负3的平方

1

第一单元认识负数、面积是多少

1、0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。在数轴上，以

“0”为分界点，越往左边的负数越小，左边的数都比右边的小。举例：

-234<-1<0<+1

2、在生活中，常把0作为正负数的分界，呈相反关系的量用正负数表示：比如

零上温度（+）、零下温度（—）；海平面以上（+）、海平面以下（其中海平

面高度为0），（—）；盈利（+）、亏损（—）；收入（+）、支出（—）；

东北（+）、西南（—）……，所以说：正负数是一对相反的数。

2、在数不规则图形的面积时不满一格的看作半格。先数满格，再数半格。不规

则图形的面积=满格数+半格数÷2

第二单元多边形面积的计算

1、长方形的周长=（长+宽）×2长方形的面积=长×宽=底×高

正方形的周长=边长×4正方形的面积=边长×边长

长方形的长可以看作“底”，宽可以看作“高”。

2、分割思想：把一个复杂图形分割成几个简单的图形。（认识，可以不读）

3、沿着平行四边形的任意一条高剪开，然后通过移动拼成（转化成）一个长方

形。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。长方形

2

的面积和拼成的平行四边形的面积相等（等积变形），因为长方形的面积=长×

宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。

4、等底等高的长方形和平行四边形的面积一定相等

5、形状不同的平行四边形的面积可能相等，也可能不相等。关键是看“底×高”

后的乘积是否相等。如果是同一个数的两个相对应的因数做底和高，面积就一定

相等。比如12的因数有：1、2、3、4、6、12，则底×高=1×12=12×1=2×

6=6×2=3×4=4×3，可以有6种形状不同而面积相等的平行四边形。

6、把长方形方框拉成平行四边形，周长不变，但高变小了，所以面积变小了；

同理，把平行四边形方框拉成长方形，周长不变，高变大了，面积也变大了。

7、将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三

角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，拼成的平行四边形的面积是每个三

角形面积的2倍，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平

行四边形的面积等于底×高，所以三角形的面积等于底×高÷2。用字母表示S=a

×h÷2。

8、等底等高的两个三角形的面积一定相等，但形状不同。因此面积相等的两个

三角形不一定能拼成一个平行四边形图形（要抓住“完全一样”的关键词）面积

相等的三角形也不一定是等底等高。（如一个三角形的底是3，高是2，另一个

三角形的底是2，高是3，它们虽然不等底等高，但面积相等。

3

9、与平行四边形等底等高的三角形的面积是这个平行四边形面积的一半。反过

来，与三角形等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。

10、两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形，因此计算时一定不能忘

记“除以2”。

11、在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四

边形面积的一半。（课本第18页第10题）可以在上下（或左右）两条平行线

之间画无数个面积最大的三角形。

12、将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于

梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，拼成的平行四边形的面

积是每个梯形面积的2倍，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2字母

表示S=（a＋b）×h÷2.梯形可以剪出两个完全一样的平行四边形，但不能说

梯形的面积就一定是平行四边形面积的一半。

13、钢管堆成梯形的形状，要算钢管的根数，就按梯形的面积公式计算，其中

最上层是上底，最下层是下底，中间层数就是高。（课本25页第10题）

第二单元提示：（1）在完成这一单元的相关计算时，一定要先观察是什么图形？

（2）熟练理解和背熟长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形图形面积公

式，再根据题目中的图形面积公式来计算；（3）要注意题目单位名称是否统一。

（课本第21页第4题）；（4）计算三角形和梯形面积时，不能忘记公式中的

4

“除以2”；（5）长方形面积=长×宽。长方形周长=（长+宽）×2。正方形面

积=边长×边长。正方形周长=边长×4。

14、右图梯形中S3面积和S4的面积相等

15、在格子上画不同形状但面积相等的图形的方法：

画平行四边形：（1）尽量与长方形等底等高（全部过关）；（2）底和高正好

和长方形的底和高的长度调换过来。如长方形的长是5，宽是3，则平行四边形

的底是3，高是5。

画三角形：如果取三角形的高和长方形的高一样，则三角形的底是长方形的底的

2倍；如果取三角形的底和长方形的底一样，则三角形的高是长方形的高的2倍。

画梯形：最好是定好梯形的高是2，那么梯形的上底+下底的和就是图形面积的

数字。举例：画一个与面积是6平方厘米平行四边形的梯形，取梯形的高是2

厘米，那么根据梯形面积公式（上底+下底）×2÷2=6可以得出，（上底+下底）

=6，就可以画了（理解，不读）。如果取梯形的高和长方形的高一样，则梯形

的上底加下底的和必须是长方形的底的2倍；反之，当梯形的上底加下底的和

与长方形的底一样时，梯形的高就必须是长方形的高的2倍。

5

三角形和梯形的就要结合面积公式中为什么要“除以2”来互相理解。

16、平行四边形面积÷底=平行四边形的高；平行四边形面积÷高=平行四边形

的底

17、三角形面积×2÷高=三角形的底；三角形面积×2÷底=三角形的高

18、梯形面积×2÷（上底+下底）=高；梯形面积×2÷高—上底=下底；梯形面

积×2÷高—下底=上底。

第三单元认识小数

1、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。

分母是10的分数写成一位小数，表示十分之几。（条）

分母是100的分数写成两位小数，表示百分之几。（格）

分母是1000的分数写成三位小数，表示千分之几。（立方体）

2、判断一个小数是几位小数，可以通过数小数点后面的数，小数点后面有几个

数，就是几位小数。注意：写几位小数要大写，如：4.032，小数点后面有3个

数字，是（三）位小数。

3、小数点左边第一位是个位，计数单位个（1）

小数点左边第二位是十位，计数单位十（10）

6

小数点右边第一位是十分位，计数单位十分之一（0.1）

小数点右边第二位是百分位，计数单位百分之一（0.01）

小数点右边第三位是千分位，计数单位千分之一（0.001）

小数部分最高位是十分位，最大的计数单位是十分之一。整数部分没有最高数位。

相邻两个计数单位之间的进率都是10。

4、数位顺序表：

整数部分

小

数

点

小数部分

数

级

亿级万级个级

·

数

位

……

十

亿

位

亿

位

千

万

位

百

万

位

十

万

位

万

位

千

位

百

位

十

位

个

位

十分位

百

分

位

千

分

位

……

计

数

单

位

……

十

亿

亿

千

万

百

万

十

万

万千百十

个

(一)

十分之

一

0.1

百分

之一

0.01

千

分

之

……

7

一

0.001

5、1里面有（10）个0.1（十分之一）,0.1（十分之一）里面有10个0.01（百

分之一）0.01（百分之一）里面有10个0.001（千分之一），1里面有100

个0.01。

6、小数的性质：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

7、比较小数的大小方法：先比较小数的整数部分，整数部分大的小数大；如果

整数部分相同，再比较小数部分。先比较十分位，十分位上的数大，这个小数就

大；十分位相同的，再比较百分位，百分位上的数大，这个小数就大；百分为相

同的，再比较千分位……

8、数的改写：

（1）改写用“万”作单位：<1>从右边开始向左数四位，在万位和千位之间画

“┆”，在“┆”下方点上小数点；<2>把小数点末尾的“0”去掉，添个“万”

字；<3>用“=”号连接。

（2）改写用“亿”作单位：<1>从右边开始向左数八位，在亿位和千万位之间

画“┆”，在“┆”下方点上小数点；<2>把小数点末尾的“0”去掉，添个“亿”

字；<3>用“=”号连接。

8

注意事项：（1）改写不能改变原数的大小；（2）位数不够的用“0”补上（先

写上虚写的“0”，=后面就改为实写的“0”。举例：4309→0

┆.4309=0.4309309→0┆.0309=0.0309）（3）它是准确数，前后数必

须用“=”连接。

9、求整数的近似数：

省略万后面的尾数：要看“千”位上的数，用四舍五入法取近似值。用“≈”号

连接。

省略亿后面的尾数：要看“千万”位上的数，用四舍五入法取近似值。用“≈”

号连接。

10、求小数的近似数：

保留整数，就是精确到个位，要看小数部分第一位（十分位）上的数来决定四舍

五入。

保留一位小数，就是精确到十分位，要看小数部分第二位（百分位）上的数来决

定四舍五入。

保留两位小数，就是精确到百分位，要看小数部分第三位（千分位）上的数来决

定四舍五入。

注意事项：

9

（1）在表示近似值时末尾的“0”一定不能去掉。（例如，一个小数保留两位

小数是1.50，末尾的“0”不能去掉。虽然1.50与1.5大小相等，但表示的精

确程度不一样，1.50表示精确到百分位，而1.5表示精确到十分位，所以1.50

在表示近似数时末尾的“0”一定不能去掉。）

（2）向前一位数字五入进一时，满十要向前进一，再满十继续向前进一（举例：

19.97保留一位小数，19.97≈20.0，百分位上数字是7，比5大，舍去7，向

十分位上的9进1，9+1=10，继续向个位上的9进1，19+1=20）

第四单元小数的加减法

1、计算小数加减法时，要把小数点对齐，也就是相同数位对齐。

2、被减数是整数时，要添上小数点和根据减数的小数部分补上“0”后再减。

3、竖式计算小数时，小数点末尾的“0”不能去掉，把得数写在横式时，小数

点末尾的“0”要去掉。

4、加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

减法运算性质：a-b-c=a-(b+c)

a-(b+c)=a-b-c（最容易错）

5、整数加减法的运算律，对小数加减法也同样适用。

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6、填写运算律时，要填完整，比如加法交换律、加法结合律，不能只填“交换

律或结合律”。

7、减法运算性质的逆向运用a-(b+c)=a-b-c（最容易错）

第五单元找规律

1、找规律方法：（1）找到周期；（2）将个数÷周期；（3）余数是几就是第

几个，没有余数的就是最后一个。

2、要算每个项目一共有几个，可以分三步去做：（1）每几个为一组；（2）每

组中有几个；再乘一共有组数；（3）最后加上余数中的个数就等于一共有多少

个。

注意：找规律时可以按出现不同物体（数字）的个数或颜色来分组，有些是固定

的，比如一周是7天。

举例说明：

（1）兔、猫、狗、狗、兔、猫、狗、狗……这里出现三种不同的动物兔、猫、

狗，分组时就要把所有这三种动物都要分在一组里。所以不能只是“兔、猫、狗”，

还要考虑排列情况，所以是“兔、猫、狗、狗”。

（2）0.7142857……小数部分出现6个不同的数字，把这6个

不同的数字都要放在一起就是一组。

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（3）○○○□○○○□……这列图形有两种颜色或两种图形，所以把两种颜色的图形

分为一组，就是○○○□。

第六单元解决问题的策略

1、解决问题中的策略：用一一列举法将可能的情况用列表法全部列举出来，列

举时的技巧是先考虑数字较大的（放在第一行）。然后按数字从1开始进行列

举。

2、要做到不重复、不遗漏来排列，就要按顺序来排列。

说明：这单元的内容是以前三、四年级数学竞赛题的内容，有些难度，思考方法

也较灵活，需要多去做题，在做题中形成一些规律和思考思路。

第七单元小数乘法和除法（一）

1、在计算小数乘法时（1）算：按照整数乘法的法则进行计算；（2）看：两个

因数中一共有几位小数（3）数：就从积的末尾起数出几位；（4）点：点上小

数点；（5）去：去掉小数末尾的0。

2、一个小数乘10、100、1000……只要把小数点向右移动一位、两位、三位……

一个小数除以10、100、1000……只要把小数点向左移动一位、两位、三位……

12

小数点位置的移动引起小数大小的变化

移动方向向左←小数点·→向右

移动位数……三位二位一位一位二位三位……

原数变化情

况

缩小（÷）扩大（×）

……

1000

倍

100

倍

10

倍

10

倍

100

倍

1000

倍

……

注意移动小数点，位数不够时要用“0”补足

第八单元公顷和平方千米

1、一个社区、校园的面积通常用“公顷”来表示，如果有“万”字，则要环城

“平方米”做单位。举例：天安门广场面积约40公顷，约40万平方米；

一个国家、省、市、地区、湖泊和比较大的面积时就要用“平方千米”

做单位。

2、1公顷就是边长100米的正方形的面积，等于10000平方米。

1公顷=100公亩=10000平方米

3、1平方千米就是边长1000米的正方形的面积，等于平方米。

1平方千米=100公顷=100┆0000平方米。

13

4、土地面积单位化聚方法：

高级单位（大）→→低级单位（小）（化）：高级单位前面的数字×两个单位之

间的进率，小数点向右移动相应位置，数位不够补0。

低级单位（小）→→高级单位（大）（聚）：低级单位前面的数字÷两个单位之

间的进率，小数点向左移动相应位置，数位不够补0。

5、解决土地实际问题，要注意把平方千米或公顷先换算为平方米或把平方米换

算为公顷或平方千米。

6、因为1公顷=1┆0000平方米=100米×100米，所以面积是1公顷（1┆0000

平方米）的正方形，它的边长是100米。

7、因为4公顷=4┆0000平方米=200米×200米，所以面积是4公顷（4┆0000

平方米）的正方形，它的边长是200米。

8、因为9公顷=9┆0000平方米=300米×300米，所以面积是9公顷（9┆0000

平方米）的正方形，它的边长是300米。

9、因为16公顷=16┆0000平方米=400米×400米，所以面积是16公顷（16

┆0000平方米）的正方形，它的边长是400米。

10、因为25公顷=25┆0000平方米=500米×500米，所以面积是25公顷（25

┆0000平方米）的正方形，它的边长是500米。

11、常用质量单位进率：

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1吨=1000千克，1千克=1000克，

长度单位：

1千米=1000米1米=10分米=100厘米=1000毫米

容积单位：

1升=1000毫升

面积单位：

1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米

第九单元小数乘法和除法（二）

1、小数乘法计算：先按整数乘法计算来计算积是多少，然后看两个因数一共有

几位小数，就从积的右边起向左边数出几位小数，点上小数点。（位数不够的要

补“0”）

2、整数加、减、乘、除法的运算定律对于小数也同样适用。

加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交换律：a×b=b×a加法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）

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减法的性质：a－b－c=a－（b＋c）

除法的性质：a÷b÷c=a÷（b×c）

乘法分配律：（a＋b）×c=a×c+b×c（a－b）×c=a×c－b×c

3、除数是小数的除法，首先看除数一共有几位小数，然后通过移动除数小数的

数位使除数变成整数，然后按照除数是整数的除法来计算。为了保证移动小数点

前后商保持不变，被除数的小数点也要同时与除数小数点移动的方向和移动的位

数保持一样。

4、当一个因数不为0时，另一个因数大于1，积就大于第一个因数。（2.9<2.9

×1.01）当一个因数不为0时，另一个因数小于1，积就小于第一个因数。（2.9

×0.9<2.9）

5、一个因数乘一个大于1的数，积会越乘越大；乘一个小于1的数，积会越乘

越小。

6、当被除数不为0时，除数大于1，商反而小于被除数（2.9÷2<2.9）；除数

小于1，商反而大于被除数（2.9<2.9÷0.2）

6、除以一个大于1的数，商反而越除越小；除以一个小于1的数，商反而越除

越大。

7、被除数一样，除数越小，商就越大；除数一样，被除数越小，商也越小。

8、当被除数小于除数时，商就小于1

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9、小数除法商求近似数的方法：每次除到比要求保留小数位数多一位为止。四

舍五入到整数，除到小数第一位；四舍五入到一位，除到小数第二位；四舍五入

到二位，除到小数第三位；四舍五入到三位，除到小数第四位，……

10、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：0.236、7.262626；

小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数（通常后面有……），例如：

4.39876076……

11、一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重

复出现，这样的小数叫做循环小数。例如：1.25252525……、2.3444444……、

0.907907907……循环小数是无限小数。

12、一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小

数的循环节。例如：1.25252525……、2.3444444……、0.907907907……

中的“25”、“4”、“907”都是循环节。

13、为了书写方便，可以对循环小数进行简写。一个数字或两个数字循环的就

在循环的数字上面点上“·”，如果是三个数字或三个以上的数字循环，就在头

尾两端各点上“·”。

举例：2.3444444……=2.34.、1.25252525……=1.2.5.、0.907907907……

=0.9.07.

14、根据实际情况，需要对一些商进行“进一法”、“去尾法”取近似值，而

不能依据“四舍五入法”取近似值。装运物品之类因为必须要全部装完，不能有

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剩余，所以必须用“进一法”；买物品、裁服装等，买的件数或服装件数必须少

于所带钱数或布的米数。

举例1：有一桶4升的大豆色拉油，现要将油全部分装到750毫升的小瓶中，

至少需要几个瓶子？

4升=4000毫升，4000÷750=5.333333……≈6（瓶）

因为剩下的油也要装完，所以5瓶不够，必须要6瓶，用了“进一法”，不能

按平时的“四舍五入法”取近似值。

举例2：幼儿园买50米的布做童装，每套童装用布2.2米，可以做多少套童装？

50÷2.2=22.727272……≈22（套）

因为剩下的布料不够做一套童装，所以只能做22套，用了“去尾法”，不能按

平时的“四舍五入法”取近似值。