函数单调性

“函数的单调性”的教学设计

一、教材分析

地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在

中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特

点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．

重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难

点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

二、教学目标

知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．

能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的

逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.

德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变

化的观点认识世界的思维习惯.

三、学情研究

在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单

函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函

数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数

的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.

四、教具选择

多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.

五、过程设计

问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

用多媒体技术展示函数动态的变化态势，让学生对图像的各种变化以及相关联的方面

得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.

学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有

的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某

种对称性……

y

x1

-1

1

-1

y

x1

-1

1

-1

y

x1

-1

1

-1

y

x1

-1

1

-1

师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.

图2：函数图像在,0上下降，在0,上上升.

图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.

图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降.

共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.

师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下

坡？

生：有的说上坡，有的说下坡.

师：为何说法不一？

生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义.

师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？

生：以x轴的方向为参照较好.

师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数

的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单

调减”.

意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有

的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学

概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一

是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语

言加以描述.

师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.

能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？

生：讨论之后提出一种表示：

上升：函数yfx随x的增大而增大

下降：函数yfx随x的增大而减小

师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？

生：x的增大x

1

2

，yfx

的增大

12

fxfx

故猜想上升即x

1

2



12

fxfx

同理：下降即x

1

2



12

fxfx

师：按刚才所说：对于函数2yx而言，因为13时，13ff，所

以函数2yx是增函数.对不对？

生：联系图像，发现问题，改进猜想.

师：总结之后给出定义.

数学理论：函数单调性定义

一般地，设函数yfx

的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意

．．

两

个自变量x

1

，x

2

，当x

1

2

时，都有

12

fxfx

，那么就说yfx

在区

间D上是增函数（increasingfunction）．D称为y=f(x)的单调增区间（increasing

interval）.

注意：

○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2必须是对于区间I内的任意

．．

两个自变量x

1

，x

2

；当x

1

2

时，总有



12

fxfx

．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．

数学运用：例1．（教材P

34

例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：

⑴22yx；

⑵

1

(0)yx

x



解：（略）

巩固练习：课本P

37

练习第1、2题

点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分

容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．

例1引申：函数

x

y

1

在整个定义域上是否为单调函数？

函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调

的．

例2．（教材P

35

例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

求证：函数

1

1y

x



在区间,0上是单调增函数.

解：（略）

巩固练习：

○1课本P

37

练习第5题；

○2证明函数

x

xy

1

在（1，+∞）上为增函数．

例3．借助计算机作出函数23yxx的图象并指出它的单调区间．

解：（略）

小结：判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤：

○1任取x

1

，x

2

∈I，且x

1

2

；

○2作差

12

fxfx；

○3变形（通常是因式分解，配方或有理化）；

○4定号（即判断差

12

fxfx的正负）；

○5下结论（即指出函数yfx

在给定的区间I上的单调性）．

回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借

助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一

般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论

六、教后反思

⑴要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面.当然，

情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生

思维发展的实际等等.

⑵函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系，这些对函数单调性的学习有

着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.

⑶概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次

反思，不断运用.