向量的方向余弦

1

方向余弦法

姿态更新的方向余弦法实质上就是直接求解姿态矩阵解微分方程.

设r为某一空间向量,b为机体坐标系,导航坐标系n取地理坐标系g,

则根据哥氏定理,

||

nbnb

drdr

r

dtdt

(9.5.2)

上式两边诸向量向b坐标系投影,

||()bbb

nbnb

drdr

r

dtdt

(9.5.3)

由于

|

()

bb

b

bbb

nbnb

dr

r

dt

rr







所以式(9.5.3)可写成

|bbbb

nnb

dr

rr

dt



(9.5.4)

另外,根据向量在不同坐标系的变换关系,有

bbn

n

rCr

上式两边对时间求导

|bbnbnbnbn

nnnnn

dr

rCrCrCrC

dt







上式中,|n

n

dr

dt

是

n

dr

dt

在n坐标系中的投影,经b

n

C左乘后即为在b坐标系

中的投影,所以

|bbnbb

nnn

dr

rCrC

dt





(9.5.5)

比较式(9.5.4)和式(9.5.5),得

bnbbbbnbkbn

nnbnbnnbn

CrrCrCr



所以

2

bbkb

nnbn

CC



(9.5.6)

式中,bk

nb



是由b

nb



构造的反对称矩阵,即若

b

nb



=[b

nbx

b

nby

b

nbz



]T

则

0

0

0

bb

nbznby

bkbb

nbnbznbx

bb

nbynbx























(9.5.7)

式(9.5.6)式姿态矩阵微分方程的一种形式,根据计算方便,姿态矩

阵微分方程还可以改写成其他形式.

若式(9.5.2)两边诸向量向导航坐标系n投影,则有

|nnnn

bnb

dr

rr

dt



(9.5.8)

根据向量的坐标系变换公式:

Cnnb

b

rr

对上式两边求时间导数,得:

||nnbnbnbnbnbn

bbbbbbb

drdr

rCrCrCrCCr

dtdt





(9.5.9)

比较(9.5.8)和(9.5.9),得

CCnbnnnknb

bnbnbb

rrr



所以CCnnkn

bnbb



(9.5.10)

式中

0

0

0

nn

nbznby

nknn

nbnbznbx

nn

nbynbx























(9.5.11)

n

nb

[n

nbx

n

nby

n

nbz

]T

若分别对式(9.5.6)和(9.5.10)两边求转置,则得姿态矩阵微分方程的

3

另外两种形式:

CCnnbk

bbnb



(9.5.12)

CCbbnk

nnnb



(9.5.13)