高一数学上学期期末考试题

高一上学期期末数学试卷

一、选择题(每小题5分,共50分）

1．（5分）设集合A={x｜﹣4＜x＜3｝，B=｛x｜x≤2｝，则A∪B=（）

A．（﹣4，3)B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2］D．（﹣∞，3）

2．（5分）设，则tan（π+x）等于（）

A．0B．C．1D．

3．（5分）函数y=log

3

（x﹣1）+的定义域为（）

A．（1，2]B．（1，+∞)C．(2,+∞)D．(﹣∞，0）

4．(5分）已知函数y=f（x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表

x123456

y124.435﹣7414。5﹣56。7﹣123.6

则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．（5分)角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是(）

①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）

②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）

③的长度恰为长度的倍

④与不共线．

A．4B．3C．1D．0

7．(5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数,当x＞0时,f（x）=﹣x+1,则当x＜0时，f（x)=(）

A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．x+1D．x﹣1

8．（5分)把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位,所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的

最小值为（）

A．πB．πC．D．π

9．(5分）函数y=ax

﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（)

A．B．C．D．

10．(5分)已知函数f（x）=，若对任意x

x

≠x

2

,都有＜0成立，则a的取值范围是（）

A．（0，]B．(，1）C．(1，2）D．（﹣1，2)

二、填空题（每小题4分，共20分）

11．（4分）已知函数f（x）=，则f(0）+f（1）=．

12．（4分）如果角α的终边过点（2sin30°,﹣2cos30°），则sinα的值等于．

13．（4分)设a=log

3

3，b=log

4

3，c=，则a,b,c之间的大小关系是．

14．(4分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km",则﹣表示“”

15．（4分）当0＜x＜时，函数f（x）=的最大值是．

三、解答题

16．（8分）已知集合A={x｜﹣2≤x≤5},B=｛x|m﹣1≤x≤m+1}

(1）若m=5，求A∩B

(2)若B⊆A,求实数m的取值范围．

17．(8分）已知=（6,1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）

（1)若，求x的值

（2)若x=﹣5，求证：．

18．（10分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日

均销售量的关系如表所示：

销售价格/元6789101112

日均销售量/桶480280240

（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶?

（2）在（1)中，设日均销售净利润（除去固定成本)为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．

19．（10分）设=（1,），=（cos2x，sin2x），f（x）=2

（1）求函数f(x）的单调递增区间

(2）若x，求函数f（x)的最大值、最小值及其对应的x的值．

20．（14分）若函数f(x）在定义域D内某区间1上是增函数,而F（x）=在1上是减函数,则称寒素y=f（x）在1

上是“弱增函数”

（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x

2+4x在区间(1，2）上是否是“弱增函数",并简要说明理由

(2)若函数h(x）=x2

﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ，b是常数），在(0，1］上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．

高一上学期期末数学试卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．(5分）设集合A=｛x|﹣4＜x＜3}，B={x｜x≤2}，则A∪B=(）

A．（﹣4，3）B．(﹣4，2］C．（﹣∞，2］D．（﹣∞，3）

考点：并集及其运算．

专题：集合．

分析：直接利用并集的运算法则求解即可．

解答:解：集合A={x｜﹣4＜x＜3}，B=｛x｜x≤2｝，

则A∪B=｛x｜﹣4＜x＜3}∪｛x|x≤2｝={x|x＜3}，

故选：D．

点评：本题考查集合的并集的求法,考查并集的定义以及计算能力．

2．（5分）设，则tan(π+x）等于（）

A．0B．C．1D．

考点:运用诱导公式化简求值．

专题：计算题．

分析：先利用诱导公式化简tan（π+x），将x的值代入，求出正切值．

解答：解：∵tan（π+x）=tanx

∴时,tan（π+x）=tan=

故选B．

点评:给角的值求三角函数值时,应该先利用诱导公式化简三角函数,在将x的值代入求出值．

3．（5分）函数y=log

3

（x﹣1）+的定义域为（)

A．(1,2]B．(1,+∞）C．（2,+∞）D．(﹣∞,0)

考点:函数的定义域及其求法．

专题：函数的性质及应用．

分析：由对数式的真数大于0,根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，求解x的取值集合得答案．

解答:解:由，解得:1＜x≤2．

∴函数y=log

3

(x﹣1）+的定义域为(1，2]．

故选：A．

点评:本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法,是基础题．

4．(5分）已知函数y=f（x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表

x123456

y124。435﹣7414.5﹣56.7﹣123。6

则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

考点：函数的零点．

专题:函数的性质及应用．

分析：根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．

解答：解：依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f(4）＞0,f（5）＜0，

∴根据根的存在性定理可知,在区间(2，3）和（3,4）及(4,5）内至少含有一个零点，

故函数在区间上的零点至少有3个,

故选B．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断,用二分法判断函数的零点的方法，比较基础．

5．（5分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在(）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

考点：三角函数值的符号．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：sinα•cosα＞0得到sinα和cosα同号；再结合sinα+cosα＜0即可得到sinα＜0，cosα＜0;进而得到结论．

解答：解：因为sinα•cosα＞0

∴sinα和cosα同号．

又∵sinα+cosα＜0

∴sinα＜0，cosα＜0．

即α的正弦和余弦值均为负值．

故α的终边在第三象限．

故选:C．

点评：本题主要考查三角函数值的符号和象限角．是对基础知识的考查，要想做对,需要熟练掌握三角函数值

的符号的分布规律．

6．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）

①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）

②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）

③的长度恰为长度的倍

④与不共线．

A．4B．3C．1D．0

考点：命题的真假判断与应用．

专题：平面向量及应用；简易逻辑．

分析：①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误；

②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误;

③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误．

④利用向量共线定理即可判断出与共线,即可判断出正误．

解答：解：①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个，（不含本身），正确;

②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个，，，(不含本身)，正确；

③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得：的长度恰为长度的倍,正确．

④与共线，因此不正确．

因此说法中错误说法的个数是1．

故选：C．

点评：本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简易逻辑

的判定，考查了推理能力,属于基础题．

7．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x)=（）

A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．x+1D．x﹣1

考点：函数解析式的求解及常用方法．

专题:函数的性质及应用．

分析:根据题意，x＜0时,﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，再利用奇函数求出f(x）的表达式．

解答：解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且x＞0时，f（x）=﹣x+1，

∴当x＜0时，﹣x＞0，

∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1;

又f（﹣x）=﹣f（x）,

∴﹣f（x)=x+1,

∴f（x)=﹣x﹣1．

故选：A．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题，是基础题目．

8．(5分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0)个单位,所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的

最小值为(）

A．πB．πC．D．π

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：三角函数的图像与性质．

分析:由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性,可得结论．

解答：解：把函数y=cos（x+π)的图象向右平移φ(φ＞0）个单位，所得到的函数图象对应的函数的解析式为

y=cos（x﹣φ+),

由于所得图象正好关于y轴对称，则﹣φ+=kπ，k∈z，即φ=﹣kπ,故φ的最小值为，

故选：C．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

9．（5分)函数y=ax

﹣(a＞0，a≠1）的图象可能是（）

A．B．C．D．

考点:函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．

解答：解：函数y=a

x

﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a

x

的图象向下平移个单位得到的．

当a＞1时，函数y=a

x

﹣在R上是增函数，且图象过点(﹣1，0），故排除A，B．

当1＞a＞0时，函数y=a

x

﹣在R上是减函数,且图象过点(﹣1,0)，故排除C，

故选D．

点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于

基础题．

10．(5分）已知函数f（x）=,若对任意x

x

≠x

2

,都有＜0成立,则a的取值范围是（)

A．（0,］B．（,1）C．（1，2）D．(﹣1，2)

考点:函数单调性的性质．

专题:计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析:由条件可得，f(x）在R上是单调递减函数，则0＜a＜1①，a﹣2＜0,即a＜2②，a

0≥（a﹣2)×0+2a③,求出它

们的交集即可．

解答:解：由于对任意x

1

≠x

2

，都有＜0成立，

则f(x）在R上是单调递减函数，

当x＜0时，y=a

x

为减，则0＜a＜1；①

当x≥0时，y=(a﹣2）x+5a为减，则a﹣2＜0，即a＜2;②

由于f（x)在R上是单调递减函数，

则a

0≥（a﹣2）×0+2a，解得a≤．③

由①②③得，0＜a≤．

故选A．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的单调性，注意各段的单调性,以及分界点的情况，属于中档

题和易错题．

二、填空题（每小题4分，共20分）

11．（4分)已知函数f（x）=,则f（0）+f(1)=1．

考点：函数的值．

专题:函数的性质及应用．

分析：直接利用分段函数，化简求解函数值即可．

解答：解：函数f（x)=，则f（0）+f(1)=（0﹣1)+（1+1）=1；

故答案为：1．

点评：本题考查分段函数以及函数值的求法，考查计算能力．

12．（4分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．

考点：三角函数的化简求值．

专题：计算题．

分析：先利用角α的终边求得tanα的值，进而利用点（2sin30°,﹣2cos30°）判断出α的范围,进而利用同角三

角函数的基本关系求得sinα的值．

解答:解：依题意可知tanα==﹣

∵，﹣2cos30°＜0，2sin30°＞0

∴α属于第四象限角

∴sinα=﹣=﹣

故答案为：﹣

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用．解题的关键是利用α的范围确定sinα的正负．

13．（4分）设a=log

3

3，b=log

4

3，c=，则a，b,c之间的大小关系是c＜b＜a．

考点：对数值大小的比较．

专题:函数的性质及应用．

分析：根据对数函数的性质进行计算即可．

解答：解:∵=＜＜1=;

∴c＜b＜a，

故答案为：c＜b＜a．

点评:本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．

14．（4分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“向东北方向航行km；”

考点:向量的几何表示．

专题：平面向量及应用．

分析:根据平面向量表示的几何意义，画出图形，进行解答即可．

解答：解:∵表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，

∴﹣表示“向北方向航行1km”，

∴﹣表示“向东北方向航行km”如图所示．

故答案为：向东北方向航行km．

点评:本题考查了平面向量的几何意义，是基础题目．

15．（4分）当0＜x＜时,函数f（x）=的最大值是﹣．

考点:函数最值的应用．

专题:函数的性质及应用．

分析：根据1的代换,利用换元法将函数进行转化，利用一元二次函数的性质进行求解．

解答:解：f（x）===tanx﹣（tanx）

2

﹣1，

设t=tanx，

∵0＜x＜，∴0＜tanx＜1，

即0＜t＜1，

则函数f（x)等价为y=﹣t

2+t﹣1=﹣（t﹣)2

﹣,

∴当t=时，函数取得最大﹣，

故答案为：﹣

点评：本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关

键．

三、解答题

16．（8分）已知集合A=｛x|﹣2≤x≤5｝，B={x|m﹣1≤x≤m+1｝

(1）若m=5，求A∩B

(2）若B⊆A,求实数m的取值范围．

考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．

专题:集合．

分析：（1）若m=5，求出集合B，即可求A∩B

（2）若B⊆A，根据集合关系即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）因为m=5，所以B={x｜4≤x≤6}．…（1分）

所以A∩B=｛x|4≤x≤6｝…（3分)

（2）易知B≠∅，…(4分）

所以由B⊆A得…（7分）

得﹣1≤m≤4…(8分）

点评:本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用,要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．

17．（8分)已知=（6,1)，=(x，8），=（﹣2，﹣3）

(1)若，求x的值

（2)若x=﹣5，求证：．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．

专题：平面向量及应用．

分析：(1）由可得﹣3x=﹣2×8，解方程可得；

（2)当x=﹣5时，可得的坐标，可得=0，可判垂直．

解答:解:(1）∵=（x，8），=(﹣2，﹣3）

又∵,∴﹣3x=﹣2×8，

解得x=

（2)当x=﹣5时，=++=(4+x，6)=（﹣1，6）,

∵=（6，1），∴=﹣1×6+6×1=0

∴．

点评：本题考查数量积与向量的垂直关系和平行关系，属基础题．

18．（10分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元,销售单价与日均

销售量的关系如表所示:

销售价格/元6789101112

日均销售量/桶480280240

（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？

（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本)为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．

考点：根据实际问题选择函数类型．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1)利用表格的特征变化规律，推出关系式，即可在经营部在进价基础上增加x元进行销售，求出此时

的日均销售量的桶数．

（2)在（1）中,设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，求出函数的解析式,利用二次函数的最值求解最大值

及其对应的销售单价．

解答：解：(1）由表可以看出，当销售单价每增加1元时，日均销售量将减少40桶．…（2分）

当经营部在进价基础上增加x元进行销售时，此时的日均销售量为：

480﹣40（x﹣1)=520﹣40x（桶）…(5分）

（2）因为x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13…（6分）

所以y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x

2+520x﹣200，0＜x＜13．…（8分）

易知，当x=6.5时，y有最大值1490元．

即只需将销售单价定为11。5元，就可获得最大净利润1490元．…(10分）

(本题改编自教科书104页例5）

点评：本题考查函数的最值，实际问题的应用，考查分析问题解决问题的能力．

19．（10分)设=（1，)，=（cos2x，sin2x），f（x）=2

（1）求函数f（x）的单调递增区间

（2)若x，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．

考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．

专题:计算题；三角函数的图像与性质．

分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=4sin（2x+）,由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得函数f（x）

的单调递增区间．

(2）由x，可得2x+∈，由正弦函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．

解答:解：（1）f(x）=2(cos2x+sin2x)=4（cos2x+sin2x)=4sin（2x+）…（3分)

由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得:kπ﹣≤x≤kπ（k∈Z）

故函数f（x)的单调递增区间是：（k∈Z）…（5分)

（2)∵x，∴2x+∈,…（6分）

∴当x=时，函数f（x）的最大值为4…（8分）

当x=时，函数f(x)的最大值为﹣2…(10分）

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考

查．

20．（14分)若函数f(x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在

1上是“弱增函数”

（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x

2+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由

（2）若函数h（x)=x

2

﹣（sinθ﹣)x﹣b（θ，b是常数）,在（0,1］上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．

考点:利用导数研究函数的单调性．

专题:函数的性质及应用；导数的综合应用;三角函数的图像与性质．

分析:（1）根据“弱增函数”的定义，判断f（x）、g（x）在(1，2)上是否满足条件即可；

（2)根据“弱增函数”的定义，得出①h（x）在（0，1）上是增函数，在(0，1）上是减函数,列出不等式组，求出b

与θ的取值范围．

解答：解：（1）由于f(x）=x﹣4在（1,2)上是增函数，且F（x)==1﹣在(1，2）上也是增函数，

所以f（x）=x﹣4在（1，2）上不是“弱增函数"…（2分）

g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是增函数，但=﹣x+4在（1，2)上是减函数,

所以g(x）=﹣x

2+4x在（1，2）上是“弱增函数”…（4分）

（2）设h(x）=x

2

﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ、b是常数)在（0，1）上是“弱增函数”，

则①h（x）=x

2

﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数,

由h(x）=x

2

﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0,1）上是增函数得≤0，…（6分)

∴sinθ≤，θ∈（k∈Z)；…（8分)

②H（x）==x﹣+﹣sinθ在（0,1）上是减函数，

记G（x）=x﹣，在（0,1）上任取0＜x

1

＜x

2

≤1,

则G(x

1

）﹣G（x

2

）=（x

1

x

2

+b)＞0恒成立，…（11分）

又∵＜0，∴x

1

x

2

+b＜0恒成立,

而当0＜x

1

＜x

2

≤1时，0＜x

1

x

2

＜1，∴b≤﹣1;

(如果直接利用双沟函数的结论扣2分）

∴b≤﹣1；

且θ∈（k∈Z)时，h(x）在（0，1］上是“弱增函数”．…(14分)

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与导数的应用问题，考查了新定义的应用

问题，考查了分析与解决问题的能力,是综合性题目．