2009高考

2009年全国高考文科数学试题

及答案-全国1卷

2009年普通高等学校招生全国统一1卷考试

文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）

两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结

束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5

毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、

填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码

上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作

．．．．．．

答无效

．．．

．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

参考公式：

如果事件AB，互斥，那么球的表

面积公式

()()()PABPAPB24πSR

如果事件AB，相互独立，那么其中R

表示球的半径

()()()PABPAPB球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那

么3

4

π

3

VR

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

()(1)(01,2)kknk

nn

PkCPPkn，，，

一、选择题

（1）o585sin的值为

(A)2

2

(B)2

2

(C)3

2

(D)3

2

(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，

9｝，全集UAB，则集合()

U

AB中的元素共有

(A)3个（B）4个（C）5个（D）6

个

（3）不等式1

1

1







x

x的解集为

（A）

011xxxx（B）

01xx

（C）

10xx（D）0xx

（4）已知tana=4,cot=1

3

,则tan(a+)=

(A)7

11

(B)7

11

(C)7

13

(D)7

13



（5）设双曲线

22

22

00

xy

ab

ab

－＝1＞，＞的渐近线与抛物线

21y＝x＋相切，则该双曲线的离心率等于

（A）3（B）2（C）5（D）

6

（6）已知函数()fx的反函数为

()10gxx＝＋2lgx＞，则

)1()1(gf

（A）0（B）1（C）2（D）

4

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6

名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选

出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的

不同选法共有

（A）150种（B）180种（C）300

种（D）345种

（8）设非零向量a、b、c满足cbacba|,|||||，则

ba,

（A）150°（B）120°（C）60°

（D）30°

（9）已知三棱柱

111

ABCABC的侧棱与底面边长都相

等，

1

A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直

线AB与

1

CC所成的角的余弦值为

(A)3

4

(B)5

4

(C)7

4

(D)3

4

(10)如果函数3cos(2)yx的图像关于点4

(,0)

3

中心

对称，那么的最小值为

(A)

6

(B)

4

(C)

3

(D)

2



（11）已知二面角l为600，动点P、Q分别

在面,内，P到的距离为3，Q到的距离为23，

则P、Q两点之间距离的最小值为

（12）已知椭圆2

2:1

2

x

Cy的右焦点为F,右准线l，

点Al，线段AF交C于点B。若3FAFB,则AF=

(A)2(B)2(C)3(D)3

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米

黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清

楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准

考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水

签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试

．．

题卷上作答无效

．．．．．．．

．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共

20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

（13）10()xy的展开式中，73xy的系数与37xy的系数

之和等于_____________.

（14）设等差数列{}

n

a的前n项和为n

S。若9

72S，

则

249

aaa_______________.

。

(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直

于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积

为3，则球O的表面积等于

__________________.

（16）若直线m被两平行线

12

:10:30lxylxy与所

截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是

①15②30③45④60⑤75

其中正确答案的序号是.（写出所有

正确答案的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应

写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无

．．．．．．．．

效

．

)

设等差数列{

n

a}的前n项和为

n

s，公比是正数的

等比数列{

n

b}的前n项和为

n

T，已知

113333

1,3,17,12,},{}

nn

ababTSb求{a的通项公式.

(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作

答无效）

在ABC中，内角ABC、、的对边长分别为abc、、.

已知222acb，且sin4cossinBAC，求b.

(19)(本小题满分12分)（注决：在试

题卷上作答无效）

如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为

矩形，SD底面ABCD，2AD，2DCSD，

点M在侧棱SC上，60ABM

（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角SAMB的大小。（同理18）

(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作

．．．．．．

答无效

．．．

）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3

局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一

局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，

各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙

各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上

．．．．．

作答无效

．．．．

）

已知函数42()36fxxx.

（Ⅰ）讨论()fx的单调性；

（Ⅱ）设点P在曲线()yfx上，若该曲线在点

P处的切线l通过坐标原点，求l的方程

(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作

．．．．．．

答无效

．．．

）

如图，已知抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr

相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最

大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角

函数值，基础题。

解：

2

2

45sin)45180sin()225360sin(585sinoooooo，故选

择A。

2【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同

理1）

解：{3,4,5,7,8,9}AB，{4,7,9}(){3,5,8}

U

ABAB故选A。

也可用摩根定律：()()()

UUU

ABAB

3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，

基础题。

解：0040)1()1(|1||1|1

1

1

22





xxxxxx

x

x，

故选择D。

4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、

正切的和角公式，基础题。

解：由题3tan，

11

7

121

34

tantan1

tantan

)tan(

















，

故选择B。

5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直

线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基

础题。

解：由题双曲线

22

22

00

xy

ab

ab

－＝1＞，＞的一条渐近线方

程为

a

bx

y，代入抛物线方程整理得02abxax，因

渐近线与抛物线相切，所以0422ab，即

5522eac，故选择C。

（6）【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令1lg21x得1x，即1)1(f，又1)1(g，

所以2)1()1(gf，故选择C。

（7）【解析】本小题考查分类计算原理、分步

计数原理、组合等问题，基础题。

解：由题共有3452

6

1

3

1

5

1

2

1

6

2

5

CCCCCC，故选择D。

（8）【解析】本小题考查向量的几何运算、考

查数形结合的思想，基础题。

解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构

成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线

长等于菱形的边长，故选择B。

（9）【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直

线所成的角，基础题。（同理7）

解：设BC的中点为D，连结

1

AD，AD，易知

1

AAB

即为异面直线AB与

1

CC所成的角,由三角余弦定

理，易知

1

1

3

cocs

4

oscos

ADAD

AADDAB

AAAB

.故选D

(10)【解析】本小题考查三角函数的图象性

质，基础题。

解:函数

cos2yx＝3＋的图像关于点4

3









，0中心对

称

4

2

32

k





13

()

6

kkZ



由此易得

min

||

6



.故选

A

（11）【解析】本小题考查二面角、空间里的距

离、最值问题，综合题。（同理10）

解:如图分别作

,,,QAAAClCPBB于于于

PDlD于，连,60,CQBDACQPBD则

23,3AQBP，2ACPD

又2221223PQAQAPAP

当且仅当0AP，即AP点与点重合时取最小值。故

答案选C。

（12）【解析】本小题考查椭圆的准线、向量

的运用、椭圆的定义，基础题。

解：过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交

点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2

||

3

BM.又由

椭圆的第二定义,得222

||

233

BF||2AF.故选A

（13）【解析】本小题考查二项展开式通项、基

础题。（同理13）

解:因rrrr

r

yxCT



10

101

)1(所以有373

101010

()2240CCC

（14）【解析】本小题考查等差数列的性质、前n

项和，基础题。（同理14）

解:



n

a是等差数列,由

9

72S,得

59

9,Sa

5

8a



2492945645

()()324aaaaaaaaaa。

(15)【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的

表面积，基础题。

解：设球半径为R，圆M的半径为r，则32r，

即32r由题得3)

2

(22

R

R，所以164422RR。

（16）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的

倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的

思想。

解：两平行线间的距离为2

11

|13|







d，由图知直

线m与

1

l的夹角为o30，

1

l的倾斜角为o45，所以直线

m的倾斜角等于00754530o或00153045o。故填写①

或⑤

(17)【解析】本小题考查等差数列与等比数

列的通项公式、前n项和，基础题。

解：设

n

a的公差为d，数列

n

b的公比为0q，

由

33

17ab得212317dq①

33

12TS得24qqd②

由①②及0q解得2,2dq

故所求的通项公式为112(1)21,32n

nn

annb。

(18)【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。

解：由余弦定理得Abcbcacos2222，

又0,222bbca，

bAbcb2cos22，

即2cos2Acb①

由正弦定理得sin

sin

bB

cC



又由已知得sin4cossinBAC

sin

4cos

sin

B

A

C

，

所以4cosbcA②

故由①②解得

4b

(19)

解法一：

（I）

作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，

ME平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯

形

作MFAB，垂足为F，则AFME为矩形

设MEx，则SEx，222(2)2AEEDADx

2(2)2,2MFAExFBx

由2tan60,(2)23(2)MFFBxx•。得

解得1x

即1ME，从而1

2

MEDC

所以M为侧棱SC的中点

（Ⅱ）222MBBCMC，又60,2ABMAB,所以ABM为

等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

2,6,2SMSAAM，故222,90SASMAMSMA

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，

则,BGAMGHAM,由此知BGH为二面角SAMB的

平面角

连接BH，在BGH中，

22

31222

3,,

2222

BGAMGHSMBHABAH

所以2226

cos

23

BGGHBH

BGH

BGGH





••

二面角SAMB的大小为6

arccos()

3



解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立

如图所示的直角坐标系D-xyz

设(2,0,0)A，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)BCS

（Ⅰ）设(0)SMMC,则

2222

(0,,),(2,,)

1111

MMB











又(0,2,0),,60ABMBAB

故||||cos60MBABMBAB••

即222

422

(2)()()

111







解得1，即SMMC

所以M为侧棱SC的中点

（II）

由(0,1,1),(2,0,0)MA，得AM的中点211

(,,)

222

G

又231

(,,),(0,1,1),(2,1,1)

222

GBMSAM

0,0GBAMMSAM••

所以,GBAMMSAM

因此,GBMS等于二面角SAMB的平面角

6

cos,

3

||||

GBMS

GBMS

GBMS

•



•

所以二面角SAMB的大小为6

arccos()

3



(20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发

生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合

题。

解：记“第i局甲获胜”为事件)5,4,3(iA

i

，“第j

局乙获胜”为事件(3,4,5)

j

Bj。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，

则

4343

BBAAA，由于各局比赛结果相互独立，

故

34343434

()()()()PAPAABBPAAPBB

3434

()()()()PAPAPBPB

52.04.04.06.06.0

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，

因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比

赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，

从而

54354343

ABAAABAAB，由于各局比赛结果相

互独立，故

)()(

54354343

ABAAABAAPBP

648.06.04.06.06.06.04.06.06.0

)()()()()()()()(

)()()(

54354343

54354343







APBPAPAPAPBPAPAP

ABAPAABPAAP

（21）【解析】本小题考查导数的应用、函数

的单调性，综合题。

解：（Ⅰ）3

66

'()464()()

22

fxxxxxx

令'()0fx得0

2

6

x或

2

6

x；

令'()0fx得

2

6

x或

2

6

0x

因此，xf在区间)0,

2

6

(和),

2

6

(为增函数；

在区间)

2

6

,(和)

2

6

,0(为减函数。

（Ⅱ）设点))(,(

00

xfxP，由l过原点知，l的方程为

0

'()yfxx，

因此

000

()'()fxxfx，

即0)64(63

0

3

00

2

0

4

0

xxxxx，

整理得0)2)(1(2

0

2

0

xx，

解得2

0

x或2

0

x

因此切线l的方程为xy2或22yx

(22)解：（Ⅰ）将抛物线2:Eyx代入圆

222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，

整理得227160xxr①

E与M有四个交点的充要条件是：方程①有

两个不相等的正根

12

xx、

由此得22

12

2

12

(7)4(16)0

70

160

r

xx

xxr

















解得2

15

16

4

r

又0r

所以r的取值范围是15

(,4)

2

（II）设四个交点的坐标分别为

11

(,)Axx、

11

(,)Bxx、

22

(,)Cxx、

22

(,)Dxx。

则由（I）根据韦达定理有2

1212

7,16xxxxr，

15

(,4)

2

r

则

21122112

1

2||()||()

2

Sxxxxxxxx

2222

12121212

[()4](2)(7216)(415)Sxxxxxxxxrr

令216rt，则22(72)(72)Stt下面求2S的

最大值。

方法1：由三次均值有：

22

1

(72)(72)(72)(72)(144)

2

Sttttt

33

()()

2323

ttt



当且仅当72144tt，即7

6

t时取最大值。经

检验此时15

(,4)

2

r满足题意。

方法2：设四个交点的坐标分别为

11

(,)Axx、

11

(,)Bxx、

22

(,)Cxx、

22

(,)Dxx

则直线AC、BD的方程分别为

)(),(

1

12

12

11

12

12

1

xx

xx

xx

xyxx

xx

xx

xy













解得点P的坐标为)0,(

21

xx。

设

21

xxt，由216rt及（Ⅰ）得7

(0,)

2

t

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

||)22(

2

1

2121

xxxxS

则]4))[(2(

21

2

212211

2xxxxxxxxS

将7

21

xx，txx

21

代入上式，并令2)(Stf，得

)

2

7

0(34398288)27()27()(232tttttttf，

∴2'()2456982(27)(67)fttttt，

令'()0ft得

6

7

t，或

2

7

t（舍去）

当

6

7

0t时，'()0ft；当

6

7

t时'()0ft；当

2

7

6

7

t时，

'()0ft

故当且仅当

6

7

t时，)(tf有最大值，即四边形

ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为)0,

6

7

(