAr)()(

5.设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（C）．

A．0

321

aaaB．0

321

aaa

2/10

C．0

321

aaaD．0

321

aaa

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程：

(1)yxey

（2）

解：解：dxxedyyx23

dxeydexy)(dxexeyxx3

ceexycexeyxx3

0ceeyx

2.求解下列一阶线性微分方程：

（1）（2）

解：))1((1

2

3

1

2

cdxexeydx

x

dx

x











解：

)2sin2(

11

cdxxexeydx

x

dx

x





)

)1(

1

)1(()1(

2

32cdx

x

xx



)

1

2sin2(cdx

x

xxx

))1(()1(2cdxxx))2(2(cxxdinsx

))1(

2

1

()1(22cxxcxxx2cos

3.求解下列微分方程的初值问题：

(1)yxy

2e,0)0(y(2)

0e

xyyx,0)1(y

解：解：

dxedyexy2)

1

(

11

cdxee

x

eydx

x

x

dx

x





3/10

∵0)0(y∴∵0)1(y∴ec

∴∴

4.求解下列线性方程组的一般解：

（1）

















0352

023

02

4321

4321

431

xxxx

xxxx

xxx

解：



















































































0000

1110

1201

1110

1110

1201

3512

2311

1201

A

∴其中

3

x，

4

x为自由变量

（2）

















51147

242

12

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

解：





















































































37350

37350

24121

511471

11112

24121

511471

24121

11112

__

A



























































































00000

5

3

5

7

5

3

10

5

4

5

6

5

1

01

00000

5

3

5

7

5

3

10

24121

00000

37350

24121

∴其中

3

x，

4

x为自由变量

5.当



为何值时，线性方程组

























4321

4321

4321

4321

10957

33223

132

245

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

有解，并求一般解。

4/10

解：__

A













































































14182620

391310

391310

24511

10957

33223

11312

24511







































80000

00000

391310

24511



∴当

8

时线性方程组有解，且





































80000

00000

391310

15801



∴其中

3

x，

4

x为自由变量

6．ba,为何值时，方程组

有唯一解、无穷多解或无解。

解：



















































































3300

1120

1111

1140

1120

1111

31

2211

1111

__

bababa

A

∴当

3a

时，方程组有唯一解，

3a3b时，方程组有无穷多解，

3a3b时，方程组无解。

7．求解下列经济应用问题：

（1）设生产某种产品

q

个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万

元）,

求：①当10q时的总成本、平均成本和边际成本；

②当产量

q

为多少时，平均成本最小？

5/10

解：①)(1851061025.0100)10(2万元C

)(5.1861025.010)10(

__

万元C

65.0)(



qqC

)(116105.0)10(万元



C

②625.0

100

)(

—

q

q

qC

025.0

100

)(

2

—





q

qC令解得20q为唯一驻点

∴当20q时，)(—

qC最小。

（2）.某厂生产某种产品

q

件时的总成本函数为201.0420)(qqqC（元），

单位销售价格为qp01.014（元/件），问产量为多少时可使利润达到最

大？最大利润是多少．

解：201.014)(qqqpqR

201.0420)(qqqC

2002.010)()()(2qqqCqRqL

令004.010)(



qqL解得250q为唯一驻点

∴当250q件时，)(qL最大。

123..025010)250(2L（元）

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(



xxC(万

元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，与产量为多少

时，可使平均成本达到最低．

解：100)40()402()(6

4

2

6

4

xxdxxxC（万元）

6/10

令解得

6x

（百台）为唯一驻点

∴当

6x

百台时，)(—

qC最低。

（4）已知某产品的边际成本)(qC

=2（元/件），固定成本为0，边际收入

qqR02.012)(

，求：

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解：①令



)(qL002.010)()(







qqCqR解得

500x

为唯一驻点

∴当

500x

件时，)(qL最大。

②550

500

2

550

500

)01.010()02.010()(xxdxxxL

25

525500

)50001.05000()55001.05500(22







利润将下降25元。袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁

蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁

膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂

螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁

薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈

膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁

罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃

蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂

蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃

螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇

莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃

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肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀

螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃

薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇

蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇

肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅

袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁

螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈

薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈

聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂

羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿

蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿

莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂

肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇

羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿

蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀

艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆

肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄

聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇

袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁

薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀

肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈

螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀

8/10

蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄

膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄

芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅

袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁

蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿

芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂

肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆

螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅

蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆

莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂

艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇

蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿

薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁

蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀

肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈

羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃

薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈

膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇

芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿

袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅

薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂

芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄

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