双曲线的通径

1/10

双曲线与方程

【知识梳理】

1、双曲线的定义

（1）平面内，到两定点

1

F

、

2

F

的距离之差的绝对值等于定长12

22,0aFFaa

的点的轨迹称为双曲线，其中两

定点

1

F

、

2

F

称为双曲线的焦点，定长2a称为双曲线的实轴长，线段

12

FF的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线

的第一定义.

【注】

1212

2PFPFaFF，此时P点轨迹为两条射线.

（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1ee的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦

点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.

2、双曲线的简单性质

标准方程22

22

1,0

xy

ab

ab

22

22

1,0

yx

ab

ab



顶点坐标

,0Aa0,Ba

焦点坐标

左焦点

1

,0Fc，右焦点

2

,0Fc上焦点

1

0,Fc，下焦点

2

0,Fc

虚轴与虚轴实轴长2a、虚轴长2b实轴长2a、虚轴长2b

有界性

xaya，

对称性

关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称.

3、渐近线

双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



的渐近线为

22

22

0

xy

ab



，即

0

xy

ab



，或

b

yx

a



.

【注】

①与双曲线

22

22

1

xy

ab



具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22

22

0

xy

ab



；

②渐近线为

b

yx

a



的双曲线方程可以设为22

22

0

xy

ab



；

2/10

③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同

的渐近线.

④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.

4、焦半径

双曲线上任意一点P到双曲线焦点F的距离称为焦半径.若

00

(,)Pxy

为双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



上的任意一点，

1

(,0)Fc

，

2

(,0)Fc

为双曲线的左、右焦点，则

10

||PFexa

，

20

||PFexa

，其中

c

e

a



.

5、通径

过双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



焦点F作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A、B两点，称线段AB为双曲线的通径，

且

22b

AB

a



.

6、焦点三角形

P为双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



上的任意一点，

1

(,0)Fc

，

2

(,0)Fc

为双曲线的左右焦点，称

12

PFF

为双曲线的焦点

三角形.若

12

FPF

，则焦点三角形的面积为：

12

2cot

2FPF

Sb







.

7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b（虚半轴长）.

8、双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



的焦点三角形的内心的轨迹为0xay

9、直线与双曲线的位置关系

直线

:0lAxByC

，双曲线：22

22

1,0

xy

ab

ab



，则

l与相交22222aAbBC；

l与相切22222aAbBC

；

l与相离22222aAbBC

.

10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.

【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.

11、焦点三角形角平分线的性质

3/10

点(,)Pxy是双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



上的动点，

12

,FF是双曲线的焦点，M是

12

FPF的角平分线上一点，且

2

0FMMP，则OMa，即动点M的点的轨迹为222xyaxa.

12、双曲线上任意两点的坐标性质



1122

,,,AxyBxy为双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



上的任意两点，且

12

xx，则

22

2

12

222

12

yy

b

xxa







.

【推广1】直线

l

过双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



的中心，与双曲线交于

1122

,,,AxyBxy两点，P为双曲线上的任

意一点，则

2

2

APBP

b

kk

a



（,

APBP

kk均存在）.

【推广2】设直线

11

0lykxmm：交双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



于CD、两点，交直线

22

lykx：

于点E．若E

为CD的中点，则

2

12

2

b

kk

a



.

13、中点弦的斜率

直线

l

过

000

,0Mxyy与双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



交于,AB两点，且AMBM，则直线

l

的斜率

2

0

2

0

AB

bx

k

ay



.

14、点(,)(0,0)Pxyxy是双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



上的动点，过P作实轴的平行线，交渐近线于,MN两

点，则PMPN定值2a.

15、点(,)(0,0)Pxyxy是双曲线22

22

1,0

xy

ab

ab



上的动点，过P作渐近线的平行线，交渐近线于,MN两

点，则

OMPN

S定值

2

ab

.

【典型例题】

例1、双曲线的渐近线方程为20xy，焦距为10，这双曲线的方程为_________.

4/10

【变式1】若曲线

22

1

41

xy

kk





表示双曲线，则k的取值X围是_________.

【变式2】双曲线

22

1

48

xy

的两条渐近线的夹角为_________.

【变式3】已知椭圆

22

22

1

35

xy

mn



和双曲线

22

22

1

23

xy

mn



有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.

【变式4】若椭圆

22

1(0)

xy

mn

mn



和双曲线

22

1(0,0)

xy

ab

ab



有相同焦点

1

F

、

2

F

，P为两曲线的一个交

点，则

12

PFPF_________.

【变式5】如果函数2yx的图像与曲线22:4Cxy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值X围是

（）

A．[1,1)B.1,0C.(,1][0,1)D.[1,0](1,)

【变式6】直线2x与双曲线

1

4

:2

2

y

x

C的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若

5/10

OBbOAaOP(ORba,,为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）

A.222abB.

2

1

22ba

C.222abD.22

1

2

ab

【变式7】设连接双曲线

22

22

1

xy

ab

与

22

22

1

yx

ba

的四个顶点为四边形面积为

1

S,连接其四个焦点的四边形面积为

2

S，则1

2

S

S

的最大值为_________.

例2、设

12

FF、分别是双曲线

2

21

9

y

x

的左右焦点,若点P在双曲线上，且

12

=0PFPF，则

12

PFPF=_________.

【变式1】过双曲线

22

1

109

xy



的左焦点

1

F

的弦6AB，则

2

ABF

（

2

F

为右焦点）的周长为_________.

【变式2】双曲线

22

1

1620

xy



的左、右焦点

1

F

、

2

F

，P是双曲线上的动点，且

1

9PF，则

2

PF_________.

6/10

例3、设

12

FF、是双曲线

2

21

4

x

y的两个焦点，点P是双曲线的任意一点，且

123

FPF



，求

12

PFF的面积.

例4、已知直线1ykx与双曲线2231xy有AB、两个不同的交点，如果以AB为直径的圆恰好过原点O,

试求k的值.

例5、已知直线1ykx与双曲线2231xy相交于AB、两点，那么是否存在实数k使得AB、两点关于直线

20xy对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

例6、已知双曲线

22

1

124

xy



的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率

的取值X围为_________.

【变式1】已知曲线C:21(4)xyyx；

（1）画出曲线C的图像；

（2）若直线l：1ykx与曲线C有两个公共点，求k的取值X围；

7/10

（3）若0Pp，0p，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值.

【变式2】直线l：10axy与曲线C：2221xy.

（1）若直线l与曲线C有且仅有一个交点，某数

a

的取值X围；

（2）若直线l被曲线C截得的弦长221PQa，某数a的取值X围；

（3）是否存在实数

a

，使得以PQ为直径的圆经过原点，若存在，求出

a

的值；若不存在，请说明理由.

例7、已知F是双曲线

22

1

412

xy

的左焦点，(14)A，,P是双曲线右支上的动点，求PFPA的最小值.

【变式】P是双曲线

22

1

916

xy



的右支上一点，,MN分别是圆2

254xy

和2

251xy

上的点，则

PMPN的最大值等于_________.

例8、已知动圆P与两个定圆2

251xy

和2

2549xy

都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.

8/10

【变式1】ABC的顶点为50A，,5,0B，ABC的内切圆圆心在直线3x上，则顶点C的轨迹方程是

_________.

【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为7,0F，直线1yx与其相交于MN、两点，线段MN

的中点的横坐标为

2

3

，求此双曲线的方程.

例9、已知双曲线

22

1

916

xy

，若点M为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.

例10、焦点在

x

轴上的双曲线C的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点

(0,2)P

为圆心，以1为半径的

圆相切，又知双曲线C的一个焦点与P关于直线yx对称

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线1ymx与双曲线C的左支交于,AB两点，另一直线l经过点(2,0)M及AB的中点，求直线l在

轴上的截距

n

的取值X围.

【变式】设直线l的方程为1ykx，等轴双曲线C：222xya右焦点为2,0.

（1）求双曲线的方程；

9/10

（2）设直线l与双曲线的右支交于不同的两点AB、,记AB中点为M，某数k的取值X围，并用k表示点M的坐

标；

（3）设点1,0Q，求直线QM在y轴上的截距的取值X围.

例11、已知双曲线C方程为：

2

21

2

y

x.

（1）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点AB、，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值；

（2）设直线l是圆O：222xy上动点

00

(,)Pxy（

00

0xy）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点AB、，

证明AOB的大小为定值.

例12、已知中心在原点，顶点

12

AA、在

x

轴上，其渐近线方程是

23

3

yx，双曲线过点6,6P.

（1）求双曲线的方程；

（2）动直线l经过

12

APA的重心G，与双曲线交于不同的两点MN、，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，

证明你的结论.

例13、已知点

1

F、

2

F为双曲线C：01

2

2

2b

b

y

x

的左、右焦点，过

2

F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双

曲线C于点M，且30

21

FMF．圆O的方程是222byx

．

10/10

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为

1

P、

2

P，求

21

PPPP

的值；

（3）过圆O上任意一点

00

y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．

例14、已知双曲线C：22

22

10,0

xy

ab

ab



的一个焦点是

2

2,0F，且ab3．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设经过焦点

2

F的直线l的一个法向量为)1,(m

，

当直线l与双曲线C的右支相交于BA,不同的两点时，某数

m

的取值X围；并证明AB中点M在曲线3)1(322yx上．

（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于BA,两点，问是否存在实数

m

，使得AOB为锐角？若存在，请

求出

m

的X围；若不存在，请说明理由．