函数定义域

数学知识点必读：函数的定义域

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数学知识点必读：函数的定义域

〔高中函数定义〕设A，B是两个非空的数集，如果按

某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，

在集合B中都有唯一确定的数f〔x〕和它对应，那么就称

f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f〔x〕，x属

于集合A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的

定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值

域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

〔1〕化归法；〔2〕图象法〔数形结合〕，

〔3〕函数单调性法，

〔4〕配方法，〔5〕换元法，〔6〕反函数法〔逆求法〕，〔7〕

判别式法，〔8〕复合函数法，〔9〕三角代换法，〔10〕根本

不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法那么、值域是函数构造的三个根本“元件〞。

平时数学中，实行“定义域优先〞的原那么，无可置疑。然

而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削

弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬〞一手

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“软〞，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与

值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者

随时处于互相转化之中〔典型的例子是互为反函数定义域与

值域的相互转化〕。如果函数的值域是无限集的话，那么求

函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能

奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性

来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来

讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果

加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理

解，从而深化对函数本质的认识。

“范围〞与“值域〞相同吗？

“范围〞与“值域〞是我们在学习中经常遇到的两个概念，

许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概

念。“值域〞是所有函数值的集合〔即集合中每一个元素都

是这个函数的取值〕，而“范围〞那么只是满足某个条件的

一些值所在的集合〔即集合中的元素不一定都满足这个条

件〕。也就是说：“值域〞是一个“范围〞，而“范围〞却

不一定是“值域〞。