排列 组合

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素

占了这两个位置.

先排末位共有1

3

C

然后排首位共有1

4

C

最后排其它位置共有3

4

A

由分步计数原理得113

434

288CCA

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中

间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的

排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也

看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内

部进行自排。由分步计数原理可得共有522

522

480AAA种不同的排法

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的

情形的不同种数为

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能

连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5

5

A种，第二步将4

舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4

6

A

不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54

56

AA种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增

加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新

节目不相邻，那么不同插法的种数为

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元

素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几

个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73

73

/AA

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7

A种方

法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有4

7

A种

方法。

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身

高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把

第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理

共有67种不同的排法

练习题：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下

电梯,下电梯的方法

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所

以固定一人4

4

A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！

种排法即7！

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成种钻石圈

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多

少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.

个特殊元素有2

4

A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有1

4

A种,

其余的5人在5个位置上任意排列有5

5

A种,则共有215

445

AAA种

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人

就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相

邻，那么不同排法的种数是

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共

有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

5

C种方法.再把4

个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有4

4

A种方法，

根据分步计数原理装球的方法共有24

54

CA

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成

四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1

人参加,则不同的选法有种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹

1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有2

2

A种排法，再

排小集团内部共有22

22

AA种排法，由分步计数原理共有222

222

AAA

种排法.

练习题：5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法

有种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分

配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形

成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额

分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种

分法共有6

9

C种分法。

练习题：100xyzw求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为

不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰

法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个

偶数的取法有3

5

C,只含有1个偶数的取法有12

55

CC,和为偶数的取法

共有123

555

CCC。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法

共有123

555

9CCC

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部

书记至少有一人在内的抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解:分三步取书得222

642

CCC种方法,但这里出现重复计数的现象,不

妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取

EF该分法记为(AB,CD,EF),则222

642

CCC中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)

共有3

3

A种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共

有2223

6423

/CCCA种分法。

练习题：将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多

少分法？

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,

现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。

选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有22

33

CC种,只会唱的5

人中只有1人选上唱歌人员112

534

CCC种,只会唱的5人中只有2

人选上唱歌人员有22

55

CC种，由分类计数原理共有

2211222

3353455

CCCCCCC种。

练习题：从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若

这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

十四.构造模型策略

例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其

中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的

2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不

亮的灯有3

5

C种

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，

那么不同的坐法有多少种？

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,

现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好

有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5

C种还剩下3球3盒序号

不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号

盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3

号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理

有2

5

2C种

练习题：同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一

张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

十六.分解与合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11

×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘

积，

所有的偶因数为：12345

55555

CCCCC

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

十七.化归策略

例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不

在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求

3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1

人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，

如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111

321

CCC种。再

从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选

取3行3列有33

55

CC选法所以从5×5方阵选不在同一行也不

在同一列的3人有33111

55321

CCCCC选法。

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，

从A走到B的最短路径有多少种？

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比

324105大的数？

解:297221

1

2

2

3

3

4

4

5

5

AAAAAN

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些

数字从小到大排列起来,第71个数是

十九.树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求

后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有10N种

练习:分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅

（54321,,,,i）的不同坐法有多少种？

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字

母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种

不同的取法

解:

二十一：住店法策略

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军

的可能的种数有.

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七

名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7

种住宿法，由乘法原理得75种.

红111223

黄123121

兰321211

取法1

4

1

5

CC2

4

1

5

CC3

4

1

5

CC1

3

2

5

CC2

3

2

5

CC1

2

3

5

CC