简单的线性规划

高考复习专题：简单的线性规划

专题要点

简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。理解二元一次不等式组表示平面的区

域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决

实际问题的能力。

线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋

于淡化,在复习时也应是注意。

考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优

解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。

考纲要求

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会

简单应用。

典例精析

线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数

形结合等方法解决问题。

考点1：求给定可行域的最优解

例1.（2012广东文）已知变量

x

、y满足约束条件

1

1

10

xy

xy

x

















,则2zxy的最小值为（）

A．3B．1C．5D．6

解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最小值.联立

1

1

x

yx











,

解得

1

2

x

y











,所以2zxy的最小值为5.

例2.（2009天津）设变量x，y满足约束条件：

3

1

23

xy

xy

xy

















.则目标函数z=2x+3y

的最小值为

（A）6（B）7（C）8（D）23

解析：画出不等式

3

1

23

xy

xy

xy

















表示的可行域，如右图，

让目标函数表示直线

33

2zx

y在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组











32

3

yx

yx

得)1,2(，所以734

min

z，故选择B.

8

6

4

2

-2

-4

-551015

2x-y=3

x-y=1

x+y=3

A

B

发散思维：若将目标函数改为求

x

y

z的取值范围；或者改为求

3



x

y

z的取值范围；

或者改为求22yxz的最大值；或者或者改为求2

21yxz的最大值。

方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找

出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。

练习1.（2012天津）设变量,xy满足约束条件

















01

042

022

x

yx

yx

,则目标函数32zxy的最小值为

（）

A．5B．4C．2D．3

【解析】做出不等式对应的可行域如图,由yxz23得

22

3z

xy,由图象可知当直线

22

3z

xy经

过点)2,0(C时,直线

22

3z

xy的截距最大,而此时

yxz23最小为423yxz,选B.

练习2．在约束条件









0≤x≤1，

0≤y≤2，

2y－x≥1，

下，x－12＋y2的最小值为________．

解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x－12＋y2可视为该区域内的

点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即为

|－1－1|

5

＝

25

5

.答案

25

5

练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M

（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）

A、3B、4C、3D、4

解答：解：首先做出可行域，如图所示：

z=•=，即y=﹣x+z做出l

0

：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点

A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．

因为A（，2），所以z的最大值为4故选B

练习4.（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域









x＋y≥2，

x≤1，

y≤2

上的

一个动点，则OA

→

·OM

→

的取值范围是()

A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]

【分析】由于OA

→

·OM

→

＝－x＋y，实际上就是在线性约束条件









x＋y≥2，

x≤1，

y≤2

下，求线性目标函数z＝

－x＋y的最大值和最小值．

【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA

→

·OM

→

＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y

＝x＋z，作斜率为1的一组平行线．

当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即

zmax＝－0＋2＝2.

∴z的取值范围是[0,2]，即OA

→

·OM

→

的取值范围是[0,2]，故选C.

考点2：求给定可行域的面积

例3．在平面直角坐标系中，不等式组

















43

43

0

yx

yx

x

表示的平面区域的面积为（）

A．

2

3

B．

3

2

C．

3

4

D．

4

3

答案c

考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数

例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组

20,

20,

xy

xy

xt















≥

≥

≤

表示的

平面区域的面积为4，则实数t的值为

A．1B．2C．3D．4

答案B

练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组

10

10

10

xy

x

axy

















（为常数）所表示的平面

区域内的面积等于2，则

a

的值为

A.-5B.1C.2D.3

解析解析如图可得黄色即为满足010101yaxyxx的可行域，而与的直线恒过

（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；

a=2时，面积是

2

3

；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

练习6.设二元一次不等式组

















0142

,08

0192

yx

yx

yx，

所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图

象过区域M的a的取值范围是c

（A）[1,3](B)[2,

10

](C)[2,9](D)[

10

,9]

练习7．设z＝x＋y，其中x、y满足









x＋2y≥0

x－y≤0

0≤y≤k

，若z的最大值为6，则z的最小值为

A．－3B．3

C．2D．－2

解析如图所示，作出不等式组所确定的可行域△OAB，目标函数的几何

意义是直线x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，

取得最大值，由









x－y＝0，

y＝k，

解得A(k，k)，故最大值为z＝k＋k＝2k，由题意，

得2k＝6，故k＝3.当目标函数经过点B时，取得最小值，由









x＋2y＝0，

y＝3，

解

得B(－6,3)，故最小值为z＝－6＋3＝－3.故选A.

答案A

练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC

内部,则zxy的取值范围是（）

A．(1-3,2)B．(0,2)C．(3-1,2)D．(0,1+3)

【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.

【解析】有题设知C(1+

3

,2),作出直线

0

l:0xy,平移直线

0

l,

有图像知,直线:lzxy过B点时,

max

z=2,过C

时,

min

z=13,∴zxy取值范围为(1-3,2),故选A.

练习9.（2012福建文）若直线2yx上存在点(,)xy满足约束条件

30

230

xy

xy

xm





















,则实数

m

的最大值

为（）

A．-1B．1C．

3

2

D．2

【答案】B

【解析】30xy与2yx的交点为(1,2),所以只有1m才能符合条件,B正确.

【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.

练习10.（2012福建理）若函数2xy图像上存在点(,)xy满足约束条件

30

230

xy

xy

xm





















,则实数

m

的

最大值为（）

A．

1

2

B．1C．

3

2

D．2

【答案】B

【解析】30xy与

2xy的交点为(1,2),所以只有1m才能符合条件,B正确.

【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求

解计算能力

考点四：实际应用与大题

例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；

生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得

利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获

得最大利润是

A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元

解析：设甲、乙种两种产品各需生产

x

、y吨，可使利润

z

最大，故本题即

已知约束条件























0

0

1832

133

y

x

yx

yx

，求目标函数yxz35的最大值，

可求出最优解为











4

3

y

x

，故

271215

max

z，故选择D。

练习11.（2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产

x+y=100

2x-y=50

y=25

O

y

x

A

甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.

每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天

消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共

可获得的最大利润是（）

A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元

[答案]C

[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得利润为Z元/天,则由已知,得

Z=300X+400Y

且























0

0

122

122

Y

X

YX

YX

画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y可变形为

Y=

400

z

x

4

3

这是随Z变化的一族平行直线

解方程组











12y2x

12yx2













4y

4x

即A(4,4)

28

max

Z

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数

变形式的平行线)、四求(求出最优解).

练习12.(2012广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：

食物类型甲乙丙

维生素C（单位/kg）

300500300

维生素D（单位/kg）

700100300

成本（元/kg）

543

某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为

.xkgykgzkg、、

（1）试以,xy表示混合食物的成本P;

（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C及40000单位维生素D，问,,xyz取什么值时，混合食

物的成本最少？

(本小题主要考查线性规划等知识,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)

（1）解：依题意得

100,

543.

xyz

Pxyz











……………2分

由100xyz，得100zxy，代入543Pxyz，

得3002Pxy.……………3分

(1)解:依题意知

x

、y、z要满足的条件为

0,0,0,

30,

70.

xyz

xyz

xyz

















………6分

把100zxy代入方程组得

0,0,

1000,

250,

25.

xy

xy

xy

y























……9分

如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A37.5,25.…10分

让目标函数2300xyP在可行域上移动,

由此可知3002Pxy在A37.5,25处取得最小值.

………11分

∴当37.5x(kg),25y(kg),37.5z(kg)时,混合食物的成本最少.………12分

【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:

(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么?

(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;

(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系;

(4)作答——就应用题提出的问题作出回

答.

体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题