5的立方根

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立方根

【要点梳理】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于

a

，那么这个数叫做

a

的立方根或三次方根.这就是说，记作3a

表示，其中

a

是被开方数，3是根指数.符号“3”读作“三次根号”.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：开立方和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个

非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

33aa

3

3aa

3

3aa

要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左

移动1位.例如，30.0002160.06＝

，30.2160.6＝

，32166＝，321600060＝

.

【典型例题】

类型一、立方根的概念

1、下列结论正确的是（）

A．64的立方根是±4B．

1

2

是

1

6

的立方根

C．立方根等于本身的数只有0和1D．332727

2、阅读下面语句：

①1的

k3

次方（k是整数）的立方根是-1．

②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．

③如果

0a

，那么a的立方根的符号与a的符号相同．

④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．

⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．

正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

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举一反三：

【变式】下列说法正确的是（）

A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号

C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数

类型二、立方根的计算

2、求下列各式的值：

（1）

3

27

10

2

（2）3

235411

（3）

3

3

64

1

8

（4）2

3

327(3)1

（5）100

3

3)1(

4

1

2)2(

举一反三：

【变式】计算=．

类型三、利用立方根解方程

3、（1）若8x

3

﹣27=0，则x=．

举一反三：

【变式】求出下列各式中的

a

：

（1）若3a＝0.343，则

a

＝______；（2）若3a－3＝213，则

a

＝______；

（3）若3a＋125＝0，则

a

＝______；（4）若31a＝8，则

a

＝______．

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类型四、平方根与立方根的混合

4、设8

27

x

，则2x

，3x

，3

2x分别等于（C）

A．8

9

,

2

3

,

8

27



B．

8

9

,

2

3

,

8

27



C．4

9

,

2

3

,

8

27



D．4

9

,

2

3

,

8

27



5、有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正

数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，

那么这个数必是1和0．

其中错误的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【变式】下列语句对不对？为什么？

（1）0.027的立方根是0.3．

（2）3a不可能是负数．

（3）如果a是b的立方根，那么0ab．

（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．

类型五、立方根实际应用

4、将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方

体的棱长为____________。(不计损耗)

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巩固练习

一、选择题

1.下列说法不正确的是（）

A．的平方根是B．﹣9是81的一个平方根

C．0.2的算术平方根是0.04D．﹣27的立方根是﹣3

2.如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是()

A.0B.C.D.

4.下列说法错误的是()

A.1的平方根是B.的立方根是

C.是的平方根D.是2的平方根

5.

3

－8等于()

A．2B．23

C．－

1

2

D．－2

7.下列计算正确的是()

A.

3

0.0125＝0.5B.

3

－

27

64

＝

3

4

C.

3

3

3

8

＝1

1

2

D．－

3

－

8

125

＝－

2

5

8、下列语句正确的是（）

A．64的立方根是2B．-3是27的负立方根

C．

216

125

的立方根是

6

5

D．2)1(的立方根是1

9.下列各式正确的是（）．

A.B.C.D.

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10.若一个数的立方根是－3，则该数为()

A．－

3

3B．－27

C．±

3

3D．±27

二．填空题

11.（﹣2）3的立方根为

12.小成编写了一个程序：输入

x→x²→立方根→倒数→算术平方根→，则

x

为．

13.－64的立方根是，－

1

3

是的立方根．

14.估算310的整数部分是__________,小数部分是

15.已知（x﹣1）3=64，则x的值为．

16.计算

3

0.027－

3

1－

124

125

＋

3

－0.001=

三、解答题

17.（1）

(x+3)3+27=0

（2）（

2x﹣1）3=﹣4．

18.已知

m+n

与

m﹣n

分别是9的两个平方根，

m+n﹣p

的立方根是1，求

n+p

的值．

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19.求下列各式的值：

(1)

3

－1000；

(2)－

3

－64；(3)－

3

729＋

3

512；

21.已知某正数的两个平方根分别是

a﹣3

和

2a+15

，

b

的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b

的算术平

方根．

22.已知3

2211aa，求a的值。

23.已知3320x是整数，求最小正整数x的值.

24、一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216

立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．

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立方根答案

【要点梳理】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于

a

，那么这个数叫做

a

的立方根或三次方根.这就是说，记作3a

表示，其中

a

是被开方数，3是根指数.符号“3”读作“三次根号”.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：开立方和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个

非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

33aa

3

3aa

3

3aa

要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左

移动1位.例如，30.0002160.06＝

，30.2160.6＝

，32166＝，321600060＝

.

【典型例题】

类型一、立方根的概念

1、下列结论正确的是（D）

A．64的立方根是±4B．

1

2

是

1

6

的立方根

C．立方根等于本身的数只有0和1D．332727

【解析】64的立方根是4；

1

2

是

1

8

的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.

【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；33aa.

2、阅读下面语句：

①

1

的

k3

次方（k是整数）的立方根是-1．

②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．

③如果

0a

，那么a的立方根的符号与a的符号相同．

④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．

⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．

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正确的有（b）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】：当

1k

时，

3

3

31)1(k

，而当

2k

时，

11)1()1(3

3

6

3

3k

，可见

①不正确；

1)1(3

，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能等于

1

，所以②

不正确；当

0a

时，

3a

是正数，当

0a

时，

3a

是负数，所以③是正确的；

04.02.0,2.004.0

，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，

3001.0

的情况与此相同；课本中写到：“如果

0a

，那么

33aa

”，这个关系式对

0a

时也是正确的，只不过相当于等式两边调换了位置，所以⑤是正确的．

举一反三：

【变式】下列说法正确的是（）

A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号

C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数

【答案】B；

提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.

类型二、立方根的计算

2、求下列各式的值：

（1）

3

27

10

2

（2）3

235411

（3）

3

3

64

1

8

（4）2

3

327(3)1

（5）100

3

3)1(

4

1

2)2(

【答案与解析】

解：（1）

310

2

27



（2）3

321145（3）

3

3

1

8

64



364

27

4

3





3

3

=116425

=729

=9



1

=2

4

1

=

2











（4）2

3

327(3)1

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=331

=1



（5）3100

3

1

(2)2(1)

4



3

=21

2

47

=1=

33





【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.

举一反三：

【变式】（2015春•武汉校级期末）计算=．

【答案】．

解：．

类型三、利用立方根解方程

3、（2015春•黄梅县校级月考）若8x

3

﹣27=0，则x=．

【思路点拨】先求出x

3

的值，然后根据立方根的定义解答．

【答案】．

【解析】

解：8x

3

﹣27=0，

x

3

=，

∵（）

3

=，

∴x=；

【总结升华】本题考查了利用立方根求未知数的值，熟记立方根的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式】求出下列各式中的

a

：

（1）若3a＝0.343，则

a

＝______；（2）若3a－3＝213，则

a

＝______；

（3）若3a＋125＝0，则

a

＝______；（4）若31a＝8，则

a

＝______．

【答案】（1）

a

＝0.7；（2）

a

＝6；（3）

a

＝－5；（4）

a

＝3．

类型四、平方根与立方根的混合

1、设8

27

x

，则2x

，3x

，3

2x分别等于（C）

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A．8

9

,

2

3

,

8

27



B．

8

9

,

2

3

,

8

27



C．4

9

,

2

3

,

8

27



D．4

9

,

2

3

,

8

27



分析：64

729

)

8

27

(2

∵

,

64

729

)

8

27

(2

∴8

27

)

8

27

(2

．

∵8

27

)

2

3

(2

，∴2

3

3x

．

∵64

729

2x

，

64

729

)

4

9

(3

，∴4

9

3

2x

．

【说明】：考查平方根、立方根的求法．

例6有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正

数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，

那么这个数必是1和0．

其中错误的是

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【分析】：一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立

方根等于本身的数有0，1和

1

．所以①、②、④都是错的，只有③正确．

【解答】：B

说明：立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆．

【变式】下列语句对不对？为什么？

（1）0.027的立方根是0.3．

（2）3a不可能是负数．

（3）如果a是b的立方根，那么0ab．

（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．

【分析】：立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．因

为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立

方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考

虑问题，上述题不难解答．

【解答】：（1）正确．因为027.0)3.0(3，所以0.027的立方根是0.3．

（2）不正确．当a是负数时，就有一个负的立方根，即3a就是负数．

（3）正确．如果b是正数，它的立方根a也是正数；如果b是负数，它的立方根a也是负

数；如果b是零，它的立方根是零，所以0ab．

（4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方

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根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是

零．

类型五、立方根实际应用

4、将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方

体的棱长为____________。(不计损耗)

【答案】3

33ab；

巩固练习

二、选择题

1.下列说法不正确的是（C）

A．的平方根是B．﹣9是81的一个平方根

C．0.2的算术平方根是0.04D．﹣27的立方根是﹣3

2.如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是(A)

A.0B.C.D.

D

4.下列说法错误的是(C)

A.1的平方根是B.的立方根是

C.是的平方根D.是2的平方根

5.

3

－8等于(D)

A．2B．23

C．－

1

2

D．－2

7.下列计算正确的是(C)

A.

3

0.0125＝0.5B.

3

－

27

64

＝

3

4

C.

3

3

3

8

＝1

1

2

D．－

3

－

8

125

＝－

2

5

8、下列语句正确的是（A）

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A．64的立方根是2B．-3是27的负立方根

C．

216

125

的立方根是

6

5

D．2)1(的立方根是1

分析：A中64=8，它的立方根是2，对；B中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，

错；C中正数的立方根应只有一个，错；D中

2)1(=1，它的立方根是1，而不是1．

9.下列各式正确的是（A）．

A.B.

C.D.

10.若一个数的立方根是－3，则该数为(B)

A．－

3

3B．－27

C．±

3

3D．±27

三．填空题

12.（﹣2）3的立方根为2

12.小成编写了一个程序：输入x→x2→立方根→倒数→算术平方根→，则x为±8．

13.－64的立方根是－4，－

1

3

是－

1

27

的立方根．

14.)化简：

3

8＝2

15.已知（x﹣1）3=64，则x的值为5．

16.计算

3

0.027－

3

1－

124

125

＋

3

－0.001=0

三、解答题

17.（1）

(x+3)3+27=0

（2）（2x﹣1）3=﹣4．

【解答】解：（1）开方得：3x+2=4或3x+2=﹣4，

解得：x

1

=，x

2

=﹣2；

（2）开立方得：2x﹣1=﹣2，解得：x=﹣．

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18.已知m+n与m﹣n分别是9的两个平方根，m+n﹣p的立方根是1，求n+p的值．

【解答】解：由题意可知：

m+n+m﹣n=0，（m+n）2=9，m+n﹣p=1，

∴m=0，

∴n2=9，

∴n=±3，

∴0+3﹣p=1或0﹣3﹣p=1，

∴p=2或p=﹣4，

当n=3，p=2时，n+p=3+2=5

当n=﹣3，p=﹣4时，n+p=﹣3﹣4=﹣7，

19.求下列各式的值：

(1)

3

－1000；

解：－10.

(2)－

3

－64；

解：－4.

(3)－

3

729＋

3

512；-9+8

解：－1.

22.已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b的算术平

方根．

【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．

∴a﹣3+2a+15=0，b=﹣8，解得a=﹣4．

∴﹣2a﹣b=16，

22、一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216

立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．

分析：立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题．

解答1：∵21663，∴62163，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的

棱长为236（厘米）

解答2：设小正方体的棱长为a厘米，则玩具的棱长为a3厘米，由题意得

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216)3(3a，∴216273a，83a，2a（厘米）．

解答3：设小正方体的棱长为a厘米．则玩具的棱长为a3厘米，由题意得216)3(3a，

∴621633a，∴2a（厘米）．