2015中考答案

.

2015年北京中考数学

一、选择题〔共10小题；共分〕

1.截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力到达140000立方

平米．将140000用科学记数法表示应为()

A.

14×104B.

1.4×105C.

1.4×106D.

0.14×106

2.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如下图，这四个数中，绝对值最大的是

A.

a

B.

b

C.

c

D.

d

3.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差异，

从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为()

A.1

6

B.1

3

C.1

2

D.2

3

4.剪纸是我国传统的民间艺术，以下剪纸作品中，是轴对称图形的为()

A.

B.

C.

D.

.

5.如图，直线l

1

，l

2

，l

3

交于一点，直线l

4

∥l

1

，假设∠1=124

∘

，∠2=88

∘

，那么∠3的度数

为

A.

26∘B.

36∘C.

46∘D.

56∘

6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，假设测得AM的长为

1.2km，那么M，C两点间的距离为

A.

0.5km

B.

0.6km

C.

0.9km

D.

1.2km

7.某市6月份日平均气温统计如下图，那么在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别

是

A.

21，21

B.

21，21.5

C.

21，22

D.

22，22

8.右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图．假设这个坐标系分别以

正东、正北方向为x轴、y轴的正方向．表示太和门的点坐标为

(

0,−1

)

，表示九龙壁的点的

坐标为

(

4,1

)

，那么表示以下宫殿的点的坐标正确的选项是

.

A.

景仁宫

(

4,2

)

B.

养心殿

(

−2,3

)

C.

保和殿

(

1,0

)

D.

武英殿

(

−3.5,−4

)

9.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，假设购置会员年卡，可享受如下优惠：

会员年卡类型

办卡费用(元)每次游泳收费(元)

A类

5025

B类

20020

C类

40015

例如，购置A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，假设一年内在该

游泳馆游泳的次数介于45−55次之间，那么最省钱的方式为()

A.

购置A类会员年卡

B.

购置B类会员年卡

C.

购置C类会员年卡

D.

不购置会员年卡

10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC

组成．为记录寻宝者的进行路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时

间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，假设寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系

的图象大致如图2所示，那么寻宝者的行进路线可能为

A.

A→O→B

B.

B→A→C

C.

B→O→C

D.

C→B→O

.

二、填空题〔共6小题；共分〕

11.分解因式：5x3−10x2+5x=．

12.右图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，那么∠1+∠2+∠3+∠4+

∠5=．

13.?九章算术?是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的根本框架．它的代数成

就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是?九章算术?最高的数学成就．?九章算

术?中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？〞

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊

各值金多少两〞设每头牛值金x两，每只羊各值金y两，可列方程组为．

14.关于x的一元二次方程ax2+bx+1

4

=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，

b的值：a=，b=．

15.北京市2009~2014年轨道交通日均客运量统计如下图．根据统计图中提供信息，预估2015

年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是．

.

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一条线段的垂直平分线．

：线段AB．

．

小芸的作法如下：

如图，

〔1〕分别以点A和点B为圆心，大于

1

2

AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

〔2〕作直线CD．

老师说：“小芸的作法正确．〞

请答复：小芸的作图依据是．

三、解答题〔共13小题；共分〕

17.计算：

(

1

2

)

−2

−(π−

√

7)

0

+

∣

∣

√

3−2

∣

∣

+4sin60∘

．

18.2a2+3a−6=0．求代数式3a

(

2a+1

)

−

(

2a+1

)(

2a−1

)

的值．

19.解不等式组{

4

(

x+1

)

≤7x+10,

x−5

3

,

并写出它的所有非负整数解．

20.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=

∠BAD．

.

21.为解决“最后一公里〞的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到

2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公

租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公

租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？

22.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，

BF．

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)假设CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．

23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b

(

k≠0

)

与双曲线y=

8

x

的一个交点为P

(

2,m

)

，

与x轴、y轴分别交于点A，B．

(1)求m的值；

(2)假设PA=2AB，求k的值．

24.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且

DA

⏜

=DC

⏜

，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

(1)求证：△ACD是等边三角形．

(2)连接OE，假设DE=2，求OE的长．

25.阅读以下材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园〞为主题的游园活动，虽然气

温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次，其中玉渊

潭公园的樱花，北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、

21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客

.

的重要目的地，游客接待量分别为26万人次，17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万

人次，熊猫馆的游客密集度较高．

2014年清明小长假，天气晴好，北京晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，

玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增加了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，

比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、

13万人次、14.9万人次．

根据以上材料答复以下问题：

(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次．

(2)选择统计表或统计图，将2013~2015年玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量

表示出来．

26.有这样一个问题：探究函数y=

1

2

x2+1

x

的图象与性质．

小东根据学习函数的经验，对函数y=

1

2

x2+1

x

的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完成：

(1)函数y=

1

2

x2+1

x

的自变量x的取值范围是；

(2)下表是y与x的几组对应值．

x⋯−3−2−1

−

1

2

−

1

3

1

3

1

2

123⋯

y⋯

25

6

3

2

−

1

2

−

15

8

−

53

18

55

18

17

8

3

2

5

2

m⋯

求m的值；

(3)如以下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描

出的点，画出该函数的图象；

(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是

(1,

3

2

)

，结合函数的图象，

写出该函数的其他性质〔一条即可〕：．

.

27.在平面直角坐标系xOy中，过点

(

0,2

)

且平行于x轴的直线，与直线y=x−1交于点A，

点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C

1

:y=x2+bx+c经过点A，B．

(1)求点A，B的坐标；

(2)求抛物线C

1

的表达式及顶点坐标；

(3)假设抛物线C

2

:y=ax2(

a≠0

)

与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取

值范围．

28.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上〔与点C、D不重合〕，连接

AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．

(1)假设点P在线段CD上，如图1．

①依题意补全图1；

②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

(2)假设点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152∘

，正方形ABCD的边长为1，请写出求

DP长的思路．〔可以不写出计算结果〕

29.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙O的

反称点的定义如下：假设在射线CP上存在一点Pʹ，满足CP+CPʹ=2r，那么称Pʹ为点P关

于⊙C的反称点，以下图为点P及其关于⊙C的反称点Pʹ的示意图．

(1)当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M

(

2,1

)

，N

(

3

2

,0)，T(1,

√

3)关于⊙O的反称点是否存在，假设存在？求其坐

标；

.

②点P在直线y=−x+2上，假设点P关于⊙O的反称点Pʹ存在，且点Pʹ不在x轴上，

求点P的横坐标的取值范围；

(2)当⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=−

√

3

3

x+2

√

3与x轴，y轴分别交于点A，

B，假设线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点Pʹ在⊙C的内部，求圆心C的横

坐标的取值范围．

答案

第一局部

1.B2.A3.B4.D5.B

6.D7.C8.B9.C10.C

第二局部

11.5x

(

x−1

)2

12.360∘

13.{

5x+2y=10,

2x+5y=8

14.1；1

15.1038；按每年平均增长人数近似相等进行估算〔答案不唯一〕

16.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线

第三局部

17.(1)

原式=4−1+2−

√

3+4×

√

3

2

=5−

√

3+2

√

3

=5+

√

3.

18.(1)

原式=3a

(

2a+1

)

−

(

2a+1

)(

2a−1

)

=6a2+3a−4a2+1

=2a2+3a+1.

∵2a2+3a−6=0，

∴2a2+3a=6，

∴原式=7．

19.(1){

4

(

x+1

)

≤7x+10, ⋯⋯①

x−5

3

, ⋯⋯②

由①得

x≥−2,

由②得

x<

7

2

,

∴−2≤x<

7

2

，

∴非负整数解为0，1，2，3．

20.(1)∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵AD是BC边上的中线，

.

∴AD⊥BC，

∴∠BAD+∠ABC=90∘

，

∵BE⊥AC，

∴∠CBE+∠C=90∘

，

∴∠CBE=∠BAD．

21.(1)设2015年底全市租赁点有x个，根据题意得

50000

x

=1.2×

25000

600

,

解得

x=1000.

经检验：x=1000是原方程的解，且符合实际情况．

答：预计到2015年底，全市将有租赁点1000个．

22.(1)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC∥AB，即DF∥BE，

∵DF=BE，

∴四边形DEBF为平行四边形．

∵DE⊥AB，即∠DEB=90∘

．

∴四边形DEBF为矩形．

22.(2)∵四边形DEBF为矩形．

∴∠BFC=90∘

，

∵CF=3，BF=4，

∴BC=

√32+42=5，

∴AD=BC=5，

∴AD=DF=5，

∴∠DAF=∠DFA．

∵∠DFA=∠FAB，

∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．

23.(1)点P

(

2,m

)

在y=

8

x

上，

∴m=

8

2

=4，

∴m=4．

23.(2)P

(

2,4

)

在y=kx+b上，

∴4=2k+b，b=4−2k，

∵y=kx+b与x，y轴交于A，B两点，

∴A

(2

−

4

k

,0)，B

(

0,4−2k

)

，

∵PA=2AB，

如图，

PB=AB，那么OC=OA=2，

∴

4

k

−2=2，

.

∴k=1．

如图，

∵PA=2AB，

∴PC=2OB=4，

∴4−2k=−2，

∴k=3，

∴k=1或k=3．

24.(1)∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，

∴AB⊥BM，

∵BM∥CD，

∴AB⊥CD，

∴AD

⏜

=AC

⏜

，

∴AD=AC，

∵DA

⏜

=DC

⏜

，

∴DC=AD，

∴AD=CD=AC，

∴△ACD为等边三角形．

24.(2)△ACD为等边三角形，AB⊥CD，

∴∠DAB=30∘

，

连接BD，

∴BD⊥AD，

∴∠EBD=∠DAB=30∘

，

∵DE=2，

∴BE=4，BD=2

√

3，AB=4

√

3，OB=2

√

3，

在Rt△OBE中，OE=

√OB2+BE2=

√

12+16=2

√

7．

25.(1)40

.

25.(2)

26.(1)x≠0

26.(2)令x=3，

∴y=

1

2

×32+1

3

=9

2

+1

3

=29

6

，

∴m=

29

6

．

26.(3)如图，

26.(4)①该函数没有最大值

②该函数在x=0处断开

③该函数没有最小值

④该函数图象没有经过第四象限

27.(1)当y=2时，2=x−1，x=3，

∴A

(

3,2

)

，

∵A、B关于x=1对称，

∴B

(

−1,2

)

．

27.(2)把

(

3,2

)

，

(

−1,2

)

代入得

{

2=9+3b+c,

2=1−b+c.

解得

{

b=−2,

c=−1.

∴y=x2−2x−1，

顶点坐标〔1,−2〕．

27.(3)如图，当C

2

过A点，B点时为临界，

.

代入A

(

3,2

)

，那么9a=2，a=

2

9

，代入B

(

−1,2

)

，那么a=2，

∴

2

9

≤a<2．

28.(1)①如图，

②判断：AH=PH，AH⊥PH，

证明：连接CH，

得△DHQ是等腰直角三角形．

∵DP=CQ，

∴△HDP≅△HQC，

∴PH=CH，

∴∠HPC=∠HCP，

∵BD为正方形ABCD对称轴，

∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，

∴AH=PH，∠DAH=∠HPC，

∴∠AHP=180∘−∠ADP=90∘

，

∴AH=PH且AH⊥PH．

28.(2)考虑△DHQ为等腰直角三角形，PD=CQ，

作HR⊥PC于R，

∵∠AHQ=152∘

，

∴∠AHB=62∘

，

∴∠DAH=17∘

，

∴∠DCH=17∘

，

由tan17

∘=HR

CR

得

1−x

2

1+x

2

=tan17∘

，

.

∴x=

1−tan17∘

1+tan17∘

．

29.(1)①M

(

2,1

)

关于⊙O的反称点不存在，

N

(

3

2

,0)关于⊙O的反称点存在，反称点Nʹ

(1

2

,0)，

T(1,

√

3)关于⊙O的反称点存在，反称点Tʹ

(

0,0

)

．

②∵CP≤2r=2，CP

2≤4，

P

(

x,−x+2

)

，

CP2=x2+

(

−x+2

)2=2x2−4x+4≤4，

2x2−4x≤0，

x

(

x−2

)

≤0，

∴0≤x≤2，

当x=2时，P

(

2,0

)

，Pʹ

(

0,0

)

不符合题意；

当x=0时，P

(

0,2

)

，Pʹ

(

0,0

)

不符合题意．

∴0

29.(2)由题意得A

(

6,0

)

，B(0,2

√

3)，

∴

OA

OB

=

√

3，

∴∠OAB=30∘

，

设C

(

x,0

)

①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，那么CH≤CP≤2r=2，

∴AC≤4，

C点横坐标c≥2，

〔当x=2时，C点坐标

(

2,0

)

，H点的反称点Hʹ

(

2,0

)

在圆的内部〕

②当点C在A点右侧时，点C与线段AB上所有点的连线中，线段AC的长最短，AC最大值

为2，

∴C点横坐标x≤8，

综上所述：圆心C的横坐标的取值范围2≤x≤8．