2013中考

湖北省恩施州2013年中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合要求的。）

1．（3分）（2013•恩施州）的相反数是（）

A．B．

﹣

C．

3

D．﹣3

考点：相反数．

分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．

解答：

解：﹣的相反数是．

故选A．

点评：本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（2013•恩施州）今年参加恩施州初中毕业学业考试的考试约有39360人，请将数

39360用科学记数法表示为（保留三位有效数字）（）

A．

3.93×10

4

B．

3.94×10

4

C．

0.39×10

5

D．

394×10

2

考点：科学记数法与有效数字．

分析：

科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易

错点，由于39360有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数

字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答：

解：39360=3.936×10

4

≈3.94×10

4

．

故选：B．

点评：此题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方

法．

3．（3分）（2013•恩施州）如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（）

A．

70°

B．

80°

C．

90°

D．

100°

考点：平行线的判定与性质．

分析：首先证明a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得

∠4．

解答：解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°，

∴∠2=∠5，

∴a∥b，

∴∠3=∠6=100°，

∴∠4=100°．

故选：D．

点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．

4．（3分）（2013•恩施州）把x

2

y﹣2y

2

x+y

3

分解因式正确的是（）

A．

y（x

2

﹣2xy+y

2

）

B．

x

2

y﹣y

2

（2x﹣y）

C．

y（x﹣y）

2

D．

y（x+y）

2

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．

解答：

解：x

2

y﹣2y

2

x+y

3

=y（x

2

﹣2yx+y

2

）

=y（x﹣y）

2

．

故选：C．

点评：本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行

二次分解，注意分解要彻底．

5．（3分）（2013•恩施州）下列运算正确的是（）

A．

x

3

•x

2

=x

6

B．

3a

2

+2a

2

=5a

2

C．

a（a﹣1）=a

2

﹣1

D．

（a

3

）

4

=a

7

考点：多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：根据乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则分别进

行计算，即可得出答案．

解答：

解：A、x

3

•x

2

=x

5

，故本选项错误；

B、3a

2

+2a

2

=5a

2

，故本选项正确；

C、a（a﹣1）=a

2

﹣a，故本选项错误；

D、（a

3

）

4

=a

12

，故本选项错误；

故选B．

点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项，掌握

幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则是解题

的关键，是一道基础题．

6．（3分）（2013•恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（）

A．B．C．D．

考点：几何体的展开图．

分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．

解答：解：选项A，B，D折叠后都可以围成正方体；

而C折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．

故选C．

点评：本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种

情形．

7．（3分）（2013•恩施州）下列命题正确的是（）

A．若a＞b，b＜c，则

a＞c

B．若a＞b，则ac＞bcC．

若a＞b，则ac

2

＞

bc

2

D．

若ac

2

＞bc

2

，则a

＞b

考点：不等式的性质；命题与定理．

分析：根据不等式的基本性质，取特殊值法进行解答．

解答：解：A、可设a=4，b=3，c=4，则a=c．故本选项错误；

B、当c=0或c＜0时，不等式ac＞bc不成立．故本选项错误；

C、当c=0时，不等式ac

2

＞bc

2

不成立．故本选项错误；

D、由题意知，c

2

＞0，则在不等式ac

2

＞bc

2

的两边同时除以c

2

，不等式仍成立，即

ac

2

＞bc

2

，故本选项正确．

故选D．

点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，

应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

8．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影

区域内的概率为（）

A．B．C．D．

考点：几何概率；平行四边形的性质．

分析：先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．

解答：解：∵四边形是平行四边形，

∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，

观察发现：图中阴影部分面积=S

四边形

，

∴针头扎在阴影区域内的概率为，

故选：B．

点评：此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的

面积与总面积之比．

9．（3分）（2013•恩施州）把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，

得到的抛物线的解析式为（）

A．B．C．D．

考点：二次函数图象与几何变换

分析：确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减

求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．

解答：

解：抛物线y=x

2

﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），

∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，

∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），

∴得到的抛物线的解析式为y=（x﹣1）

2

﹣3．

故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，

利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．

10．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E

为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）

A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB

的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．

解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，

则△DFE∽△BAE，

∴=，

∵O为对角线的交点，

∴DO=BO，

又∵E为OD的中点，

∴DE=DB，

则DE：EB=1：3，

∴DF：AB=1：3，

∵DC=AB，

∴DF：DC=1：3，

∴DF：FC=1：2．

故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的

关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．

11．（3分）（2013•恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对2009年恩施州各县市的固

定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题：

2009年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元）

单位恩施市利川县建始县巴东县宜恩县咸丰县来凤县鹤峰县州直

投资额

655

下列结论不正确的是（）

A．2009年恩施州固定资产投资总额为200亿元

B．2009年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是16亿元

C．2009年来凤县固定资产投资额为15亿元

D．2009年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为110°

考点：条形统计图；扇形统计图．

分析：利用建始县得投资额÷所占百分比可得总投资额；利用总投资额减去各个县市的投资

额可得来凤县固定资产投资额，再根据中位数定义可得2009年恩施州各单位固定资

产投资额的中位数；利用360°×可得圆心角，进而得到答案．

解答：解：A、24÷12%=200（亿元），故此选项不合题意；

B、来凤投资额：200﹣60﹣28﹣25﹣23﹣14﹣16﹣15﹣5=15（亿元），

把所有的数据从小到大排列：60，28，24，23，16，15，15，14，5，位置处于中间

的数是16，故此选项不合题意；

C、来凤投资额：200﹣60﹣28﹣25﹣23﹣14﹣16﹣15﹣5=15（亿元），故此选项不合

题意；

D、360°×=108°，故此选项符合题意；

故选：D．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及中位数，读懂统计图，从不

同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项

目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

12．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，

将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x

轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）

A．B．C．

π+1

D．

考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．

分析：画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的

面积．

解答：

解：如图所示：

点A运动的路径线与x轴围成的面积

=S

1

+S

2

+S

3

+2a=+++2×（×1×1）=π+1．

故选C．

点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求

解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式．

二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分。不要求写出解答过程，请把答案

直接填写在相应的位置上）

13．（3分）（2013•恩施州）25的平方根是±5．

考点：平方根．

分析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．

解答：

解：∵（±5）

2

=25

∴25的平方根±5．

故答案为：±5．

点评：本题主要考查了平方根定义的运用，比较简单．

14．（3分）（2013•恩施州）函数y=的自变量x的取值范围是x≤3且x≠﹣2．

考点：函数自变量的取值范围．

分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．

解答：解：根据题意得，3﹣x≥0且x+2≠0，

解得x≤3且x≠﹣2．

故答案为：x≤3且x≠﹣2．

点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

15．（3分）（2013•恩施州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则

扇形的周长为6+π．

考点：相切两圆的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算．

分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长．

解答：解：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A，B，

则∠CAO=90°，∠AOB=30°，

∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，

∴AO=1，

∴CO=2AO=2，

∴BC=2=1=3，

∴扇形的弧长为：=π，

∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π．

故答案为：6+π．

点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是

解题关键．

16．（3分）（2013•恩施州）把奇数列成下表，

根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是171．

考点：规律型：数字的变化类．

分析：根据第6列数字从31开始，依次加14，16，18…得出第8行数字，进而求出即可．

解答：解：由图表可得出：第6列数字从31开始，依次加14，16，18…

则第8行，左起第6列的数为：31+14+16+18+20+22+24+26=171．

故答案为：171．

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出没行与每列的变化规律是解题关键．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17．（8分）（2013•恩施州）先简化，再求值：，其中x=．

考点：分式的化简求值．

专题：计算题．

分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

解答：

解：原式=÷

=×

=，

当x=﹣2时，原式=﹣=﹣．

点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

18．（8分）（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、

H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．

考点：菱形的判定；梯形；中点四边形．

专题：证明题．

分析：连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平

行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到

EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可．

解答：证明：如图，连接AC、BD，

∵AD∥BC，AB=CD，

∴AC=BD，

∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，

∴在△ABC中，EF=AC，

在△ADC中，GH=AC，

∴EF=GH=AC，

同理可得，HE=FG=BD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH为菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且

等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点．

19．（8分）（2013•恩施州）一个不透明的袋子里装有编号分别为1、2、3的球（除编号以

为，其余都相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为．

（1）求袋子里2号球的个数．

（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x，乙摸出球的编

号记为y，用列表法求点A（x，y）在直线y=x下方的概率．

考点：列表法与树状图法；一次函数的性质；概率公式．

分析：

（1）首先设袋子里2号球的个数为x个．根据题意得：=，解此方程即可求

得答案；

（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点A（x，y）

在直线y=x下方的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：解：（1）设袋子里2号球的个数为x个．

根据题意得：=，

解得：x=2，

经检验：x=2是原分式方程的解，

∴袋子里2号球的个数为2个．

（2）列表得：

3

（1，3）（2，3）（2，3）（3，3）（3，3）﹣

3

（1，3）（2，3）（2，3）（3，3）﹣（3，3）

3

（1，3）（2，3）（2，3）﹣（3，3）（3，3）

2

（1，2）（2，2）﹣（3，2）（3，2）（3，2）

2

（1，2）﹣（2，2）（3，2）（3，2）（3，2）

1

﹣（2，1）（2，1）（3，1）（3，1）（3，1）

122333

∵共有30种等可能的结果，点A（x，y）在直线y=x下方的有11个，

∴点A（x，y）在直线y=x下方的概率为：．

点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏

的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以

上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（8分）（2013•恩施州）如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A

（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．

（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．

考点：反比例函数综合题．

分析：

（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=，根据等边三角

形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数

解析式求出k的值．

（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横

坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值．

解答：

解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=6，∠CAB=60°，

∴AD=3，CD=sin60°×AC=×6=3，

∴点C坐标为（3，3），

∵反比例函数的图象经过点C，

∴k=9，

∴反比例函数的解析式y=；

（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，

则此时B点的横坐标为6，

即纵坐标y==，也是向上平移n=．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以

及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点．

21．（8分）（2013•恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践

活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香

底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测

得“香顶”N的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结

果精确到1米，参考数据：，）．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析：首先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩

形，然后在Rt△ABE中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，

利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案．

解答：解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，

∵∠D=90°，

∴四边形BEDF是矩形，

∴BE=DF，BF=DE，

在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55（米），BE=AB•sin30°=×110=55（米）；

设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米），

在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x（米），

∴DN=DF+NF=55+x（米），

∵∠NAD=45°，

∴AD=DN，

即55+x=x+55，

解得：x=55，

∴DN=55+x≈150（米）．

答：“一炷香”的高度为150米．

点评：本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角

形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

22．（10分）（2013•恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一

半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、

130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．

（1）求这两种商品的进价．

（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？

考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．

分析：

（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这两

个方程构成方程组求出其解既可以；

（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于6710元且

不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货方

案，设利润为W元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论．

解答：解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得

，

解得：．

答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；

（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得

，

解得：29≤m≤32

∵m为整数，

∴m=30，31，32，

故有三种进货方案：

方案1，甲种商品30件，乙商品70件，

方案2，甲种商品31件，乙商品69件，

方案3，甲种商品32件，乙商品68件，

设利润为W元，由题意，得

W=40m+50（100﹣m），

=﹣10m+5000

∵k=﹣10＜0，

∴W随m的增大而减小，

∴m=30时，W最大=4700．

点评：本题考查了列二元依稀方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的

运用，方案设计的运用，一次函数的性质的运用，在解答时求出利润的解析式是关键．

23．（10分）（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，

过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．

（1）求证：CG是⊙O的切线．

（2）求证：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定

与性质．

专题：证明题．

分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所

以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则

∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边

的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：

AG=DF：CF

然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可．

解答：（1）证明：连结OC，如图，

∵C是劣弧AE的中点，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠BCD=90°，

而CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠2，

∵AC弧=CE弧，

∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，

∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，

∴DF=AF=1，

∴AD=DF=，

∵AF∥CG，

∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，

∴AG=2．

点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查

了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．

24．（12分）（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把

△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角

形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S

△PBD

=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明

理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；

（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND

也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；

（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S

△PBD

=6

的已知条件，列出一元二次方程求解．

解答：解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，

∴，

解得k=﹣1，b=3，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵点B（0，3）在抛物线上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：a=1，

∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x

2

﹣4x+3．

（2）抛物线的解析式为：y=x

2

﹣4x+3=（x﹣2）

2

﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．

直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）．

设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，

∴△MCD为等腰直角三角形．

∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，

∴△BND为等腰直角三角形．

如答图1所示：

（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，

∴N

1

（0，0）；

（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，

∵OB=OD=ON

2

=3，

∴N

2

（﹣3，0）；

（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，

∵OB=OD=ON

3

=3，

∴N

3

（0，﹣3）．

∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．

（3）假设存在点P，使S

△PBD

=6，设点P坐标为（m，n）．

（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．

S

△PBD

=S梯形PEOB

﹣S

△BOD

﹣S

△PDE

=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，

化简得：m+n=7①，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m

2

﹣4m+3，

代入①式整理得：m

2

﹣3m﹣4=0，

解得：m

1

=4，m

2

=﹣1，

∴n

1

=3，n

2

=8，

∴P

1

（4，3），P

2

（﹣1，8）；

（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：

过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．

S

△PBD

=S梯形PEOD

+S

△BOD

﹣S

△PBE

=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，

化简得：m+n=﹣1②，

∵P（m，n）在抛物线上，

∴n=m

2

﹣4m+3，

代入②式整理得：m

2

﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．

故此时点P不存在．

综上所述，在抛物线上存在点P，使S

△PBD

=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的

判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论

的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．