泊松分布期望

泊松分布的应用

泊松分布的应用

摘要

泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高

等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式

下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为

概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时

间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、

概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三

角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究

了泊松分布的一些性质,并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；

一、计数过程为广义的泊松过程

1．计数过程

设)}0,[Tt,t)({NX

T

为一随机过程,如果

t)(N

是取非负整数值的

随机变量,且满足s

t)(s)(N

,则称)}0,[Tt,t)({NX

T

为计数过

程。

将增量tt0,t),t(N)t(N-t)(N

000

,它表示时间间隔t),t[

0

内出现

的质点数。“在t),t[

0

内出现k个质点”,即k}t),t({N

0

是一随机事件,其概率

记为20,1,k,k}t),t(P{Nt),t(P

00K

总之,对某种随机事件的来到数都可

以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。

2．泊松过程

计数过程

0}t,t)({N

称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:

(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;

(2)

0(0)N

;

(3)对于充分小的,t)(Ot1}t)tt,(P{Nt)tt,(P

1

其中常数

0,称为过程

)(tN

的强度。

(4)对于充分小的Δt

tjtttNPtttP

jj

j











22

,),(

亦即对于充分小的

t

,在ttt,或2个以上质点的概率与出现一个质点的

概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,

其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。

二、泊松分布的概念：

泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的

随机分布规律。

定义1设随机变量X的可能取值为,,2,1,0且

0,,2,1,0,

!

ke

k

x

kXP

k

为常数。

则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P(λ)。

定义2设ε是任意一个随机变量,称)t(-et)(it

是ε的特征函

数。

主要结论：

定理1如果X是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E(X)=λ且D(X)

=λ。

证明设X是一随机变量,若]X)E(-X[E{2存在,则称它为X的方差,记作

D(X),即]X)E(-X[E{X)D(2。设X服从泊松分布P(X),即有:

0,,,2,10k,

!

k}XP{



e

k

k

则





























ee

k

eke

k

XE

k

k

k

k

1

1

0

!1!

从而



































2

12

2

0

22

!1!2!

e

k

e

k

e

k

kXE

k

k

k

k

k

k

故

-X)E(-)XE(X)D(2222

定理2设随机变量),,21n(x

n

服从二项分布,其分布律为

nkppCkxPkn

n

k

n

k

nn

,,2,1,0,)1(。

又设0

n

np是常数,则







e

k

kxP

k

n

n!

lim。

证明由



n

np得:





n

n

kn

k

knk

n

nn

k

nnk

nnk

knnn

kxP















































































































1

1

1

2

1

1

11

!

1

!

11





显然,当k=0时,故-

n

ek}xP{。当k≥1且k→∞时,有





































































e

nn

k

nn

n

n

kn

1,1

1

1

2

1

1

11

从而



e

k

kxP

k

n1

，故







e

k

kxP

k

n

n!

lim

。

定理3设p

是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

dtex

p

Px

t























2

2

2

1

lim







证明已知的特征函数为

1iteet



,故的特征函数

为:

1





















it

ettee

t

tg

对任意的t,有

























1

!2

1

2tit

e

it

。

于是





































2

1

2

1

22tt

tie

it

。

从而对任意的点列

n



,有2

2

lim

t

etg

n

n











。

但是2

2t

e

是N(0,1)分布的特征函数,由于分布函数列xF

n

弱收敛于分布

函数F(x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn(t)}收敛于F(x)的特征函

数Φ(t)。所以

dtexP

x

t

n

nn

n

































2

2

2

1

lim







成立;又因为

n



是可以任意

选取的,这就意味着dtex

p

Px

t























2

2

2

1

lim







成立。

图一泊松分布示意图

三、泊松分布及泊松分布增量

1.泊松分布产生的一般条件

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我

们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。若事件流具有

平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流)。

例如一放射性源放射出的α粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;到某

机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;等这些事

件都可以看作泊松流。

2.泊松分布及泊松分布增量的概率

(1)泊松分布的概率:

对泊松流,在任意时间间隔(0,t)内,事件出现的次数服从参数为λt的泊松

分布,λ称为泊松流的强度。

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,⋯,且概率分布为:

21,0,k,

!

ek)(XP

k

-

k



其中0是常数,则称X服从参数为λ的泊松

分布,记作X～P(λ)。

(2)泊过分布增量的概率:

21,0,k,tt,e

!

])t-t([

}kt),t({NPt),t(P

0

)t-t(-

k

0

00k

0



k

由上式易知增量)t(N-t)(Nt),t(N

00

的概率分布是参数=)t-t(

0



的泊

松分布,且只与时间

0

tt有关。

3.泊松分布的期望和方差：

由泊松分布知)t-t(])t(N-t)([ND])t(N-t)(E[N

000



特别地,令0

0

t,由于假设N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差

函数分别为：

t,]t)([ND,t]t)(E[N

泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望

值。即对泊松分布有:(X)D(X)E

四、泊松分布的特征

1．泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件,

样本含量n必须很大。

2.是泊松分布所依赖的唯一参数。值愈小,分布愈偏倚,随着的增大,

分布趋于对称。

3.当=20时分布泊松分布接近于正态分布;当=50时,可以认为泊松分

布呈正态分布。在实际工作中,当≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松

分布的问题。

五、泊松分布与二项分布、正态分布之间的关系

1.二项分布与泊松分布之间的关系

定理(泊松定理)在n重伯努利试验中，事件A在每次实验中发生的概率为

Pn，它与试验次数有关，，则对任意给定的m，有

由该定理可知，当二项分布b(n,p)的参数n很大，p很小，而λ=np大小适

中时，实际中n>100，p<0.1，np<10时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布

来近似，即

这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则近似效果往往不

佳。

二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件出现的

概率p很小)，当伯努利试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布。实际表

明，在一般情况下，当p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，

这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，当p=0.01时，

甚至n=2时，这种近似程度已经很好了。表1说明了这一情况，其中np=0.02。

表一二项分布与泊松分布的比较

2.泊松分布与正态分布之间的关系

由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布

近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说

明泊松分布的正态逼近。

定理对任意的a

如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。当

p很小时，即使n不是很大，用泊松分布近似二项分布，已经相当吻合。但是在

这种倩形下，用正态分布去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以

想象得到，p很小，n又不大，则np=λ一定不会很大。由上述定理可知，正态

分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二项

分布。

在n充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最好满足0.1

用正态分布去近似二项分布，效果就较好。

表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b(n,p)的比较，其中，

n=2500，p=0.02，np=50,7。可见，在数值上三者是大致相等的。

表二泊松分布、正态分布、二项分布的比较

由上述定理易知，泊松分布X~π（λ）当极限分布是正态分布

N(λ,λ)。

综上所诉，二项分布b(n,p)的参数n很大，p很小，而λ=np大小适中

时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似；泊松分布泊松分布X~π（λ）

当λ充分大时的极限分布是正态分布N(λ,λ)，并且泊松分布的分布函数π

（λ）与正态分布的分布函数N(λ,λ)近似相等。

六、泊松分布的应用

1.二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件,即每次试验中事件出

现的概率p很小,而贝努里试验的次数n很大时,事件发生的概率。

例1通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p=0.0001,假设在某路段

时间内有1000辆汽车通过此路口,试求在此时间内发生事故次数X的概率分布和

发生2次以上事故的概率。

分析首先在某时间段内发生事故是属于稀有事件,观察通过路口的1000辆

汽车发生事故与否,可视为是n=1000次伯努里试验,出现事故的概率为p=

0.0001,因此X是服从二项分布的,即

,0.0001)B(1000~X

。

)0.99990.00011000-0.9999-11xp{-0xp{-12x(pQ9991000

由于n=1000很大,且p=0.0001很小,上面的式子计算工作量很大,则可以

用:

n),,,10m(e

m!

np

p)-(1pCm}vp{np-

m

m-nm

n

m

nn



求近似.注意到0.1.000101000np,故有

0.0045e

1!

0.1

-e

!0

1.0

-12xp{0.1-0.1-

0

.

2.泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率。这里的频数指

在相同条件下,进行大量试验,在这大量试验中,稀有事件发生的次数。

例2已知患色盲者占0.25%,试求:①为发现一例色盲者至少要检查25人的

概率;②为使发现色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辨色力进行检查?

分析设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数,则

G(0.0025)~X。

解94.09975.01p-1p25xp{2424

25

25k









p

k

设至少对n个人的辨色能力进行检查,于是p{x≤n}≥0.9。从而:

n

k

nk

k

ppp













1111p-1pn}xp{

1

1

1

1k

由0.9p)-(1-1n,得8827.919

9975.0lg

1.0lg

n.因此至少要检查920人。

3.泊松分布在生物学中的应用：

在生物学研究中,服从泊松分布的随机变量是常见的，如每升饮水中大肠杆

菌数,计数器小方格中血球数,单位空间中某些野生动物或昆虫数等都是服从

泊松分布的。泊松分布在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生物学中所涉及

到的概率研究起到了重要的指导作用。

例3：泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用

判断基因克隆过程的分布情况：由于基因组DNA是从大量细胞中提取的,每

个细胞中均含有全部基因组DNA,那么每一种限制性片段的数目是大量的,因此

可以说各限制性片段的数目是相等的。在基因克隆中,基因组DNA用限制性酶切

割后与载体混合反应以及随后的过程均是随机的生化反应过程。一,对克隆来说

一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆,只有这两种结果;第二,由于总体限

制性片段是大量的,被克隆的对总体影响很小;第三,在克隆中一片段被克隆

的概率为f(f较小),不被克隆的概率为1-,f且克隆时这两种概率都不变。综

上所述,基因克隆过程符合泊松分布。

设p为基因被克隆的概率;N为要求的克隆的概率为p时一个基因文库所需

含有重组DNA的克隆数;f为限制性片段的平均长度与基因组DNA总长度之比,

若基因组DNA被限制性酶切割成n个DNA片段,f即

n

1

。则在克隆数为N时，任一

段被克隆一次或一次以上的概率为Nfepp1)0(1，可推出

f

p

N

)1ln(



,一

般要求目的基因序列出现的概率p的期望值定为99%，那么

nnpnN4605)99.01ln()1ln(。

在分子生物学中，上述一个完整的基因文库所需克隆数的估计对基因克

隆实验方案的设计具有重要意义。

4.泊松分布在物理学中的应用：

泊松分布在物理学中的应用十分广泛，如热电子的放射，某些激光场的分布

等等都服从泊松分布。

例4：对某一放射性物质而言,各相邻原子群体之间,其中一个原子核的衰

变,对相邻的原子核而言,可视为外界的变化,而这种外界的变化,不会影响

相邻原子核的衰变过程。即在某一放射性物质中,各个原子核的衰变过程,互不

影响,相互独立。因此衰变过程满足独立性。

放射性原子核的衰变过程是一个相互彼此无关的过程，所以放射性原子核衰

变的统计计数可以看成是一种伯努利试验问题。若在一个原子核体系中，单位时

间原子核发生衰变的概率为tep1，则没有发生衰变的概率为tepq1。

由二项分布得到，在t时间内的核衰变数为n的概率为nN

nN

N

ppCnP0

0

)1()(。

（1）

由于在放射性衰变中，原子核数目

0

N很大，而p相对很小，并且满足

1t，所以上式可以近似化为泊松分布，因为此时

00

NpNm，对于m附

近的n值可得到：

000

0

)()1(

)1()2)(1(

00000

pNnN

p

nN

n

n

N

eep

NnNNNNC









带入（1)式中得到：0!

)(0

pN

n

n

ep

n

N

np

令pNm

0

，得到:m

n

e

n

m

np

!

)(

,即为泊松分布。并且有mmnE2,)(

。

参考文献

[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.

1983.10.

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社.1979.

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版社,19861

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[6]庄军，林奇英.泊松分布在生物学中的应用.激光生物学报